Урок алгебры в 7-м классе. Тема: "Системы линейных уравнений"

Цели урока: продолжить формирование навыков составления математической модели по тексту задачи, навыков решения линейных уравнений и систем линейных уравнений различными методами; прививать интерес к предмету через привлечение различных источников информации; расширять кругозор учащихся; способствовать формированию исследовательских и коммуникативных компетенций, навыков само- и взаимопроверки.

Оборудование:

• дополнительная математическая литература;
• листы контрольных вопросов по теме «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными»;
• рабочая карта урока.

Ход урока

I этап. Мотивационный этап.

Учитель. Ребята, сегодня мы с вами будем решать интересные задачи, которые вы подбирали из различных источников, при этом мы продолжим работу по составлению математической модели по тексту задачи. Вы уже знаете, что математическая модель представляет собой уравнение или систему линейных уравнений. Нам с вами известны различные методы решения систем линейных уравнений. Повторим их. Результаты работы на каждом этапе урока будем заносить в рабочую карту урока.

II этап. Актуализация опорных понятий.

Работа в парах. Один ученик по листу контрольных вопросов задает теоретические вопросы другому, выслушивает ответ, затем меняются ролями. В рабочую карту урока учащиеся вносят значок «+», «-» (знаю, не знаю).

Вопросы:

1. Что называется системой линейных уравнений?
2. Что называют решением системы?
3. Что значит решить систему уравнений?
4. Сформулируй алгоритм решения системы уравнений графически.
5. Сформулируй алгоритм решения системы методом подстановки.
6. Сформулируй алгоритм решения системы уравнений методом алгебраического сложения.

Самостоятельная работа.

1. Проверьте, является ли пара чисел (-3; 4) решением системы уравнений .

(Проверьте свое решение: пара чисел (-3, 4) решением данной системы не является, так как при подстановке данных чисел в систему уравнений второе уравнение не обращается в верное числовое равенство).

2. Решая систему уравнений , ученик нашел, что х = 2, у = 3. Правильно ли решена система уравнений?

(Проверьте свое решение: система решена правильно, так как при подстановке в оба уравнения данных чисел получаются верные числовые равенства).

3. Составьте математическую модель по тексту задачи.

На двух полках стояло 200 книг. Если с первой полки убрать половину книг, а на вторую добавить треть числа стоящих на ней книг, то количество книг на обеих полках не изменится. Сколько книг первоначально стояло на каждой полке?

 Проверьте:  (80 книг, 120 книг).

В рабочую карту урока вносятся «+», «-» (выполнил верно, неверно).

Устно. Составьте задачу по ее математической модели:

Учащиеся предлагают варианты задач, составленных по данной системе.

III этап. Нахождение необходимой информации.

Учитель. Мы повторили методы решения систем линейных уравнений. Они пригодятся нам при решении тех задач, которые вы приготовили на сегодняшний урок.

Ученик 1. В книге «Старинные задачи по элементарной математике» В.Д. Чистякова я нашел задачу из китайского трактата «Девять отделов искусства счета», составленного в глубокой древности, которая звучит так: «5 волов и 2 барана стоят 11 таэлей, а 2 вола и 8 баранов стоят 8 таэлей. Сколько стоят отдельно вол и баран?» Я думаю, что эта задача легко решается с помощью системы линейных уравнений.

Ученица 2. Я хочу прочитать задачу из «Курса алгебры» известного русского математика А.Н. Страннолюбского (1868 год), который был домашним учителем Софьи Ковалевской: «Некто на вопрос о возрасте двух его сыновей отвечал: «Первый мой сын втрое старше второго, а обоим им вместе столько лет, сколько было мне 29 лет тому назад; мне теперь 45 лет». Найдите лета обоих сыновей». Я решила эту задачу с помощью линейного уравнения, но мне хочется сравнить мое решение с решением задачи с помощью системы линейных уравнений.

Ученик 3. Я нашел задачу в стихах.

По тропинке вдоль кустов
Шло одиннадцать хвостов.
Насчитать я также смог,
Что шагало тридцать ног.
Это вместе шли куда-то
Индюки и жеребята.
А теперь вопрос таков:
Сколько было индюков?
Спросим также у ребят:
Сколько было жеребят?
Ты сумел найти ответ?
До свиданья, всем привет.

Интересно, что в книге «Занятия школьного кружка» О.С. Шейниной, Г.М. Соловьевой в такой же задаче говорится о петухах и поросятах.

Ученица 4. В книге «Занятия школьного кружка» я прочитала задачу: «Мальчик и поросенок весят столько, сколько 5 ящиков. Поросенок весит столько, сколько 4 кошки; 2 кошки и поросенок весят столько, сколько 3 ящика. Сколько кошек уравновесят мальчика?» Я думаю, что в этой задаче будет четыре переменных и три уравнения. А как решить эту задачу, я пока не знаю.

