“Счёт и вычисления – основа порядка в голове”.
Песталоцци
Цель:
- Познакомиться со старинными приемами умножения.
- Расширить знания по различным приемам умножения.
- Научиться выполнять действия с натуральными числами, используя старинные способы умножения .
Содержание.
- Старинный способ умножение на 9 на пальцах
- Умножение методом Ферроля.
- Японский способ умножения.
- Итальянский способ умножения (“Сеткой”)
- Русский способ умножения.
- Индийский способ умножения.
Ход занятия
Актуальность использования приемов быстрого счета.
В современной жизни каждому человеку часто приходится выполнять огромное количество расчётов и вычислений. Поэтому цель моей работы – показать лёгкие, быстрые и точные методы счёта, которые не только помогут вам во время каких-либо расчётах, но вызовут немалое удивление у знакомых и товарищей, ведь свободное выполнение счётных операций в значительной степени может свидетельствовать о незаурядности вашего интеллекта. Основополагающим элементом вычислительной культуры являются сознательные и прочные вычислительные навыки. Проблема формирования вычислительной культуры актуальна для всего школьного курса математики, начиная с начальных классов, и требует не простого овладения вычислительными навыками, а использования их в различных ситуациях. Владение вычислительными умениями и навыками имеет большое значение для усвоения изучаемого материала, позволяет воспитывать ценные трудовые качества: ответственное отношение к своей работе, умение обнаруживать и исправлять допущенные в работе ошибки, аккуратное исполнение задания, творческое отношение к труду. Однако, в последнее время уровень вычислительных навыков, преобразований выражений имеет ярко выраженную тенденцию к снижению, учащиеся допускают массу ошибок при подсчетах, все чаще используют калькулятор, не мыслят рационально, что отрицательно сказывается на качестве обучения и уровне математических знаний учащихся в целом. Одной из составляющих вычислительной культуры является устный счёт, который имеет большое значение. Умение быстро и правильно произвести несложные вычисления “в уме” необходимо для каждого человека.
Старинные способы умножения чисел.
1. Старинный способ умножение на 9 на пальцах
Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 9 x 3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9 x 3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ – 27.
2. Умножение методом Ферроля.
Для умножения единиц произведения переумножения перемножают единицы множителей, для получения десятков, умножают десятки одного на единицы другого и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Методом Ферроля легко перемножать устно двухзначные числа от 10 до 20.
Например: 12х14=168
а) 2х4=8, пишем 8
б) 1х4+2х1=6, пишем 6
в) 1х1=1, пишем 1.
3. Японский способ умножения
Такой прием напоминает умножение столбиком, но проводится довольно долго.
Использование приема. Допустим, нам надо умножить 13 на 24. Начертим следующий рисунок:
Этот рисунок состоит из 10 линий (количество может быть любым)
- Эти линии обозначают число 24 (2 линии, отступ, 4 линии)
- А эти линии обозначают число 13 (1 линия, отступ, 3 линии)
Теперь нужно сосчитать пересечения линий на всех четырех концах следующим способом:
(пересечения на рисунке указаны точками)
Количество пересечений:
- Верхний левый край: 2
- Нижний левый край: 6
- Верхний правый: 4
- Нижний правый: 12
1) Пересечения в верхнем левом крае (2) – первое число ответа
2) Сумма пересечений нижнего левого и верхнего правого краев (6+4) – второе число ответа
3) Пересечения в нижнем правом крае (12) – третье число ответа.
Получается: 2; 10; 12.
Т.к. два последних числа – двузначные и мы не можем их записать, то записываем только единицы, а десятки прибавляем к предыдущему.
3(2+1)1(0+1)2
Ответ: 312
4. Итальянский способ умножения (“Сеткой”)
В Италии, а также во многих странах Востока, этот способ приобрел большую известность.
Использование приема:
Например, умножим 6827 на 345.
1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем одно из чисел над колонками, а второе по высоте.
2. Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки.
т.е.
- 6*3 = 18. Записываем 1 и 8
- 8*3 = 24. Записываем 2 и 4
Если при умножении получается однозначное число, записываем вверху 0, а внизу это число.
