Урок математики по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессии". 9-й класс

Цели урока: повторение и обобщение изученного материала путём решения комбинированных задач; развитие познавательного интереса к математике.

Задачи: Слайд 2. Презентация

Образовательные:

• Обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».
• Умение применять полученные знания при решении задач.
• совершенствовать навыки решения разнообразных задач по использованию формул арифметической и геометрической прогрессий;
• применять свои знания в практических ситуациях;
• расширять знания учащихся путём решения нестандартных задач;

Развивающие:

• развивать математический кругозор, мышление, математическую речь;
• Развитие умения слушать, обобщать и делать выводы.

Воспитательные:

• воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию; воспитывать чувство прекрасного;
• Воспитание активного желания работать до конца.
• Привития внимания, чувства ответственности, самоконтроля.
• формировать отношения взаимной ответственности при совместной работе;

Оборудование:

• Листы с текстами задач.
• Карточки с самостоятельной работой.
• Таблица результатов по самостоятельной работе.

Тип урока: отработка умений и навыков, применение знаний при решении комбинированных задач.

Форма проведения: личное соревнование с использованием презентации.

Эпиграф урока. Слайд 3. Презентация

“Прогрессио – движение вперёд”.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устный счет.

Какой ответ?

Задание. Слайды 4-5. Презентация.

Задача очень непроста:
Как сделать, чтобы быстро
От единицы и до ста
Сложить в уме все числа?
Пять первых связок изучи,
Найдешь к решению ключи!

Давным-давно сказал один мудрец,
что прежде надо
Связать начало и конец
У численного ряда.

1) 5000; 2) 4949; 3) 5050; 4) 5151.

III. Сценка.

Легенда о шахматной доске (инсценировка) Слайды 6-8. Презентация

Действующие лица:

• Автор;
• Раджа Шерам;
• Раджа Садху;
• Сета (мудрец)
• Казначей;
• Слуга.

Автор: Шахматы – одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания. Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь познакомился с нею, он был восхищён её остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

(Индусский царь Шерам играет в шахматы со своим другом, раджой Садху).

Раджа Садху:

Вся в квадратах – белых, чёрных –
Деревянная доска,
А ряды фигур точёных –
Деревянные войска.

Раджа Шерам:

Люди их передвигают,
Коротают вечера,
Люди в шахматы играют –
Интересная игра!

Раджа Садху:

…Тут ферзи, слоны отважны,
Мчатся поперёк и вдоль,
И, совсем как в сказке, важный
Возвышается король.

Раджа Шерам:

Тут герои в каждом войске,
И выходит рать на рать
Хитроумно и геройски
Воевать и побеждать!

Раджа Садху: Я теперь знаю, что ферзь – сильная шахматная фигура. Оказывается 5 ферзей способны держать под обстрелом все свободные поля доски. Это великолепно.

Раджа Шерам: О, многоуважаемый Садху. А знаешь ли ты кто придумал эту игру? Я тебя сейчас с ним познакомлю. Слуги, позовите сюда моего подданного Сету.

(К трону повелителя подходит скромно одетый мудрец).

Раджа Шерам: Я желаю достойно наградить тебя за прекрасную игру и готов исполнить самое смелое твоё желание. Проси что хочешь.

(Сета молчал).

Раджа Шерам: Не робей. Выскажи своё желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.

Сета: О, властелин наш. Велика доброта твоя. Я прошу выдать за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую (в 2 раза больше) – 2 пшеничных зерна, за третью (в 2 раза больше) 4 пшеничных зерна, за четвёртую ( в 2 раза больше) – 8 и т.д.

Раджа Шерам: Эй, казначей, повелеваю выдать изобретателю его ничтожную награду. – Ты получишь свои зёрна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию. Но знай, что просьба твоя не достойна моей щедрости. Слуги вынесут тебе твой мешок пшеницы. (Обращаясь к казначею). А ты, казначей, пересчитай каждоё зёрнышко, чтобы не было сомнений в том, что я честно с ним расплатился.

(Сета улыбнулся и стал дожидаться у ворот дворца. Вельможи продолжают играть в шахматы).

Раджа Шерам: (слуге) Эй, слуга, позови-ка мне казначея!

(Вбегает расстроенный казначей).

Раджа Шерам: Скажи – ты выплатил положенные зёрна Сете за его прекрасные шахматы?

