Урок–лекция "Уравнения и неравенства с параметром". 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Цели:

Образовательная:

  • систематизировать и обобщить знания о решении уравнения с параметром;
  • показать основные приемы решения таких уравнений.

Развивающая: расширить и углубить изучение различных приемов решения уравнений с параметром.

Воспитательная: показать значимость зависимости ответа в задаче с параметром от выбранного значения параметра.

Используемые методы обучения – их применение.

  • Объяснительно-иллюстративный.
  • Обобщения, аналогии и сравнения.
  • УДЕ – создание ключевых задач, аналогия изображений на плоскости.
  • Интегрированный – сопоставление алгебры и геометрические интерпретации, слайды.

Формирование общеучебных умений и навыков:

  • Выделение существенных признаков изучаемых объектов;
  • Выработка практических навыков;
  • Используемые методы работы с аудиторией: работа в диалоговом режиме;
  • Психологические аспекты урока;
  • Создание комфортной рабочей атмосферы;
  • Побуждение к активной диалоговой деятельности.

Ход урока

Введение. Вступительное слово учителя.

Уравнения стали привычной частью вариантов вступительных экзаменов ЕГЭ.

Уравнения с параметром вызывают серьезные трудности логического характера.
Каждое такое уравнение – это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства невозможно, но тем не менее каждое из них должно быть решено. Поэтому возникает необходимость в рассмотрении системы понятий и поиске методов решения уравнений с параметрами (линейных, рациональных и т.д.)

Пусть дано уравнение F(х;а) = 0. Если придать параметру а какое – либо фиксированное значение, то данное уравнение можно рассматривать как «обычное» уравнение с одной переменной.

Поставим задачу: Выяснить, какой может быть ситуация при выбранном значении параметра?

Работа с учащимися в диалоговом режиме.

Учитель задает вопросы, добивается верных ответов, выполняет чертеж на доске.

Обычное линейное уравнение с одной переменной сколько может иметь решений?
Уравнение F(а; х) = 0 что собой представляет?
Как осуществляется его решение?

Итак, при выбранном значении параметра возможна одна из ситуаций;
Уравнение (система):

  • не имеет смысла;
  • не имеет корней (решений);
  • имеет одно, два, три….. корня (решения);
  • имеет бесконечное множество (решений).

Таким образом, ответ в задаче с параметром существенно зависит от выбранного значения а.

Обозначим основные проблемы:

  1. Установить основные понятия уравнений с параметрами.
  2. Для каждого вида уравнений школьного курса математики установить общий метод решения соответствующих уравнений с параметрами – единый как для одного, так и для двух параметров.
  3. Рассмотреть примеры заданий на исследование уравнений.
  4. Каково установление числа корней уравнений.
  5. Нахождение общего корня двух уравнений – в чем его суть?
  6. Геометрические интерпретации.

I этап – решение первой проблемы.

Работа с учащимися в диалоговом режиме.

Какие вопросы вы себе определите для установления основных понятий?

  • Что такое задача с параметром?
  • Что является областью допустимых значений параметра?
  • Что значит решить задачу с параметром?
  • Сколько видов задач с параметрами существует?
  • Что необходимо учитывать при их решении?

 

Появляется слайд и конспект
- Задача с параметром – это множество задач, каждая из которых получается из условия подстановкой конкретного значения параметра.
- Область допустимых значений параметра – это множество значений параметра, при подстановке которых получается задача, имеющая смысл.
- Решить задачу с параметром означает для любого допустимого значения параметра найти множество всех решений данной задачи.
- Рассматривать мы с вами будем задачи с параметром двух основных типов.
В задачах I типа требуется для каждого значения параметра решить задачу.
Для этого необходимо:

  • разбить ОДЗ параметра на части, на каждой из которых задачу можно решить одним и тем же способом;
  • на каждой из полученных частей решить задачу.

В задачах II типа требуется найти все значения параметра, при которых выполнены те или иные заданные условия.
- Ответ в задаче с параметром – это описание множества ответов к задачам, полученных при конкретных значениях параметра.

Например.

1) Решить уравнение а (а – 1) = а – 1.

