Тип урока: объяснение нового материала.
Цели урока:
Образовательные:
– выделить из множества числовых
последовательностей арифметическую прогрессию;
– дать чёткое определение арифметической
прогрессии;
– вывести формулу n-го члена прогрессии;
– описать характеристическое свойство
арифметической прогрессии;
– на примерах осуществить первичную отработку
применения формулы n-го члена арифметической
прогрессии.
Воспитательные и развивающие:
– развивать логическое и аналитическое
мышление;
– память;
– развитие и осмысление использования в речи
математических терминов при ответах на вопросы
теории алгебры.
Ход урока
1. Оргмомент
:Учитель сообщает тему и цель урока, план работы на уроке.
2
. Устная работаНа доске: Учитель задает вопросы:
1) -4; -3,5; -3; … 1)Какая закономерность наблюдается
2) 2; 0,2; 0,02;… в каждой последовательности?
3) 7; 71/3; 72/3;… 2) Найдите последующий 4-ый и 5-ый члены
4)120; 117; 114;… каждой из числовых последовательностей.
5) 1;4;9;…
3)А можно ли из данных пяти последовательностей выделить группу числовых рядов, объединённых каким-либо общем признаком?
3. Объяснение нового материала
Учитель подводит ученика к определению :
Арифметической прогрессией называют такую числовую последовательность, в которой каждый последующий член равен предыдущему, сложенным с одним и тем же числом.
Слово прогрессия в переводе с латинского означает “движение вперед”.
Число, которое прибавляют к каждому члену прогрессии, что бы найти последующий член называется разностью арифметической прогрессии
d = an+1 – an
Найти разность арифметической прогрорессии: (устно) на доске :
| 4,5; 4,25; … | Учитель комментирует: |
| -6; -10; -14; … | d-может быть любым числом; |
| а1; а2; 30; 40; … | если d>0, прогрессия возрастающая; |
| 8; 8; 8; 8; … | если d<0 – убывающая. |
Чтобы однозначно задать арифметическую прогрессию достаточно задать:
1способ: 2; 10; (два члена её); 2способ: а1=-6; d=0,4;
другие способ будут рассматриваться далее.
Вспомним, как называется формула для нахождения любого члена числовой последовательность которого используется предыдущим члены (или члена)
- рекуррентная формула
Т. е. найти любой член арифметической прогрессии можно с помощью рекуррентной формулы
an+1=an+d
Найдите 4-е члена арифметической прогрессии:a1=2;d=0,4
a2=2+0,4=2,4
a3=2,4+0,4=2,8
a4=2,8+0,4=3,2
А что если нужно найти 31– й или 100 –й член прогрессии?
Понятно, что выше использованный способ нахождениялюбого (в том числе с большим порядковым номером) члена арифметической прогрессии неудобен из-за значительных вычислений.
Попробуем вывести формулу n-ого члена прогрессии.
Рассмотрим арифметическую прогрессию (an),в которой
an-1-ый член,d-разность.
По определению арифметической прогрессии:
a2=a1+d
a3=a2+d=a1+d+d=a1+2d
a4=a3+d=a1+2d+d=a1+3d
a5=a4+d=a1+3d+d=a1+4d
Учитель задаёт вопрос: а нет ли какой-то связи между порядковым номером числа прогрессии и числа, стоящего перед d.
Есть: она на 1 меньше.
Тогда an=a1+d(n-1)
Это и есть формула n-ого (т.е. общего) члена арифметической прогрессии.
a26=a1+25d; 5=20+25d; -15=25d; d=-3/5
4. Первичное закрепление
№ 354(a)-ученик у доски
Решение:
| c1=10 | |
| c15=1,2 | c15=c1+d(n-1) |
| d-? | 1,2=-10+14d,d=0,8 |
Следующее задание:
Число "-22" является членом арифметической прогрессии 44;32.Найдите номер этого члена прогрессии.
Решение: 1) d=a2-a1;d=38-44=-6
(учитель) 2) a22=a1-6(n-1); -22=44-6(n-1); -22=44-6n+6; -72=-6n; n=12
Значит 12-ый член прогрессии равен =-22
Аналогичный номер из учебника №359(б)-ученик у доски.
| a1=2 | Решение: |
| a2=9 | 1) d=a2-a1;d=9-2=7 |
| число 295 является | 2)Пусть 295=an |
| числом этой прогрессии-? | 3)Тогда an=a1+d(n-1) |
| 295=2+7(n-1); 295=2+7n-7; 300=7n; n=43 1/7 |
Так как n=43 1/7 не принадлежит N => число 295 не является членом этой арифметической прогрессии.
