Методическая разработка урока по теории вероятностей. Тема урока: "Числовые характеристики случайных величин"

Разделы: Математика

Тема урока: «Числовые характеристики случайных величин».

Задачи урока:

  • образовательные – показать, что окружающий нас изменчивый мир можно описать математическими понятиями, числовыми показателями;
  • развивающие – формировать современное мировоззрение и умение ориентироваться в изменчивом информационном мире;
  • воспитательные – учить мыслить категориями, имеющими вероятностный характер, общаться на деловой основе, применять вводимые понятия в практической жизни, видеть их роль в разных областях деятельности человека.

Цели урока:

  • познакомить учащихся с основными числовыми характеристиками случайных величин: математическим ожиданием, дисперсией, средним квадратическим отклонением;
  • отработать навыки нахождения этих характеристик для небольших наборов дискретных случайных величин;
  • рассмотреть свойства математического ожидания, дисперсии.

Используемые средства обучения: ПК, проектор.

Ожидаемые результаты.

Учащиеся должны:

  • знать определение математического ожидания;
  • понимать, что математическое ожидание является обобщением среднего арифметического значений дискретной случайной величины;
  • знать свойства математического ожидания и уметь использовать их при решении простых задач;
  • знать, что важным свойством распределения случайной величины является рассеивание;
  • знать определение дисперсии;
  • уметь вычислять дисперсию;
  • знать свойства дисперсии и уметь их использовать при решении простых задач;
  • знать определение среднего квадратического отклонения.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Сообщить тему и цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся

Вопросы фронтального опроса:

– Hазовите виды случайных величин.
– Hазовите закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

III. Изучение нового материала, формирование знаний, умений и навыков

Закон распределения полностью определяет случайную величину, однако, не всегда его возможно привести в полном объеме.
Для решения многих проблем достаточно знания отдельных числовых парметров, характеризующих наиболее существенные черты случайной величины.
С помощью таких характеристик во многих случаях удается исследовать поведение случайных величин.
Основными числовыми характеристиками случайной величины являются:

  • математическое ожидание;
  • мода;
  • медиана;
  • дисперсия;
  • среднее квадратическое отклонение.

Рассмотрим эти характеристики для дискретной случайной величины.

Математическое ожидание

Математическим ожиданием (ожидаемым значением или средним значением) дискретной случайной величины называют число M(X) = x1p1 + x2p2 + ...+ xnpn – сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Математическое ожидание измеряется в тех же единицах, что и сама величина.
Если все значения случайной величины равновероятны, то математическое ожидание совпадает со средним арифметическим значением.

Пример 1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины дан в виде таблицы. Найти математическое ожидание этой величины.

Х

– 4

– 3

– 2

– 1

0

1

2

3

4
Р

0,02

0,03

0,1

0,15

0,4

0,15

0,1

0,03

0,02

Рис.1 (ПК, проектор)

Пример 2. На рынке куплены одинаковые по размеру лимоны:

3 лимона – по 20 руб за штуку,
12 лимонов – по 10 руб за штуку. Найти математическое ожидание стоимости одного лимона.

руб.

Пример 3. Для проведения лотереи изготовили 100 билетов. Из них 1 билет с выигрышем 500 рублей, 10 билетов по 100 руб и остальные по 5 рублей (беспроигрышная лотерея). Наудачу выбирают билет. Найти математическое ожидание выигрыша.

500

100

5

Для того, чтобы лотерея приносила доход, цена билета должна быть больше, чем средний выигрыш, например 30 руб (Доход 3000 – 1945 = 1055 руб).
Отдельный игрок может и выиграть, но в конечном итоге доход будет у организатора лотереи.

Механическая интерпритация математического ожидания дискретной случайной величины – если на оси абсцисс расположить точки x1, x2, ..., xn, в которых сосредоточены массы p1, p2, ..., pn, причем то М(Х) – абсцисса центра тяжести.
Математическое ожидание находят для однородных величин.
Например, нет смысла искать среднюю урожайность зерновых и бахчевых культур в фермерском хозяйстве. Причем, и для однородных величин нахождение математического ожидания бывает иногда лишено смысла. Например, средняя температура больных в больнице.

