Математические головоломки на Московском педагогическом марафоне

Разделы: Математика, Внеклассная работа


Скажу честно, я обрадовался, когда организаторы Московского педагогического марафона пригласили меня с моими головоломками на День математики, чтобы я провёл интерактивное общение с коллегами.

Московский лицей №1535, в котором проводился Московский педагогический марафон учебных предметов, расположен рядом со станцией метро “Спортивная”. Идти от станции метро к лицею недалеко, по пути заметил движущиеся со мной в одном направлении разговорчивые группы прохожих, подумал, что это школьные учителя. Так и оказалось, это московские учителя спешили на “Марафон”. Ведь сегодня, 7 апреля 2013 года, День математики. Когда мы вошли в лицейский двор, я был удивлен. Последний раз такие громадные очереди я видел ещё в Советском Союзе, например, к Мавзолею В.И. Ленина.

Постоял на свежем морозном воздухе, пообщался с коллегами, ровно в 9 часов открылись двери главного корпуса лицея, и началась регистрация. Прошла она быстро, без волокиты и задержек, потому что все пришедшие были заранее зарегистрированы на сайте “Марафона” и имели при себе своеобразные пропуски – принтерные распечатки на бумаге, которые считывались сканерами, похожими на торговые.

Открытие состоялось в актовом зале лицея. После исполнения классической музыки на арфе на сцену поднялся генеральный директор издательского дома “1 сентября” Артем Соловейчик, поздравил всех собравшихся и объявил, что День учителя математики 2013 года стартовал, и пожелал всем плодотворной работы.

Рослова Лариса Олеговна познакомила собравшихся с программой работы Дня математики. Её все досконально изучили во время регистрации, и каждый уже выбрал три наиболее интересных, на его взгляд, лекций. Попасть бы только! Ведь в каждой аудитории количество мест ограничено. Приведу фрагмент программы, в котором указано моё выступление.

Иллюстрация 1

После открытия я принял участие в заседании круглого стола “Концепция развития школьного математического образования”, где академик Семенов А.Л. познакомил с проектом Концепции развития математического образования в России.

Выступил Ященко И.В. – руководитель группы разработчиков КИМов ЕГЭ по математике (именно он стоит у руля ЕГЭ по математике). В своем выступлении рассказал о перспективах развития ЕГЭ, предложил учителям задачу В3 на вычисления тангенса тупого угла.

Дал две минуты на размышления. Учителя поочередно предлагали варианты ответов, но они все были неверными. Лишь только когда кто-то выкрикнул правильный ответ – 2, он рассказал, что эта задача была предложена московским школьникам на пробном экзамене в форме ЕГЭ. И предложил угадать голосованием, какой процент школьников справились с этим заданием, уменьшая его постепенно от 50% до 1%. Оказывается, этот процент был менее 1.

Вторую лекцию я выбрал по простому принципу: решил послушать лекцию, которая будет проходить в той аудитории, где следующим запланировано моё выступление. Оказалось, я попал на лекцию известного математика из МГУ Сергеева И.Н “ЕГЭ-2013, Задания С4”.

Он подробно рассказывал решение планиметрической задачи про окружность, открывая нам все тонкости задачи. Видно было, что он в этой непростой задаче ориентируется как “рыба в воде”, знает все её “подводные камни”, то есть задача изучена и рассмотрена им со всех сторон.

Вот пришло время моего выступления. В перерыве вся необходимая аппаратура была установлена, я выложил свои “походные” головоломки из чемодана на демонстрационный стол. Представившись публике, указал свои координаты в Интернете, начал общение. Демонстрируя презентацию “Головоломки на математических олимпиадах” и параллельно показывая головоломки, стал знакомить присутствующих с олимпиадными задачами, в основе которых лежит та или иная головоломка.

Учителя с интересом воспринимали мой рассказ. Я предлагал не слишком подробно останавливаться на решении самих задач, и больше времени оставить на непосредственное общение с головоломками, но коллеги не хотели упускать ничего из моего материала. Мне пришлось подробно рассказывать математическую сущность моих головоломок. Приведу рассказ о нескольких головоломках

Головоломка 1. Тетраэдр из куба

Задачи на разрезание являются увлекательными геометрическими головоломками, они весьма разнообразны, достаточно трудны и очень красивы. Придумано много головоломок на разрезание, познакомимся с новой головоломкой этого класса, которую придумал А.М. Домашенко из Новошахтинска Ростовской области. Ему удалось разрезать одну из разверток куба всего лишь на две части, из которых затем без пропусков и наложений можно сложить модель правильного тетраэдра. На фото показаны куб и тетраэдр, каждый из которых сложен из двух попарно равных многоугольников. Рядом показано, как ступенчатую развертку куба разрезать по прямой АВ и получить параллелограмм, которым можно обернуть правильный тетраэдр.