Ученик 5. А с этой задачей я встретился еще во втором классе.

Прилетели галки, сели на палки,
Если на каждую палку
Сядет по одной галке,
То для одной галки
Не хватит палки.
Если же на каждой палке
Сядет по две галки,
То одна из палок
Будет без галок.
Сколько было галок?
Сколько было палок?

Я знаю, как решить эту задачу способом перебора, но мне интересно решить ее с помощью системы линейных уравнений.

Учитель. Молодцы, ребята. Я вижу, что вы хорошо потрудились при подготовке к уроку, не только нашли интересные задачи, но и определили метод их решения. Все предложенные вами задачи можно решить, составляя математическую модель: линейное уравнение или систему линейных уравнений.

Я прошу каждого ученика выбрать понравившуюся задачу из предложенных одноклассниками, объединиться в группы, затем в ходе групповой работы решить выбранную задачу различными способами, сравнить способы решения, определить наиболее оптимальный или самый красивый способ решения. В конце урока в ходе коллективного обсуждения мы постараемся выяснить преимущества того или иного способа решения.

Ребята объединяются в группы, рассматривают способы решения задач: с помощью линейного уравнения, с помощью системы линейных уравнений. Ученики оформляют решения задачи на отдельных листах, готовятся представить итоги коллективной работы.

IV. Предъявление полученного результата.

Учащиеся демонстрируют математическую модель, составленную для решения выбранной задачи, объясняют одноклассникам, каким методом группа решала задачу. Остальные учащиеся принимают активное участие в обсуждении способов решения и выбирают наиболее оптимальный способ из предложенных группой.

1 группа. Решение предложенной задачи сводится к рассмотрению следующей системы уравнений  

Решая эту систему, мы получили ответ: х = 2, y = 0,5. Следовательно, один вол стоит 2 таэля, а один баран – 0,5 таэля. Мы решили задачу методом подстановки и методом сложения, метод сложения позволил решить систему быстрее.

2 группа. Для решения второй задачи мы составили систему уравнений  

Решая эту систему, мы получили ответ: х = 4, у = 12, т.е. сыновьям 4 года и 12 лет. В ходе групповой работы мы пришли к выводу, что задачу проще решить с помощью линейного уравнения, так как не надо вводить вторую переменную.

3 группа. Третью задачу мы решали с помощью системы уравнений

Затем мы решили линейное уравнение 4(11 - х) + 2х = 30. В обоих случаях получилось 4 жеребенка и 7 индюков. Хотя гораздо быстрее решить эту задачу арифметическим путем. «Попросим» всех животных встать на задние ноги. На земле будут стоять 22 ноги, остальные 8 ног будут «принадлежать» жеребятам. Значит, жеребят было 4, индюков 7.

4 группа. По условию четвертой задачи  

Подставим второе уравнение в третье и получим, что 6К = 3Я или 2К = Я.

Подставим второе уравнение в первое и получим: М + 4К = 5Я. Но 5Я = 10К.

Значит, М + 4К = 10К. Отсюда М = 6К. Значит, мальчик весит столько же, сколько 6 кошек. Мы раньше не решали системы уравнений, где переменных больше, чем уравнений. А смогли решить потому, что нам не потребовалось искать значение переменной К (кошки), мы выразили остальные переменные через К.

5 группа. Для решения пятой задачи мы составили систему уравнений  

Решив ее, мы получили, что было 3 палки и 4 галки. Можно эту задачу решить с помощью линейного уравнения (х + 1): 2 + 1 = х. Мы считаем, что систему составить было легче, хотя решить и уравнение, и систему было несложно.

VI. Рефлексивный этап.

Учитель. Давайте подведем итог нашей работы. Как вы думаете, какой из предложенных ребятами способов решения текстовых задач наиболее интересный, рациональный?

Ученики высказывают мнение о том, что говорить о наиболее удобном или наиболее рациональном способе решения текстовой задачи трудно. Задача может быть решена несколькими способами. Решение зависит и от самой задачи, и от человека, который ее решает, от тех методов, которыми он владеет, от уровня его знаний и его умений.

Учитель. Но очень хорошо, если ученик, решив задачу, пытается найти другой способ решения. Ведь и в жизни нам очень часто приходится искать решение какой-то проблемы. Иногда решений несколько, а иногда мы с большим трудом находим одно - единственное. В рабочей карте каждого ученика стоят отметки о том, как правильно и как активно он работал на уроке. Проанализируйте работу своей группы, работу учащихся из других групп. Подведите итог своей деятельности.

Сегодня мы познакомились с задачами, составленными учеными. Попробуйте к следующему уроку сами составить задачу, которая решается с помощью системы линейных уравнений.

Спасибо за урок!