Урок математики по теме "Интегралы в решении практических задач и профильной направленности"

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»


Презентация к уроку

Загрузить презентацию (916 кБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.


Эффективному обучению во многом способствует решение задач с практическим содержанием. Поэтому обращение к примерам из жизни, окружающей обстановке облегчает учителю возможность организовать учебную деятельность учащихся и поддерживать их интерес к обучению. Изучая данную тему, преподаватель должен обратить внимание  студентов на возможность постановки ряда задач, приводящих к нахождению функции по заданной ее производной (по известному закону скорости найти закон движения, по закону протекания тока в цепи  – количество электричества), то есть на необходимость решения задачи, обратной к задаче дифференцирования. При изложении разделов интегрального исчисления используется общий подход: начинаем с постановки одной или нескольких прикладных задач, решение которых осуществляется по одинаковой общей схеме. Мы не ограничиваемся только решения задачи о нахождении площади криволинейной трапеции, а показываем, что по аналогичной схеме можно решать и другие практически важные задачи (определение массы стержня, расстояния, пройденного телом, работы силы на прямолинейном пути и т.д.). Приводится общая схема применения определенного интеграла при решении различных задач. Значительное внимание уделяется рассмотрению и также решению профессионально значимых задач.

Девиз урока: “Математика – язык, на котором говорят все точные науки” Н.И. Лобачевский.

Цели урока:

  1. Образовательные: Обобщить знания учащихся по теме «Применение интеграла при решении практических задач»; расширить кругозор, знания о возможном применении интеграла к решению прикладных задач; прививать познавательный интерес к математике.
  2. Развивающие: Развивать умение анализировать и сопоставлять и логически мыслить, решая практические задачи с применением интеграла.
  3. Воспитательные: Формировать умение четко излагать свои мысли, развивать грамотную математическую речь, аккуратность.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование:  карточки с  заданиями для математической эстафеты, проектор.

Ход урока

1. Организационный момент. Ознакомление с темой урока. Постановка цели урока.

2. Актуализация знаний.

- задания на доске (найти и исправить допущенные при решении ошибки) – 2 человека;

Найти и исправить ошибку:

∫4x5dx = 0,8x4+c
(1/x+ e2)dx = ln|x|+c
x8dx = x9/9
3 x2dx = 1.5 x3+c 0-1∫ x3dx = x4/4=-0,25
(1/x+ln2)dx = ln|x|+c x6dx = 6 x5+c

- В это же время проводится математическая эстафета – работа с группой.

Математическая эстафета

Побеждает тот ряд, который быстрее и правильно справится с заданием.

(Слайд № 2 – ответы к математической эстафете).

3. Решение прикладных задач при помощи интеграла.

Учитель: Выявлять связь школьного курса математики с жизнью и другими учебными предметами всегда важно и интересно. Интеграл принадлежит к числу математических понятий, происхождение и развитие которых тесно связано с решением прикладных задач. Это понятие и построенный на его основе метод применяются сегодня в самых различных областях  научно-практической деятельности человека, в том числе в физике, химии, биологии, экономике, технических дисциплинах и т.д.

Вспомним, как применяется интеграл при решении геометрических задач? (работа со слайдами)

  • нахождение площади плоской фигуры (слайд № 3),
  • нахождение объемов тел (слайд № 5).

Сформулируем алгоритм решения этих задач (слайды № 4, 6, 7):

  • выполнение схематичного чертежа
  • определение пределов интегрирования
  • выбор формулы для вычисления
  • вычисление интеграла

Сделаем вывод: под знак интеграла записывается закон, который описывает некоторую переменную величину, в качестве нижнего и верхнего предела записываются начальное и конечное значения аргумента.

Рассмотрим несколько задач (слайд № 8)

  1. Скорость движения точки  м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.
  2. По цепи идет переменный ток I= 6t- t2(A).Найти величину заряда прошедшего по цепи за первые 6 сек.
  3. Вычислить количество электричества, протекающего по проводнику за промежуток времени [2;3], если сила тока задается формулой I(t)=3t2-2t+5
  4. Вычислить работу за промежуток времени [3;9], если мощность вычисляется по формуле N(t)=5*√t+t2
  5. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией f(t)=1/(t+1)+4

Эти задачи можно решить, используя уже известную нам математическую модель.

На практике задачи задаются не в столь явном виде. Иногда приходится проделать предварительную вычислительную работу или сделать чертеж. (слайды № 9, 10 с условиями 2-х задач). Решим эти задачи.

4. Самостоятельная работа по парам.

Используя таблицу, которую вы видите на экране, составьте и решите задачи с помощью интеграла.

Величины Вычисление производной Вычисление интеграла
А – работа;
F – сила;
N
 – мощность.
F(x)=A' (x);
N(t)=A' (t).
A=;
A=
m –масса тонкого стержня
p – линейная плотность
P(x)=m' (x). m=
Q –электрический заряд;
I – сила тока.
I(t)=q' (t) Q=
S –перемещение;
v –скорость.
V(t)=S' (t) S=
Q –количество теплоты;
с
 – теплоёмкость.
C(t)=Q' (t) Q=

Итог урока: Мы с вами завершили тему “Интеграл”, научились вычислять первообразные, интегралы, площади фигур, рассмотрели применение интеграла на практике, данные задачи могут встретиться на ЕГЭ, думаю, с ними вы справитесь.

Учитель озвучивает оценки за урок.