Приведём примеры числовых последовательностей, которые являются арифметическими прогрессиями:
Учитель работает устно с классом:
– ряд натуральных чисел;
– чётных натуральных;
– кратных 7;
– кратных 10 и т.д.
Запишем арифметическую прогрессию,которая представляет ряд чисел(натуральных) кратных 5 и арифметическую прогрессию заданную
a1=2;d=3
Тогда возвращаясь к a31
a31=a1+d*30
a31=2+0,4*30=14
Число :"А по какой формуле вы найдёте a41;a125;a207-?
№ 348(б) К доске вызывается ученик.
Решение:
| a1=11 | d=a2-a1;d=7-11=-4 |
| a2=7 | a23=a1+22d;a23=11+22*(-4)=-77 |
| a23-? | an=a1+d(n-1);an=11+(-4)(n-1) |
| an-? |
Учитель: Вернёмся к формуле n-ого члена арифметической прогрессии и проанализируйте её.
Часто с формулами вы работаете на уроках и знаете что из одной формулы можно выразить любую неизвестную (в данной задаче) величину,зная все остальные переменные.
Аналогично и по формуле нахождения n-ого члена прогрессии можно найти
-a1;
-n; Если известны остальные переменные.
-d;
Следующий номер:
a1=20;a20=5;d-?
5;10;15;20;25;30;35;...
2;5;8;11;14;17;...
Рассмотрим любые три подряд следующие члены прогрессий.
Вопрос: "А как бы вы могли найти средний из этих трёх чисел,зная последующий и предыдущий? число 25(зная 20 и 30) число 11(зная 8 и 14)"
Ответ: Сложить два соседних и разделить на два.
А как называется значение этого выражения?
– Это среднее арифметическое между 2-мя соседними.
А верно ли это для любой арифметической прогрессии?
Попробуем доказать это свойство, характерное для любой арифметической прогрессии.
Пусть an-1;an;an+1-три любые подряд члена арифметической прогрессии an
Запишем разность d с помощью этих членов
an+1-an=an-an-1
an+1+an-1=2an
an=(an+1+an-1/2),n>=2
Эта формула выражает характеристическое свойство арифметической прогрессии.
Каждый член арифметической прогрессии, начиная со 2-ого члена является средним арифметическим между двумя соседними с ним членами.
Почему начиная со 2-ого члена: так как у 1-ого члена прогрессии нет предыдущего члена.
Верно и обратное утверждение: Если в числовой последовательности любой член, начиная со второго, является средним арифметическим между двумя соседними, то эта последовательность является арифметической прогрессией.
То есть данное утверждение можно рассматривать как признак арифметической прогрессии.
Найти: a19, если a20=120; a18=80
a19=(120+80/2)=100
Учащиеся устно находят a19 используя основное свойство прогрессии.
Последнее задание: a8=40; a28=320
Найти d
Учитель вместе с учащимися анализирует условие задачи(и да ),находит,что воспользоваться формулой для нахождения d в данном задании не приведёт к решению. Следовательно нужно искать иной способ решения.
Рассмотрим арифметическую прогрессию(an),в которой известны ak,an,где k>n
Запишем формулу каждого члена арифметической прогрессии:
ak=a1+d(k-1);an=a1+d(n-1)
Составим разность:
ak-an=a1+d(k-1)-a1-d(n-1)=a1+dk-d-a1-dn+d=dk-dn=d(k-n)
ak-an=d(k-n) или d=(ak-an/k-n) или ak=an-d(k-n)
Эта формула выражает связь между двумя любыми членами арифметической прогрессии (следующими не подряд,и среды пятерых нет a1.
Тогда предложенная задача решается просто при использовании выведенной формулы:
d=a28-a8/10; d=340-40/20=14.
5. Итог урока
: учитель работает фронтально с классом, задавая вопросы по объяснённому материалу.Учитель оценивает учащихся, отвечающих у доски и активно с места.
Ученики записывают домашнее задание.