Казначей: О, раджа, нужного количества зерна в закромах не оказалось! Не найдётся такого числа зёрен и на всём пространстве Земли.

Раджа Шерам: Как? Почему? Ведь мы собрали хороший урожай зерна .

Казначей: Я произвёл расчёты и они оказались печальными: (на клетках шахматной доски). Вот количество зёрен, которые нужно положить на клетки.

 Из легенды об изобретателе шахмат, которая гласит, что изобретатель шахмат Сета попросил у индусского царя Шерам за своё изобретение столько пшеничных зёрен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – в два раза больше, т. е. 2 зерна, на третью – ещё в два раза больше, т.е. 4 зерна, и т.д. до 64-й клетки. Одно из домашних заданий заключалось в том, чтобы посчитать современными способами и записать, сколько зёрен должен был получить изобретатель шахмат?

S₆₄ = 2⁶⁴ – 1 = 18 446 744 073 709 551 615.

18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 миллиарда (биллиона) 709 миллионов 551 тысяча 615.

Это число 18 446 744 073 709 551 615. (Читается: 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615).

Современники сказали бы так:

S₆₄ = 1, 84•10¹⁹ – стандартный вид данного числа.

Если бы индусскому царю Шерам удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыни, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный результат, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться.

Если желаете представить себе огромность этого числа, то прикиньте какой величины амбар потребовался бы для вмещения всего количества зерна.

При высоте амбара 4 м и ширине 10 м длина его должна была бы простираться на 300 000 000 км, - т.е. вдвое дольше, чем от Земли до Солнца.

Раджа Шерам: Да-а-а, я не силён в математике. Видно надо брать уроки математики.

“Так о чём же, ребята, пойдёт сегодня речь?”

IV. Сообщение темы и целей урока.

Слайд 9-13. Презентация.

Конечно о прогрессиях. Но встретим мы её в комбинированных нестандартных задачах. Сегодня мы должны обобщить и систематизировать знания и умения, приобретённые при изучении прогрессий, а также вспомнить, насколько математика может быть занимательной. Нам предстоит поработать и с формулами, вспомнить, как решаются уравнения и строятся графики, посадить “волшебное дерево” и услышать исторические факты, решить задачу и написать тест.

В то время пока двое подсчитывают суммы, следующий ученик комментирует решение и находит ошибку в решенном неравенстве:

x²+ х(-1-1/2-1/4-…) – 8 < 0,

Имеем в скобках сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая равна S=1/(1-1/2)=2, и тогда неравенство приобретает вид

x² -2x -8 <0.

Рассмотрим функцию у = x² -2х -8. График парабола, “ветви” вверх, т.к. а=1, 1>0.

Нули функции: -2. 4

Построим параболу схематично:

 Ответ (-2; 4)

Вопросы к формулам Слайд 11. Презентация

V. Активизация изученного материала.

Великому Эйнштейну приходилось делить время между политикой и уравнениями. Он говорил: “Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.

Слайды 12 -14 . Презентация

3. Итак, уравнение, содержащее прогрессию.

x² -3 |х | = 2+1+0,5+…

Решение: S = = 4.

Уравнение приобретает вид x² - 3 |х | - 4=0.

1) Если х 0, то x² -3х – 4 =0. Его корни 4 и -1;

х= -1 не удовлетворяет условию х  0.

2) Если х < 0, то x² +3х – 4=0. Его корни -4 и 1;

х=1 не удовлетворяет условию х < 0.

Ответ: 4; – 4.

4. Построить график функции:

у = .

Решение. 1 + sin300 + sin2 300 + sin3 300 +... = + … – сумма

бесконечно убывающей геометрической прогрессии, т.к. q=1/2.

S = =2.

Функция приобретает вид: 1) у = х +2, если х > 0. 2) у = х – 2, если х < 0.

Область определения х  0. У доски работают 2 ученика, каждый строит свою часть графика.

5. Логическая задача. Слайд 15. Презентация

Волшебное дерево, первоначальная высота которого 1 м, каждый день увеличивает свою высоту в 2 раза. При этом через 36 дней оно “достанет” до Луны. Через сколько дней оно достало бы до Луны, если бы его высота в начальный момент времени была 8м?

Решение: через 33 дня. Один день – 2 м. Два дня – 4 м. Три дня – 8 м. 36-3=33 дня.

«Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию или катанию на лыжах, или игре на фортепиано; научиться этому можно лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь», - говорил Д. Пойа

Задача 1. Слайд 16-19. Презентация

Последовательность чисел а₁, а₂, а₃,… является арифметической прогрессией. Известно, что а₁+а₅+а₁₅=3. Найти а₅+а₉.

Решение.

Запишем а₅=a₁+ 4d, а₉= a₁+ 8d; а₁₅=a₁+14d

По условию 3a₁+18d=3, и нужно найти 2a₁+12d.

Получаем 3(a₁+6d)=3, то a₁+ 6d =1. Тогда

2a₁+12d.= 2(a₁+ 6d)= 2.1= 2.

Ответ: 2.

Задача 2

Числа а, в, с, d является последовательными членами геометрической прогрессии. . Известно, что а+ d =10, аd =7. Найти в³+ с³.

Решение

Решая систему уравнений

Из симметрии условия задачи ясно, что достаточно рассмотреть любой из двух вариантов, поскольку ответ не зависит от выбора варианта. Рассмотрим, например, случай

а=5+3; d =5-3.

Обозначив величинойq знаменатель прогрессии, имеем

аd =7; а аq³=7;

q³=.

Преобразуем выражение

в³+ с³=а³q³+ а³q⁶= а³q³(1+ q³)= а³.(1+)=(а²+7)=

((5+3)²+7)=.(25+18+7+30)= (5-3)(50+30²)

=250-150+150-180=70.

Ответ: 70.

Задача 3.

Найти сумму .

Решение.

Прежде чем найти данную сумму, вычислим 9+99+999+...+.

S_n = (10-1) +(10²-1) + (10³-1)+…+ (10ⁿ-1)= (10+10²+10³+ …+ 10ⁿ)-n;

S_n = ;

S_n = -n= ;

Тогда =(10ⁿ⁺¹-10-9n)

Ответ. (10ⁿ⁺¹-10-9n).

Задача 4.

Найти семнадцатый член арифметической прогрессии, если сумма ее членов с нечетными номерами с третьего по двадцать девятый (включительно) на 13 меньше суммы членов с четными номерами со второго по тридцатый.

Решение.

Запишем равенство а₃+ а₅+…+ а₂₉= 13+ (а₂+ а₄+…+ а₃₀).

Найдем сумму S₂₉-S₂= а₃+ а₅+…+ а₂₉

а₃= а₁+2d,

тогда S₂₉-S₂=

Найдем сумму S₃₀-S₁=а₂+ а₄+…+ а₃₀

S₃₀-S₁=

Подставим в равенство полученные суммы

13a₁+208d=13+ 14a₁+224d;

Отсюда - ( a₁+16d) =13, а a₁+16d= - 13.

Ответ. – 13

VI. Физминутка.

видео

VII. Самостоятельная работа.

Слайд 15. Презентация.

Следующий тест позволит проверить вашу готовность к нему по теме “Прогрессии”. (Текст теста по вариантам).

Решается тест в тетради, записывается номер ответа на карточку, тесты сдаются и выполняется проверка по коду. Привожу пример теста.

VIII. Подведение итогов.

Слайд 21-22. Презентация

Итак, сегодня мы в нестандартных комбинированных заданиях обобщили и систематизировали знания и умения, приобретённые при изучении прогрессий, , поработали с формулами, вспомнили, как решаются уравнения и строятся графики, встретились с занимательной математикой и посадили “волшебное дерево” при решении занимательной логической задачи, услышали исторические факты, решили задачу и написали тест. (Итоги подводят ученики)

IX. Выставление оценок.

За работу с формулами и тестом каждый учащийся получает оценки в журнал. Дополнительные оценки получают те, кто был активен на уроке.

X. Домашнее задание.

Слайд 23. Презентация

1. Мама предложила сыну на выбор два варианта: давать ему ежедневно на карманные расходы в течении месяца по восемь рублей или дать в первый день 50копеек, зато в следующий на 50 копеек больше, в следующий еще на 50 копеек больше и так далее в течении месяца. Какой вариант выгоднее для сына, если мама с сыном договаривается на апрель? На март?
2. Найдите значение выражения: (1²+3²+5²+…+199²) – (2²+4²+…+200²)
3. Решите уравнение: 1+4+7+…+х =176
4. Найти сумму
5. Найти девятнадцатый член арифметической прогрессии, если сумма ее членов с нечетными номерами с девятого по двадцать девятый (включительно) на 14 больше суммы членов с четными номерами с восьмого по тридцатый.