Урок алгебры в 11-м классе (занятие элективного курса) по теме «Задачи с параметрами. Расположение корней квадратного трёхчлена»

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»


Презентация к уроку

Загрузить презентацию (3 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.


В классах с углубленным изучением математики часто практикуются решение задач на выяснение расположения корней квадратного трёхчлена. В общеобразовательных классах эта тема изучается на элективных курсах. Ниже предлагается описание моего опыта работы по данной теме в 11 классе на занятиях  элективного курса «Решение задач с параметрами». Используются два способа: свойства квадратного трёхчлена и применение геометрического смысла производной.

Изучение нового материала.

Теоретическая часть материала разбирается с помощью презентации. Рассмотрим все возможные пять случаев расположения корней квадратного трёхчлена.

рис.11 случай: оба корня меньше M,

т.е. x1 ≤ x2 < M (Рисунок 1)

формула1

рис.2 2 случай: один корень меньше,

а другой больше M, т.е. x1 < M < x2 (Рисунок 2)

формула2

рис.33 случай: оба корня больше M,

т.е.  M < x1 ≤ x2 (Рисунок 3)

формула3

рис.44 случай: оба корня внутри интервала (M;N),

т.е. M < x1 ≤ x2 < N (Рисунок 4)

формула4

рис.5 5 случай:  x1 < M < N < x2 (Рисунок 5)

формула5

Замечание. Следует особо рассмотреть случай  a = 0.

Упражнения для закрепления

Рассмотрим примеры применения рассмотренного учебного материала. Используем  два способа решения: свойства квадратного трёхчлена и применение геометрического смысла производной. Учащимся выдаются таблицы (Приложение 1). Задания №1, №2, №4 выполняют ученики  на доске. Задания № 3, №5 выполняют самостоятельно (проверка решений с помощью презентации).

№1. Найти значения a, при которых корни  x1, x2 уравнения

2x2 - 2(2a + 1)x + a(a - 1) = 0 удовлетворяют условиям  x1 < a < x2.

рис.6 Решение. Используем второй случай. Составим систему неравенств.

формула6
формула7

Ответ: a < -3, a > 0. 

 (Рисунок 6)

№2. Найти все действительные a, при которых корни оба корня уравнения

(2a + 3)x2 + (a + 1)x + 4 = 0 заключены между  -2 и 0, т.е. -2 < x1 ≤ x2 < 0.

рис.9 Решение. Имеем четвёртый случай. Составим систему неравенств.

формула8
формула9

Ответ: a > 15 + 4√17. (Рисунок 7)

№3. При каких a  корни  x1, x2 уравнения (a -2)x2 - 2(a + 3)x + 4a = 0  удовлетворяют условию x1 < 2 < 3 < x2 ?

рис.13 Решение. Имеем пятый случай.

формула10

Ответ:  2 < a < 5 (Рисунок 8)

№4. При каких a корни уравнения ax2 - 2(2a - 1)x + 2 - 3a = 0

удовлетворяют условию x1 > x2 > 1 ?

рис.15 Решение. Имеем  третий случай             

формула11

Ответ: ни при каких.  (Рисунок 9)

№5. При  каких a все решения уравнения (a - 1)x2 - (a + 1)x + a = 0 удовлетворяют условию 0 < x < 3 ?

рис.18 Решение. Имеет место четвёртый случай.

формула12
<формула13

Если  a - 1 = 0, a = 1, x = 0,5.

Ответ: формула14 (Рисунок 10)

Упражнения для домашнего задания

№1. При каких c оба  корня уравнения  x2 + 4cx + 1 - 2c + 4c2 = 0 меньше -1?

№2. При каких a оба  корня уравнения  (a + 1)x2 - 3ax + 4 = 0  больше 1?

№3. При каких a один из корней уравнения  x2 - (3a + 2)x + 2a - 1 = 0 больше 1, а другой меньше 1?

№4. Найти все значения a  для которых один корень уравнения  2ax2 - 2x - 3a - 2 = 0 больше 1, а другой меньше 1?

№5. При каких a существует единственный корень уравнения x2 - ax + 2 = 0, удовлетворяющий условию 1 < x < 3?