Головоломка эта по сути планиметрическая, хотя речь идет о стереометрических фигурах, и интересна она тем, что её пространственный аналог не имеет решения. Существует теорема немецкого математика М. Дена о том, что равновеликие куб и тетраэдр не равносоставлены, то есть куб нельзя разрезать на несколько частей и сложить из них правильный тетраэдр. Эта теорема является решением одной из знаменитых проблем Д. Гильберта.

Головоломка 2. Нетранзитивные кубики

В.Д. Кряквин, математик из Южного Федерального университета (г.Ростов-на-Дону), усовершенствовал нетранзитивные кубики Б. Эфрона, сделав их более элегантными. В его наборе тоже четыре кубика, но все их грани пронумерованы натуральными числами от 1 до 24. Кубики он сделал разноцветными, чтобы по цвету для выбранного кубика соперника легко находить более “сильный” кубик.

Эти кубики предназначены для игры двух игроков: первый игрок берет один из кубиков набора и бросает его, второй берет один из оставшихся трёх кубиков и тоже бросает его. Тот, у кого выпало больше очков – победил. Ясно, что ни один из игроков не может обеспечить себе победу, но увеличить шансы на победу есть у одного из них. У кого?

Всё зависит от кубиков. Как ни удивительно, но существуют кубики, что если их ранжировать “по силе”, то они окажутся ранжированы по замкнутому циклу A > B > C > D > A. Запись A > B означает, что кубиком A вероятнее выиграть, чем кубиком B. Значит, можно сделать вывод, что у второго игрока больше шансов на победу, потому, что для каждого кубика есть более “сильный” кубик, его и должен взять второй игрок. Например, если первый игрок бросил кубик C, то второй должен бросать кубик B.

Головоломка заключается в том, чтобы найти расстановку 24 чисел на гранях четырех нетранзитивных кубиков В.Кряквина или придумать свою. Привожу фотографию набора кубиков, подаренных мне автором.

Вот так расставляются натуральные числа от 1 до 24 на гранях четырех кубиков. На красном кубике: 3, 4, 5, 20, 21, 22; на зеленом кубике: 1, 2, 16, 17, 18, 19; на жёлтом кубике: 10, 11, 12, 13, 14, 15; на оранжевом кубике: 6, 7, 8, 9, 23, 24. Взглянув на приведенные таблицы, можно легко сравнить вероятность выигрыша в каждой паре кубиков и ранжировать кубики по замкнутому циклу: красный кубик > зеленый кубик > желтый кубик > оранжевый кубик > красный кубик.

Посчитав клетки закрашенных таблиц, определяем, что вероятность победы “сильного” кубика в каждой паре равна 2/3, то есть “сильный” кубик выигрывает в два раза чаще. Стратегия увеличения шансов на победу, естественно, остаётся такой же для второго игрока.

Эти нетранзитивные кубики могут стать хорошим помощником учителю в деле популяризации теории вероятностей среди школьников. Рассказав о кубиках, показав их ребятам, да ещё дав возможность поиграть с ними, Вы удивите своих учеников – это уж точно, и вызовете интерес к этой части математики, которая сейчас активно внедряется в учебный процесс.

Головоломка 3. Головоломка с пятиугольником

Эту головоломку на разрезание придумал Г.И. Ярковой из г. Тольятти. Он не является профессиональным математиком, как говорят, любитель занимательной математики. Его хобби – придумывать и мастерить новые головоломки. Кроме этого он и любит их решать. Достаточно сказать, что Геннадий Иванович является трехкратным чемпион России в заочном первенстве по решению головоломок. В этой его головоломке правильный пятиугольник разрезан на пять частей, которые предлагается вложит в квадратную рамку подходящих размеров.

 Элементы головоломки можно вырезать из плотной бумаги, картона, обрезков линолиума, или другого материала. Уверен, что чуть-чуть “поломав голову”, Вы несомненно уложите кусочки пятиугольника в квадратную рамку подходящих размеров. головоломка получилась замечательная! Оригинальна она тем, что пятиугольник разбивается на пять частей. Напомню, что известное, и наиболее экономное, с точки зрения числа частей разрезание правильного пятиугольника, из которых можно сложит квадрат, содержит шесть частей. Оно описано известным специалистом по разрезаниям Г. Линдгреном в его энциклопедической книге “Задачи на разрезание”. Поэтому разрезание Г. Яркового могло претендовать на рекордное в этом смысле разрезание, но…

Не будем радоваться! Обидно, но расчеты показывают, что четырехугольник MNKF не является квадратом, его длина больше ширины всего лишь на 0,5%. Приведенное разбиение является очень хорошим приближением в том смысле, что можно сделать реальную головоломку. Как говорит автор головоломки: “Доли процента здесь не играют роли!”. Согласен: для головоломки – да, для математики – нет!

