Урок по алгебре и началам анализа в 10-м классе по теме "Касательная к графику функции"

Цель урока:

• формировать понятие касательной к графику функции в различных типах задач;
• развивать логическое мышление, интуицию, математическую речь;
• воспитывать умение проводить оценку и самооценку знаний и умений, высокую работоспособность, организованность.

Ход урока

1. Организационный момент. Сообщение темы и целей урока.
2. Повторение теоретического материала.

1. Игра “Аукцион”. На аукцион выставляется отметка “пять” за знание теоретического материала. Объявляется тема аукциона: “Производная”. Ребята поднимают руки и по очереди называют определения, свойства, правила, формулы и т.д по теме аукциона. Тот, кто последним, до третьего удара молотка произносит верное свойство, определение, правило, формулу получает “5” за урок. Учитель контролирует скорость игры: то замедляет, то ускоряет ход поддерживая интерес учащихся и желание получить первым на уроке “пять”.
2. Опрос (с использованием мультимедийного проектора). (Приложение)

а) Заполните пропуски, чтобы получилось верное высказывание.

 

<Рисунок 1>

Касательная к графику дифференцируемой в точке х₀ функции – это прямая, проходящая через точку (х_{0 ;} f(х₀ )) и имеющая угловой коэффициент f ' (х₀ )

б) проверьте правильность шагов алгоритма написания уравнения касательной к графику функции у =  f(х )  в точке с абсциссой х₀.

<Рисунок 2>

• Найти  f' (х ) .
• Подставить полученные числа в уравнение касательной и упростить.
• Найти  f (х₀ ) .
• Найти  f ' (х₀ ) .

в)

• В каких точках касательная образует с Ох острый угол?

<Рисунок 3>

• В каких точках тангенс угла наклона касательной отрицателен?

<Рисунок 4>

• В каких точках  f ' (х₀ ) = 0?

<Рисунок 5>

3. Работа в парах.

Задание: найти производные следующих функций: (по принципу игры “Крестики-нолики”).

 

Ответы:

 

Примечание: учащиеся 1 варианта заполняют таблицу ручкой, 2 варианта - карандашом.

4. Выполнение упражнений (работа в разноуровневых группах)

Группа 1.

К графику функции составьте уравнение касательной в точке с абсциссой х₀ = .

Решение.

f () = 3sin + 2cos = 3 * (-1) +2 * 0 = -3 ;
 f ' (х ) = 3cos x - 2sin x ;
 f ' () = 3 сos - 2 sin = 3 * 0 -2 *(-1) = 2 ;
у = -3 +2(х -)
у = -3 + 2х -3

Ответ: у = 2х - 3 -3

Доп.вопрос: будет ли найденная касательная параллельна прямой у = -2х - 3 +3 ?

Группа 2.

Составьте уравнение касательной к графику функции  f (х ) =1 + cos(x)  в точке с абсциссой  x_{0 =} . Найдите координаты всех точек графика этой функции, касательные в которых параллельны найденной касательной.

Решение.

f   ()= 1 + cos =1 ;
 f ' (х ) = - sin x ;
 f ' ( ) = - sin = -1 ;
у =1 - 1(х -);
у = 1-х+
у = - х + + 1
k = -1 ;
- sin x = -1 ;
sin x = 1 ;
x = + 2k ; k
у = 1 + cos ( + 2k) = 1+0= 1

Ответ:  -x + +1 ; ( + 2k ;1) kZ .

Доп.вопрос: как найти тангенс угла наклона полученной касательной?

Группа 3.

Найдите точки графика функции  f (х )=2х³ -6х+1, в которых касательная параллельна оси абсцисс.

Решение.

 f ' (х₀ ) =0;
 f ' (х ) =6х²-6;
6х²-6=0
х²-1=0;
х²=1;
х²=±1

При х=1; у=2*1-6+1=-3; (1;-3)
При х=-1; у=-2+6+1=5; (-1;5)

Ответ:  (1;-3); (-1;5).

Доп.вопрос: чему будет равен тангенс угла наклона касательных?

Группа 4.

Найдите, под какими углами парабола  f (х ) =х² +2х-8 пересекает ось Ох.

Решение.

х2 +2х-8 =0 х1 =-4; х2=2

-абсциссы точек пересечения параболы с Ох.

х₀₁ =-4; х₀₂ =2
 f ' (х ) = tg α ;
 f ' (х ) =2х+2;
 f ' (х₀₁ )= f ' (-4 )=-8+2 =-6;
  tg α =-6;
α= arctg (-6);
 f ' (х₀₂ ) = f ' (2)=6;
tg α =6;
α= arctg 6.

Ответ:   arctg 6; arctg (-6).

Доп.вопрос: назовите функцию, график которой пересекает ось Ох под таким углом, что и парабола.

5. Отчет групп. Самооценка.
6. Индивидуальное задание (2 человека).

При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции в точке с абсциссой х₀=2, проходит через точку М(1;8)?

Решение.

Составим уравнение касательной.

 f (2 )=8 b -8-4=8 b -12;
 f ' (х )=3х² b -4х;
 f ' (2 )=12 b -8
у =8 b -12+(12 b -8)(х-2);
у=8 b -12+12 b х-24 b -8х+16;
у=-16 b +4+(12 b -8)*х

Т.к.касательная проходит через т.М(1;8), то

8=-16 b +4+(12 b -8)*1;
8=-16 b +4+12 b -8;
4 b =-12;
b =-3

Ответ: b = -3

7. Подведение итогов урока.
8. Д.з. п.19, № 258(в,г), 259 (в,г).