Решение. Перед нами линейное уравнение, имеющее смысл при всех допустимых значениях а. Будем решать его «как обычно»: делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном. Но всегда ли возможно деление?

Нет.

Делить на ноль нельзя. Придется рассмотреть отдельно случай, когда коэффициент при неизвестном равен о. Получим:

  1. а = 1, тогда уравнение примет вид 0·х = 0, где х – любое число;
  2. а = 0, тогда 0∙х = - 1 – уравнение корней не имеет;
  3. а 0, а 1, тогда а (а – 1)·х = а – 1 х = .

Ответ: 1) если а 0, а 1, то х = ;

2) если а = 1, то х – любое число;

3) если а = 0, то корней нет.

2) Решить уравнение (а – 1)х2 + 2 (2а – 1)х + 4 а + 3 = 0.

Решение. Рассмотрим два случая:

  1. а = 1 – получим линейное уравнение 2х + 7 = 0, откуда х = - 3,5;
  2. а 1 – получим квадратное уравнение.

Рассмотрим дискриминант: D = (2а – 1)2 – (а – 1)(4а + 3) = - 3а + 4.

Далее, если а > , то D < 0 и уравнение корней не имеет.

Если же а , то х1,2 = .

Ответ: 1) если а > , то корней нет;

2) если а = 1, то х = - 3,5;

3) если а и а1, то х1,2 = .

II этап – решение второй проблемы.

Рассмотрим способ классификации частных уравнений с помощью модели общих решений.
Появляется слайд.

Например. В рациональном уравнении функция f1(а) = является общим решением для тех значений параметра, для которых . Поскольку

общее решение уравнения на Аf1 = }.

Функция f2(а) = есть общее решение уравнения на множестве Аf2 = .
Построим модель общих решений в следующем виде

На модели выделяем все типы частных уравнений: ; ; .

Итак, на примерах рассмотрены основные понятия уравнений с параметрами: область допустимых значений; область определения; общие решения; контрольные значения параметров; типы частных уравнений.

На базе введенных параметров определим общую схему решения всякого уравнения F(а;х) = 0 с параметром а (для случая двух параметров схема аналогична):

  • устанавливается область допустимых значений параметра и область определения;
  • определяются контрольные значения параметра, разбивающие область допустимых значений параметра на области однотипности частных уравнений;
  • для контрольных значений параметра соответствующие частные уравнения исследуются отдельно;
  • находятся общие решения х = f1(а), …, fk(а) уравнения F(а;х) =0 на соответствующих множествах Аf1, ……, Аfk значений параметра;
  • составляется модель общих решений, контрольных значений параметра в следующем виде (на слайде);

  • на модели выделяются промежутки значений параметра с одинаковыми решениями (области однотипности);
  • для контрольных значений параметра и выделенных областей однотипности записываются характеристики всех типов частных решений.

III этап – примеры заданий на исследование уравнений.

Рассмотрим примеры решения задач с параметрами 2 типа.

Особенно часто встречаются задачи на расположение корней квадратного уравнения. При их решении хорошо «работают» графические иллюстрации. Расположение корней относительно заданных точек плоскостью определяется направлением ветвей соответствующей параболы, координатами вершины, а также значениями в заданных точках.

Например.

1) При каких значениях параметра а уравнение (а2 + а + 1)х2 + (2а – 3)х + а – 5 = 0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1?

Решение. Пусть f(х) = (а2 + а + 1)х2 + (2а – 3)х + а – 5. Так как а2 + а + 1 >0, то для квадратичной функции f(х) условие задачи может выполняться только при условии f (х) < 1.

Решая неравенство f(1) = а2 + 4а – 7 < 0, получим, что -2 - < а < - 2 + .

Ответ: -2 - < а < - 2 + .

2) При каких значениях параметра m корни уравнения (m – 1)х2 – 2mх + m + 3 = 0 положительны?

Решение. Пусть f(х) = (m-1)х2 - 2 mх + m + 3 тогда:

1) если, m = 1,то -2х + 4=0, х= 2- корень положителен;

2) если m 1, то с помощью рисунка можно получить следующие соотношения:

Рассмотрим 2 случая:

1) если 1,5 m > 0, тогда из 2 и 3 неравенств последней системы получим, что m > 1, т.е. окончательно 1,5 m > 1;

2) если m < 0, тогда из неравенства (m-1)m > 0 получим, что m-1 < 0, откуда m + 3 < 0, т.е. окончательно m < -3.