Головоломка 4. Упрямые гвозди

Имеется квадратная рамка из дерева и 12 гвоздей. “Забейте” с каждой стороны деревянной рамки по три параллельных гвоздя, соблюдая условие – каждый гвоздь должен пересекать ровно три других гвоздя (разумеется в проекции). На приведенной фотографии это условие выполняется лишь для некоторых гвоздей.

Конечно, эту головоломку можно решать на бумаге с карандашом в руках, но лучше сделать реальную игрушку. Для этого из доски выпилите квадратную рамку, по бокам которой просверлите по три параллельных отверстия для гвоздей. Диаметр сверла подберите таким, чтобы гвозди в отверстии перемещались с небольшим усилием. Осталось гвозди вставить в отверстия рамки и можно “забивать”.

Не забудьте о безопасности: гвозди – острые и колющие предметы. Если с головоломкой будут играть дети, то обязательно притупите их острые концы.

Теперь ещё несколько заданий. Расположите гвозди так, чтобы каждый гвоздь пересекал ровно а) один гвоздь; б) два других гвоздя; в) четыре других гвоздя.

Советы учителю: Можно менять трудность головоломки, меняя количество точек пересечения буквально для каждого гвоздя. Информацию о том, сколько раз каждый гвоздь пересекает другие гвозди можно отразить на корпусе головоломки, указав соответствующие числа напротив каждого гвоздя.

С этой головоломкой я участвовал в обмене на ежегодной 20-ой встрече во всероссийском клубе “Диоген” ценителей головоломок. Встреча проходила в декабре 2013 года в московском городском Дворце творчества детей и молодежи “Неоткрытые острова”. Напомню, что клуб объединяет всех любителей и знатоков головоломок в России, занимается популяризацией “умных игрушек”, поддерживает свой сайт в Интернете, где можно узнать о деятельности клуба. На ежегодных встречах можно узнать самые свежие новости мира головоломок и всё, что с ними связано, познакомиться с новыми авторскими головоломками, попробовать свои силы в решении головоломок различной сложности, пообщаться с другими ценителями головоломок. Приходите на следующую встречу, не пожалеете!

Время пролетело незаметно, на непосредственное общение с головоломками, подержать, повертеть их и попытаться решить осталось десять минут. Это очень мало, но рамки марафона такие жесткие.

После моего выступления ко мне подходило много московских учителей математики. Кто-то просил поделиться опытом использования головоломок в учебном процессе, кто-то просил дать автограф. Одна учительница просила подробней рассказать о моей школьной игротеке с головоломками, другая хотела сделать совместную фотографию. Когда я спросил: “Зачем это Вам?”, – она ответила, что вместе с учениками делает школьный музей головоломок. Тогда я взял со стола свою авторскую головоломку “Тетракуб” и вручил учительнице: “Пусть эта головоломка будет новым экспонатом Вашего музея”. Как обрадовалась учительница неожиданному подарку!

После закрытия Дня математики Л.О.Рослова – главный редактор журнала “Математика” вручила мне благодарственное письмо за успешное выступление на мероприятии и познакомила меня с А.С. Соловейчиком, который брал видеоинтервью у выступавших на Дне учителя математики. Наша беседа о головоломках и их роли в популяризации математики прошла в непринужденной атмосфере. Это интервью, как впрочем, и другие, можно посмотреть на сайте марафона. http://marathon.1september.ru/2013-04-07-1145461#section-18

Уже приехав домой, я на сайте Марафона нашел фотоотчет о Дне учителя математики, где помещена фотография с подписью “Хранитель “Кладовой головоломок”. Приведу выдержку: “Математика становится увлекательным и вполне постижимым предметом с помощью совсем простых вещей: разноцветных кубиков, детских пирамидок, ярких бус. Все эти “несерьезные” штучки грудой лежали на столе перед Николаем Авиловым, преподавателем средней школы № 7 из станицы Егорлыкской Ростовской области, а за его спиной на экране замысловатые чертежи объясняли математическую подоплеку “детских” заданий”.

Из этой поездки в Москву и встреч с московскими учителями я понял, что головоломки интересны и ученикам, и учителям, и что я на правильном пути! Головоломки нужно внедрять в учебный процесс, они помогают популяризировать математику. Сейчас я организовал внеурочные занятия с учащимися начальной школы и вижу, что они так нравятся моим четвероклассникам, они с нетерпением ждут новых встреч с новыми головоломками!

9.04.2015