Урок-мастерская по теме «Исследование и составление квадратных уравнений»

Разделы: Математика


Цели урока:

  1. Сформировать навык анализировать уравнения перед их решением и составлять уравнения по их корням.
  2. Развитие умения мыслить по аналогии, умения наблюдать и делать выводы, умения обобщать.
  3. Воспитание чувств коллективизма, товарищества, ответственности за порученное дело.

Оборудование: карточки с таблицами для каждой группы, карточки с заданиями по вариантам для домашней работы, экран и проектор.

Ход урока

1. Организационный момент.

  1. Приветствие учащихся, деление их на группы-мастерские;
  2. Сообщение темы урока и целей урока.
  3. Зачитывание эпиграфа урока:

Да путь познания не гладок,

Но знать должны со школьных лет,

Загадок больше, чем разгадок

И поискам предела нет.

2. Актуализация опорных знаний.

Повторение необходимых теоретических сведений, которые понадобятся на следующих этапах урока. Фронтальный опрос по вопросам (каждому ученику задается один из вопросов):

  1. Как называется уравнение вида ax²+bx+c=0, где a≠0?
  2. Название выражения b²-4ac?
  3. Число корней квадратного уравнения при D=0.
  4. Как называется число, делящееся на 2 нацело?
  5. Существуют ли действительные корни в квадратном уравнении, если D<0?
  6. Как называется квадратное уравнение, в котором a=1?
  7. Степень уравнения ax²+bx+c=0, a≠0.
  8. Как называются числа a, b и c в квадратном уравнении?
  9. Число корней квадратного уравнения при D>0.
  10. Чему равно произведение чисел с разными знаками, с одинаковыми знаками?
  11. Как складываются числа с разными знаками?

3. Исследование квадратных уравнений.

Постановка проблемных вопросов перед группами учащихся для исследования.

- Количество корней мы с вами определяем, после того как вычислим значение дискриминанта, а какие знаки имеют корни, только после их нахождения. Сейчас мы должны исследовать уравнения и ответить на такие вопросы:

- Как, не решая уравнения, узнать, имеет ли оно действительные корни?

- В каком случае квадратное уравнение имеет корни одного знака или разных знаков?

Каждая группа получает один из двух проблемных вопросов, записанных на карточке, и, произведя исследование с квадратными уравнениями должна сделать вывод по поставленному вопросу. Каждый учащийся решает по одному или лучше по два уравнения из карточки, чтобы произвести взаимопроверку и исключить неверные ответы. Затем они группой заполняют таблицу карточки, анализируют полученные результаты и делают выводы по проблемному вопросу.

Такие же таблицы можно начертить на доске или вывести на экран через проектор, и если возникнут затруднения с выводами, то сделать их вместе с учителем.

Карточка 1. Вопрос исследования: При каких коэффициентах – квадратные уравнения будут всегда иметь действительные корни?

Решите уравнения, заполните таблицу и сделайте выводы по вопросу исследования.

Квадратные уравнения a b c -4ac D Есть ли корни?
3x²+4x-5=0

3x²-4x+5=0

x²+4x+3=0

-x²+4x+3=0

x²+4x-5=0

x²-4x+5=0

             
Справка. Наличие корней зависит от значения D, поэтому обратите внимание на то, какой знак имеют выражения b² и -4ac. Сделайте выводы, какие знаки должны иметь коэффициенты, чтобы уравнение имело корни.

Выполнив задание, данная группа должна сделать вывод: Квадратное уравнение будет всегда иметь корни, если коэффициенты a и c имеют разные знаки.

Карточка 2. Вопрос исследования: При каких коэффициентах – квадратные уравнения будут иметь корни одного знака или разных знаков?

Решите уравнения, заполните таблицу и сделайте выводы по вопросу исследования.

Квадратные уравнения a b c X 1

X 2

x²+9x+18=0

x²-4x-21=0

½x²-3x+4=0

x²-x-30=0

x²+9x+20=0

x²-7x+10=0

         
Справка. Вначале определите, какие знаки, и каких коэффициентов, дают одинаковые знаки корней. Аналогичные рассуждения для корней разных знаков.

Выполнив задание, данная группа должна сделать вывод: Квадратное уравнение имеет корни разного знака, если коэффициент с- отрицателен, и корни одного знака, если коэффициент с- положителен.

4. Составление квадратных уравнений.

- Какая теорема поможет в составлении квадратных уравнений? (Виета)

Задания даются для обеих групп одинаковые:

1) Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

а) 3 и 4; б) 1-√2 и 1+√2.

Например: x²-7x+12=0, (x-3)(x-4)=0.

2) Составьте и решите квадратное уравнение, имеющее два равных корня.

Например: x²-10x+25=0.

3) Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются противоположные числа.

Например: x²-9=0.

5. Постановка домашнего задания.

Перед учащимися ставится задача - провести исследование квадратных уравнений по следующим вопросам и раздаются карточки.

1) Первая группа получает задание:

Проверить, что число 1 является корнем уравнений

5x²-2x-3=0;

-2x²+13x-11=0;

x²-19x+18=0;

x²+17x-18=0.

Найти второй корень уравнения. Какая особенность коэффициентов объединяет эти уравнения? Чему равны корни квадратного уравнения, коэффициенты которого обладают указанным свойством?

(Учащиеся должны сделать утверждение: если a+b+c=0, то x1=1, x2=c/a.)

2) Вторая группа получает задание:

Проверить, что число - 1 является корнем уравнения

x²-5x-6=0;

17x²-19x-36=0;

7x²+3x-4=0;

x²+3x+2=0.

Найти второй корень уравнения. Какая особенность коэффициентов объединяет эти уравнения? Чему равны корни квадратного уравнения, коэффициенты которого обладают указанным свойством?

(Учащиеся должны сделать утверждение: если a+c=b, то x1=-1, x2=-c/a).

6. Подведение итогов урока.

Рефлексия. Учащиеся высказываются об уроке по следующим пунктам:

1. На уроке я работал …

2. Своей работой на уроке я…

3. Урок для меня показался …

4. За урок я …

5. Мое настроение …

7. Домашнее задание мне кажется …

С учётом работы в течение всего урока комментируется и оценивается работа каждого учащегося в группе.

20.04.2015