(Как у нас в примере при умножении 2 на 3 получилось 6. Вверху мы записали 0, а внизу 6)
3. Заполняем всю сетку и складываем числа, следуя диагональным полосам. Начинаем складывать справа налево. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к единицам следующей диагонали.
Ответ: 2355315.
5. Русский способ умножения.
Этот прием умножения использовался русскими крестьянами примерно 2-4 века назад, а разработан был еще в глубокой древности. Суть этого способа та:“На сколько мы делим первый множитель, на столько умножаем второй”.Вот пример: Нам нужно 32 умножить на 13. Вот как бы решили этот пример 3-4 века назад наши предки:
- 32 * 13 (32 делим на 2, а 13 умножаем на 2)
- 16 * 26 (16 делим на 2, а 26 умножаем на 2)
- 8 * 52 (и т.д.)
- 4 * 104
- 2 * 208
- 1 * 416 =416
Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение
Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам число нечетное? Народный способ легко выходит из этого затруднения. Надо, - гласит правило, - в случае нечётного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число. Приведем пример (звездочки указывают, что данную строку надо зачеркнуть):
- 19*17
- 9*34
- 4 *68*
- 2 *136*
- 1 *272
Сложив незачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат:
- 17 + 34 + 272 = 323.
Ответ: 323.
6. Индийский способ умножения.
Такой способ умножения использовали в Древней Индии.
Для умножения, например, 793 на 92 напишем одно число как множимое и под ним другое как множитель. Чтобы легче ориентироваться, можно использовать сетку (А) как образец.
Теперь умножаем левую цифру множителя на каждую цифру множимого, то есть, 9х7, 9х9 и 9х3. Полученные произведения пишем в сетку (Б), имея в виду следующие правила:
- Правило 1. Единицы первого произведения следует писать в той же колонке, что и множитель, то есть в данном случае под 9.
- Правило 2. Последующее произведения надо писать таким образом, чтобы единицы помещались в колонке непосредственно справа от предыдущего произведения.
Повторим весь процесс с другими цифрами множителя, следуя тем же правилам (С).
Затем складываем цифры в колонках и получаем ответ: 72956.
Как можно видеть, мы получаем большой список произведений. Индийцы, имевшие большую практику, писали каждую цифру не в соответствующую колонку, а сверху, насколько это было возможно. Затем они складывали цифры в колонках и получали результат.
Заключение
Мы вступили в новое тысячелетие! Грандиозные открытия и достижения человечества. Мы много знаем, многое умеем. Кажется чем-то сверхъестественным, что с помощью чисел и формул можно рассчитать полёт космического корабля, “экономическую - ситуацию” в стране, погоду на “завтра”, описать звучание нот в мелодии. Нам известно высказывание древнегреческого математика, философа, жившего в 4 веке д. н.э.- Пифагора - “Всё есть число!”.
Согласно философскому воззрению этого учёного и его последователей, числа управляют не только мерой и весом, но также всеми явлениями, происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в мире, душой космоса.
Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попытался показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.
“Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели”. (А.Маркушевич)
Литература.
- Энциклопедия для детей. “T.23”. Универсальный энциклопедический словарь \ ред. коллегия: М. Аксёнова, Е.Журавлёва, Д.Люри и др. – М.: Мир энциклопедий Аванта +, Астрель, 2008. – 688 с.
- Ожегов С. И. Словарь русского языка : ок. 57000 слов/ Под ред. чл. – корр. АНСИР Н.Ю. Шведовой. – 20 – е изд.– М. : Просвещение, 2000. – 1012 с.
- Xочу всё знать! Большая иллюстрированная энциклопедия интеллекта / Пер. с англ. А. Зыковой, К. Малькова, О.Озёровой. – М.: Изд-во ЭКМО, 2006. – 440 с.
- Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка 5-6 кл./ О.С.Шейнина, Г.М. Соловьева – М.: Изд-во НЦЭНАС, 2007. – 208 с.
- Кордемский Б. А., Ахадов А. А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986.
- Минских Е. М. “От игры к знаниям”, М., “Просвещение” 1982г.
- Свечников А. А. Числа, фигуры, задачи М., Просвещение, 1977г.
- http://matsievsky. newmail. ru/sys-schi/file15.htm
- http://sch69.narod. ru/mod/1/6506/hystory. html