Свойства математического ожидания

  • Математическое ожидание постоянной величины равно самой этой величине M(C) = C
  • Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания M(CX) = CM(X)
  • Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий M(XY) = M(X) . M(Y)
  • Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий M(X + Y) = M(X) + M(Y)

Доказательство 2-го свойства

X        x1, x2, ..., xn
P        p1, p2, ..., pn
M(X) = x1p1 + x2p2 + ...+ xnpn
CX        cx1, cx2, ..., cxn
P        p1, p2, ..., pn
M(CX) = cx1p1 + cx2p2 + ...+ cxnpn = C . M(X)

Пример.

Производится 3 выстрела с вероятностями p1 = 0,4; p2 = 0,3; p3 = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если:

X1

1

0

X2

1

0

X3

1

 0

P1

0,4

0,6

P2

0,3

0,7

P3

0,6

0,4.

Пример. Найти математическое ожидание случайной величины (4Х + 5) если М(Х) = 2.

М(4Х + 5) = М(4Х) + М(5) = 4М(Х) + 5 = 4 . 2 + 5 = 13

Дисперсия

Случайные величины могут иметь одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения.

Например

X

– 100

100

Y

– 0,001

0,001
P

0,5

0,5

P

0,5

0,5

M(X) = 0

M(Y) = 0

Математические ожидания равны.

Возможные значения Y близки к M(Y) возможные значения Х далеки от своего M(X) то есть для характеристики случайной величины математического ожидания недостаточно, нужна характеристика рассеивания, т.е. разброса значений случайной величины, например в артиллерии важно насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

Наиболее полной характеристикой разброса чисел является набор их отклонений от математического ожидания. Но когда набор чисел велик, рассматривать набор отклонений практически неудобно. Нужно описать разнообразие чисел в наборе одной характеристикой, одним числом.

Размах – слишком грубая мера разброса чисел в наборе, поскольку учитывает только два из них – наименьшее и наибольшее. Можно попробовать взять «среднее отклонение».

Для любого набора, если только не все числа в нем равны, часть отклонений будет положительна, а часть отрицательна. При этом сумма отклонений равна 0.

В этом состоит основное свойство отклонений: сумма отклонений чисел от математического ожидания этих чисел равна нулю.

Сумма отклонений всегда равна нулю, поэтому среднее арифметическое отклонений тоже равна нулю и его нельзя использовать как меру разброса.

Чтобы судит о разбросе, принято складывать не сами отклонения, а их квадраты. Квадраты отклонений неотрицательны, поэтому сумма квадратов отклонений зависит только от абсолютных величин отклонений, а на от их знаков. Чем больше отклонения чисел от математического ожидания, тем больше будет сумма квадратов отклонений. Для того, чтобы мера разброса чисел не зависела от их количества в наборе, в качестве такой меры берут среднее арифметическое квадратов отклонений. Эту величину называют дисперсией (то есть разброс данных). Обозначим значения случайной величины x1, x2, ..., xn, а математическое ожидание этих значений – буквой М.

Дисперсия – это среднее арифметическое квадратов разностей между значениями случайной величины и ее средним значением. В наших обозначениях:

Или в общем виде дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения.

Метод сравнения средних значений и дисперсий используется в самых разных отраслях человеческой деятельности. В медицине – для установления диагноза, в литературоведении – для определения автора произведения (когда авторство является спорным), в криминалистике – для розыска преступников.

Пример. Органами милиции задержан грузовик с помидорами, похищенными на овощной базе. В городе всего четыре базы, каждая из них получает помидоры из своего сельскохозяйственного района. Определите, с какой базы были вывезены помидоры. Расследование осложняется тем, что помидоры на всех базах одного сорта.

Решение.

Воспользуемся методом сравнения средних значений и дисперсий. В каждом сельскохозяйственном районе свои условия произрастания помидоров, поэтому помидоры разных районов отличаются, скажем, удельным весом (диаметром, весом и др.). Выберем по 20 – 25 помидоров (реально, конечно, больше) на каждой овощной базе и из грузовика. У нас получатся 4 последовательности – по одной для каждой базы, и еще одна – для грузовика, с которого мы и будем сравнивать первые четыре. Это наши исходные данные. Результатом является номер овощной базы, где совершено хищение.

