Магический квадрат

Цели работы:

Распознать сущность магических квадратов, их влияние на развитие познавательных интересов человека.

1. Раскрыть исторические сведения о магических квадратах.
2. Показать их связь с жизнью.
3. Выяснить алгоритм построения магического квадрата.
4. Познакомиться с другими магическими квадратами.

Древние люди куда больше зависели от природы, чем мы. Не имея метеорологических станций и спутников, центров для обработки наблюдений и прогнозирования, они предсказывали погоду по поведению птиц и животных, форме облаков, цвету восхода и заката Солнца. Найденные приметы передавались из поколения в поколение. Ими не пренебрегает и современная служба погоды.

Подобные приметы существовали не только для определения погоды, люди пытались найти связи для всех важных для них явлений с другими явлениями. Так родилась астрология, связывающая судьбы людей и народов с расположением небесных светил. А с появлением чисел им стали придавать и мистический смысл. До сих пор многие считают число 13 несчастливым, а уж если тринадцатое число месяца — пятница, то тут жди беды.

От беды нужно иметь защиту. Так появились разнообразные амулеты, предохраняющие человека от несчастий: драгоценные камни, когти и зубы животных, листья и травы. А в Китае и Индии с давних пор одним из видов амулета была бумажка с девятью цифрами, записанными в некотором порядке (рис.1). Цифры там были, конечно, не те, которыми мы пользуемся сейчас.

Рис. 1

Главное свойство такого расположения цифр в том, что их сумма в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из двух диагоналей одна и та же.

По древней китайской легенде, император Ню, живший 4000 лет назад, однажды нашел на берегу реки священную черепаху, на панцире которой был изображен рисунок, состоящий из черных и белых кружков, соединенных черточками (рис.2). Этот рисунок назвали “ло-шу”.

Рис. 2

Подсчитав количество кружков в каждой из фигур, мы получим наш прежний магический квадрат. А существуют ли другие магические квадраты? Давайте подумаем.

Сначала выясним, чему может равняться сумма чисел в строке. Так как 1 + 2+3+4 + 5+6 + 7 + 8+9 = 45, то в каждой строке (столбце, диагонали) стоит треть от этого числа, т.е. 15.

Теперь определим число, стоящее в центре. Обозначим его через х и сложим все числа, стоящие на вертикали, горизонтали и диагоналях, проходящих через центр. При этом каждое число войдет в сумму по одному разу, а центральное — четыре раза, поэтому 4*15=(45 - х)+4х. Отсюда находим, что х = 5.

Из соображений четности следует, что в углах квадрата должны стоять четные числа, а в серединах сторон - нечетные.

Теперь уже нетрудно убедиться, что все магические квадраты получаются из квадрата   “ло-шу” с помощью поворотов вокруг центра и симметрии относительно средних линий и диагоналей. Всего же их 8.

 По образу квадрата “ло-шу” в дальнейшем стали придумывать магические квадраты большего размера. На картине знаменитого немецкого художника Альбрехта Дюрера “Меланхолия” мы видим магический квадрат размерами 4X4 (рис.3). Любопытно, что два числа в середине его нижней строки указывают год создания картины (1514 г.).

Рис. 3

Магическим квадратом стали называть квадрат nхn, в клетках которого записаны числа от 1 до п² так, что в каждой строке, каждом столбце и по каждой из двух его диагоналей сумма чисел одна и та же. Найти эту сумму не составляет труда, так как 1+2+…+n2=n²(n²+1)/2. Поэтому сумма в каждой строке (столбце, диагонали) равна n(n²+1)/2.

Долгое время составление магических квадратов было весьма популярным занятием математиков и любителей математики. Выдающийся американский общественный деятель, дипломат и ученый Бенджамин Франклин в молодости забавлялся составлением причудливых магических квадратов, скрашивая скучные часы на службе в Законодательном Собрании штата Пенсильвания. Его квадрат 8X8, изображенный на рисунке 4, обладает многими дополнительными свойствами.

Рис. 4

Сумма чисел в каждой строке здесь равна 8(64+1)/2=260. При этом сумма чисел в каждой половине строки и в каждой половине столбца равна 130. Четыре числа в углах вместе с четырьмя числами в центре вновь дают 260. И еще много подобных соотношений можно отыскать в этом квадрате.

Известны и небольшие квадраты с дополнительными свойствами. Так, квадрат 4X4, изображенный на рисунке 5, имеет сумму 34 не только по строкам, столбцам и диагоналям, но и по “разломанным диагоналям” (рис.6), а также в каждом квадрате 2X2. Если такими квадратами замостить плоскость, то каждый квадрат 4X4 в этой плоскости будет магическим.

Рис. 5

Создавались магические квадраты больших размеров. Известный немецкий математик М. Штифель в книге “Arithmetica integra”, вышедшей в 1544 году, приводит магический квадрат размерами 16X16. Известны магические квадраты размерами 43 X 43. Изготовление большого магического квадрата не составляет труда, поскольку имеются алгоритмы, позволяющие строить магические квадраты любых размеров.

Следует, правда, отметить, что магического квадрата 2X2 не существует.

 Рис.6

При всем том, многое о магических квадратах неизвестно. Неизвестно, как зависит количество магических квадратов nхn от значения размера n. Известно лишь, что квадратов 4X4 существует 880, а квадратов 5X5 — около четверти миллиона. Прямой перебор всех возможностей даже для квадратов 5 X 5 на современных ЭВМ займет около 1000 лет!

Современных математиков магические квадраты интересуют из-за их связи с так называемыми “конечными геометриями”, в которых используется конечное число точек, а поэтому “прямые” и “плоскости” в таких геометриях также состоят из конечного числа точек.

Использованная литература:

• Физико-математический журнал для школьников и студентов “Квант” №4 1995 г.

• М.М. Постников “Магические квадраты”.

Презентация