Ответ: m (-; -3)

IV этап - рассмотрим задачи на установления числа корней уравнения.

Пример 1. При каких значениях параметра, а уравнение 2 cos2x – (2а + 9)cosx + 9а = 0 не имеет корней.

Решение. Пусть у = cosх, тогда исходное уравнение примет вид 2у2 – (2 а + 9)у + 9а = 0, корни которого у1 = а, у2 = 4,5. Уравнение cosх = 4,5 корней не имеет, а уравнение cosх = а не имеет корней, если > 1.

Ответ: (- ; -1) (1; ).

Пример 2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение не имеет корней.

Решение. Данное уравнение равносильно системе: .

Уравнение не имеет решения в двух случаях: а = и

Ответ: .

Пример 3. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Решение. Решение уравнения может быть единственным только, если х = 0. Если х = 0,то а2 -1 = 0, и а = 1.

Рассмотрим 2 случая:

1) если а = 1, то х2 - = 0 – корней три;

2). Если а = -1, то то х2 + = 0, х = 0 - единственный корень.

Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение имеет 2 корня?

Решение. Данное уравнение равносильно системе: . Выясним, когда квадратное уравнение х2 – х – а = 0 имеет 2 неотрицательных корня.

Полученное уравнение имеет два корня, если 1+ 4а > 0; они неотрицательны, если

0 > а > - .

Ответ: (- ; 0] .

Во многих случаях при установлении числа корней уравнении имеет значение симметрия.

V этап - нахождение общего корня двух уравнений.

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение х2 + 3х + 7а -21 =0 и х2 +6х +5а -6 =0 имеют общий корень?

Решение. Исключим параметр а из полученной системы. Для этого первое уравнение умножим на -5, второе - на7, а результаты сложим. Получим: 2х2 + 27х +63 =0, корни которого х1 = -3, х2 = -10,5. Подставим корни в одно из уравнений и найдем значение параметра а.

Ответ: 3 и – 8,25.

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение х2 – ах + 2 = 0 и 3х2 + (а - 9)х+ 3=0 равносильны?

Решение. Как известно уравнения равносильны, если множество их корней совпадают. Рассмотрим 2 случая.

1) Уравнения не имеют корней (множество корней пусто). Тогда их дискриминанты отрицательны:

Система неравенств решений не имеет.

2) Уравнения имеют общие корни. Тогда

Следовательно, данные уравнения могут иметь общие корни только при а = 3 или а = .

Проверить самостоятельно!

VI этап – геометрические интерпретации.

Решение задач с параметрами может существенно облегчить использование графиков.

Пример 1. Решите уравнение в зависимости от параметра а: .

Решение. Понятно что при а 0:

.

Все ли корни подходят. Чтобы это выяснить, построим график функции а =.
Количество корней можно увидеть на рисунке:

  1. если а < 0, то корней нет;
  2. если а = 0 и а > 0, то 2 корня.

Найдем эти корни.

При а = 0 получим х2 – 2х – 3 = 0 и х1 = -1, х2 = 3; при а > 4 это корни уравнения х2 – 2х – 3 – а = 0.

Если 0 < а < 4 – все 4 корня подходят.

Если а = 4 – три корня:
Ответ: 1) если а < 0, то корней нет;

2) если а = 0, то х1 = -1, х2 =3;

3) если 0 < a < 4, то х1,2,3.4 = 1 ;

4) если а = 4, то х1 = 1; х2,3 = 1 ;

5) если а > 4, то х1,2 = 1 .

Пример 2. При каких значениях а уравнение имеет более двух корней?

Решение. Если подставить х = 0 в исходное уравнение, то получим 6 = 6, это означает, что х = 0 является решением уравнения при любом а.

Пусть теперь х 0, тогда можно записать . Выясним знаки выражений 2х + 3 и 2х – 3.

Раскроем модули: а = (1)

В плоскости х0а построим множество точек (х;а), координаты которых удовлетворяют соотношению (1).