Чтобы добиться этого результата, нужно, как рассказано выше, вычислить средние значения и дисперсии всех пяти последовательностей и провести сравнение.

Пусть вес 1 помидора на соответствующих базах и в грузовике изменяется в пределах (в г):

1-я (70, 100)
2-я (80, 90)
3-я (75, 95)
4-я (90, 120
Грузовик (80, 90).

Сравнивая, замечаем, что дисперсии и средние одновременно близки у грузовика и второй базы. Значит, помидоры украдены со второй базы.

Пример. Найти дисперсию случайной величины Х

X

1

2

5
P

0,3

0,5

0,2

M(X) = 1 . 0,3 + 2 . 0,5 + 5 . 0,2 = 0,3 + 1,0 + 1,0 = 2,3
(x1 – M(X))2 = (1 – 2,3)2 = ( – 1,3)2 = 1,69
(x2 – M(X))2 = (2 – 2,3)2 = 0,09
(x3 – M(X))2 = (5 – 2,3)2 = 7,29

Напишем закон распределения квадрата отклонения:

(X – M(X))2

1,69

0,09

7,29

P

0,3

0,5

0,2

D(X) = 1,69 . 0,3 + 0,09 . 0,5 + 7,29 . 0,2 = 2,01

Вычисления громоздки, есть формула, позволяющая быстрее вычислить значение дисперсии.

Формула для вычисления дисперсии

D(X) = M(X)2 – [M(X)]2

Пример.

X

2

3

5

P

0,1

0,6

0,3

M(X) = 2 . 0,1 + 3 . 0,6 + 5 . 0,3 = 0,3 + 1,0 + 1,0 = 3,5.

X2

4

9

25

P

0,1

0,6

0,3

M(X2) = 4 . 0,1 + 9 . 0,6 + 25 . 0,3 = 0,3 + 1,0 + 1,0 = 13,3

D(X) = M(X)2 – [M(X)]2   = 13,3 – (3,5)2 = 10,5

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю D(C) = 0

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат D(CX) = C2D(X)

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин D(X + Y) = D(X) + D(Y)

4. Дисперсия разности двух независимых величин равна сумме их дисперсий D(X – Y) = D(X) + D(Y)

Следствия

5. D(C + X) = D(X) где С – const.

6. D(X + Y + Z) = D(X) + D(Y) + D(Z)

Пример. D(X) = 2 D(4X + 5) = D(4X) + D(5) = 16D(X) + 0 = 16 . 2 = 32

Дисперсия числа появления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых р – вероятность появления постоянна: D(X) = n . p . q.

Пример. Производится 10 независимых испытаний р = 0,6.

D(X) = n . p . q = 10 . 0,6 . 0,4 = 2,4

Среднее квадратическое отклонение

Дисперсия имеет размерность равную квадрату размерности случайной величины. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют не дисперсию, а среднее квадратическое отклонение:

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии, поэтому его размерность равна размерности случайной величины. Например, если Х выражается в линейных метрах, то тоже выражается в линейных метрах, а D(X) – в квадратных метрах.

Подведение итогов

На уроке мы рассмотрели числовые характеристики случайных величин, способы их вычисления, свойства.

Домашнее задание

  • Выучить все определения, методы вычисления, свойства числовых характеристик.
  • Доказать свойства математического ожидания.
  • Доказать свойства 2 и 3 дисперсии.

Задача 1. Дано распределение случайной величины Z

Значения – 4 0 6
Вероятность

0,3

0,5

0,2

Вычислить дисперсию этой случайной величины.

Задача 2. Дисперсия случайной величины Х равна 3. Найдите D(Y), где

а) Y = 3X:
б) Y = X + 5;
в) y – 4X;
г) Y = 2X – 1;
д) Y = 5 – 3X;
е) Y = – 5X – 7.

Литература.

  1. В.Е. Гмурман. «Теория вероятностей и математическая статистика».
  2. В.Е. Гмурман. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике».
  3. Ю.Н. Тюрин и другие. «Теория вероятностей и статистики». МЦНМО АО «Московские учебники», М., 2004.
  4. Ю.Н. Тюрин и другие. Методическое пособие для учителей. МЦНМО МИОО, м., 2005.