Если а = 0, то уравнение имеет бесконечное множество решений на промежутке , при других значениях а число решений уравнения не превышает двух.

Ответ: а = 0.

Тестовый контроль

1 вариант

2 вариант

1) Решите уравнение: 0 · х = а

Ответы: а) при а ≠ 0, х = 1, при а = 0, х R

б) при а = 0, х R, при а ≠ 0 корней нет

в) при а = 0 нет корней, при а ≠ х =

1) Решить уравнение: а х = а.

Ответы: а) при а ≠ 0, х = 1, при а = 0, х R

б) при а = 0, х R, при а ≠ 0 корней нет

в) при а = 0 нет корней, при а ≠ х =

2) Решит уравнение: (в – 2)·х = 5 + в.

Ответы:

а) при в = 2 нет корней; при в ≠2, х = ;

б) при в = -2 нет корней, при в ≠-2 х =

в) при в = -1 нет корней, при а ≠ - 1

2) Решите уравнение (в + 1)·х = 3 – в.

Ответы:

а) при в = 2 нет корней; при в ≠2, х = ;

б) при в = -2 нет корней, при в ≠-2 х =

в) при в = -1 нет корней, при а ≠ - 1

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

с·(с + 1)·х = с2 – 1.

Ответ: а) при с = -1, х R,

б) при с = 2, х R,

в) при с = - 1, х R,

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

(с2 – 4)·х = (с – 2)·(с+ 1).

Ответ: а) при с = -1, х R,

б) при с = 2, х R,

в) при с = - 1, х R,

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

.

Ответы: а) при m = 6 нет корней;

б) при m = 7 нет корней;

в) при m = 8 нет корней.

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

.

Ответы: а) при m = 6 нет корней;

б) при m = 7 нет корней;

в) при m = 8 нет корней.

5) Решить уравнение .

Ответы:

а) при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = ;

б) при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = ;

в) при а = 0 нет корней, а ≠ 0 х = - 2а.

5) Решить уравнение .

Ответы:

а) при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = ;

б) при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = ;

в) при а = 0 нет корней, а ≠ 0 х = - 2а.

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

nх2 + 4х + (5 – n) = 0.

Ответы:

а) при n = 0 х =1, при n = 2 х = 2, при n =2 х = ;

б) при n = 0 х = -, при n = 1 х = 2, при n = - 4 х = ;

в) при n= 0 х = - , при n = 1 х = - 2, при n =4 х = - .

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

nх2 + 4х + (3 + n) = 0.

Ответы:

а) при n = 0 х =1, при n = 2 х = 2, при n =2 х = ;

б) при n = 0 х = -, при n = 1 х = 2, при n = - 4 х = ;

в) при n= 0 х = - , при n = 1 х = - 2, при n =4 х = - .

Задание:

1. На листке записать фамилию, номер варианта и код ответов.

2. Проверить правильность своего кода с ключом учителя.

Домашнее задание: решить самостоятельно:

1. При каких значениях а уравнение а = имеет более трех корней?

Ответ: а [3; 5).

2. При каждом значении параметра а решите уравнение = х – а.

Ответ: если а (- , решений нет

если а [- ] (- 3; 3], то х = ;

если а (- 3], то х = .

3. Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение nх = а?

Ответ: если а (, то уравнение имеет два решения;

если а , то уравнение имеет одно решение;

если а ( -; ), то уравнение не имеет решений.

Рефлексия. Выбери для себя цвет и определи

Анализ результатов.

1) Предложенный тестовый контроль помог выявить результаты:

  • на «5» - 28 %
  • на «4» - 51 %
  • на «3» - 21 %

2) Рефлексия позволила выявить, что у

  • 54 % учащихся урок вызвал повышенный интерес к теме;
  • 46 % - интерес;
  • 36 % - учащихся помог систематизировать.

Литература.

  1. П.В.Чулков «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики» (лекции 5-8) Москва, Педагогический университет «Первое сентября», 2006 г.
  2. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике. М. Наука, 1970
  3. Чаплыгин В.Ф., Чаплыгина Н.Б. Задачи с параметрами по алгебре и анализу, 1998 г.