Цели:
- Обучать
Форма: урок-беседа.
Методы: диалог, наглядные пособия и слайды.
Оборудование и материалы для урока: компьютер, проектор, экран (интерактивная доска), интерактивная презентация для сопровождения урока.
Ход урока
Учитель: Ребята! Сегодня у нас обобщающий урок по теме: «Линейная функция». Исходя из формулировки темы, какие цели вы должны поставить перед собой на сегодняшний урок?
Ученик: Необходимо повторить весь теоретический материал и применить его для решения задач. (Приложение 1, слайд 1)
Для достижения целей урока будем идти по следующему маршруту (слайд 2).
Итак, повторим основные вопросы темы:
1) Вставьте формулы пропущенных функций (Слайд 3).
2) Какую функцию следует выбрать (Слайд 4).
3) Найдите и исправьте ошибки (Слайд 5).
4) Что необходимо для построения графика? (Слайд 6)
Ученик: Для построения графика нужны: формула, прямоугольная система координат, точки с вычисленными координатами.
5) Повторим координатную плоскость. Что представляет прямоугольная система координат?
Ученик: Прямоугольная система координат на плоскости представляет две перпендикулярные координатные прямые х и у, которые пересекаются в начале отсчета – точке О, точку О называют началом координат, плоскость на которой выбрана система координат называется координатной плоскостью. Положение любой точки М на плоскости определяется парой чисел (х;у) – координаты точки М. число х – называется абсциссой, а у – ординатой. Координатная прямая Х называется осью абсцисс, а координатная прямая У называется осью ординат.
Учитель: Прямоугольную систему координат часто называют декартовой, как вы думаете, почему?
Ученик: (Слайд 7) Сообщение:
Рене Декарт (1596–1650)
«Для того чтобы усовершенствовать ум, надо больше размышлять, чем
заучивать», – писал Декарт. Декарт – знаменитый французский ученый, так проявил
себя в литературном мастерстве, что занесен в ряд основателей французской прозы
нового времени. Вообще-то он и начинал свою творческую жизнь с поэзии и много
работал в этом жанре.
Рене Декарт родился 21 марта 1596 года в маленьком городке Ла-Гэ в Турени. Род
Декартов принадлежал к незнатному чиновному дворянству. Детство Рене провел в
Турени, славившейся садами, плодородием и мягкостью климата. В 1612 году Декарт
закончил школу. Он провел в ней восемь с половиной лет.
О создании прямоугольной системы координат. Полярная система координат. Вклад Декарта в развитие математики.
Более чем за 100 лет до нашей эры греческий учёный Гиппарх предложил провести на карте Земли параллели и меридианы. Таким образом, возникли хорошо всем известные Географические координаты: широта и долгота, которые обозначаются цифрами. В 14 веке французский учёный Оресле по аналогии с географическими координатами создал координатную плоскость. Он поместил на плоскость прямоугольную сетку и назвал широтой и долготой то, что сейчас мы называем абциссой и ординатой. Термины абцисса и ордината были введены в употребление Лейбницем в 17 веке. Однако основная роль в создании метода координат принадлежит французскому учёному Рене Декарту. Трудно переоценить значение декартовой системы координат для развития математики и её приложений.
Наряду с декартовой системой координат существуют и другие. Например, полярная система координат. Чтобы построить эту систему, необходимо отметить на плоскости некоторую точку О – полюс (отсюда и название – полярная система). Чтобы определить координаты точки, нужно соединить её с точкой О, определить длину отрезка и величину угла между между этим отрезком и полярной осью. Направление полярной оси можно выбрать произвольно. Так, географы за направление полярной оси выбирают направление на Север, а полярный угол называют азимутом. Артиллеристы же отсчитывают азимут от направления на Юг.
Главная заслуга Декарта заключается в том, что он создал аналитическую геометрию, в которой геометрические задачи переводятся на алгебраический язык методом координат. Кроме того, Декарт предложил неизвестные обозначать латинскими буквами x, y, z; коэффициенты – буквами a, b, c; степени – в виде x2, y3, a7 и т.д.
Декарту принадлежит теорема алгебры, формулировка которой имеет вид: “Число корней любого алгебраического уравнения равно его степени”. Эта теорема доказана была лишь в 18 веке математиком Гапсом. Однако интерес Декарта не ограничивался одной математикой, он также занимался механикой, оптикой, анатомией, биологией.
Увековечил он себя в области математики и философии, а все же его последней работой была пьеса в стихах.
Учитель: Готфрид Лейбниц – немецкий математик, впервые употребил термин «функция» сначала в рукописи (1673 г.), а затем и в печати (1692 г.).
Латинское слово function переводится как «свершение, исполнение». Лейбниц ввёл это понятие для названия различных параметров, связанных с положением точки на плоскости. Под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по определённому закону.
Ученик: (Слайд 8) Сообщение:
Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1646–1716) – немецкий философ, математик, физик, языковед. Основатель и президент (с 1700) Бранденбургского научного общества (позднее – Берлинская АН). Готфрид Лейбниц родился 1 июля 1646, Лейпциг. Скончался 14 ноября 1716, в Ганновере.В 1671 Готфрид Лейбниц публикует работу «Новая физическая гипотеза». В 1672 он прибывает в Париж с дипломатической миссией и остается там вплоть до 1676. В Париже он завязывает широкие знакомства с учеными и философами, активно занимается математическими проблемами, конструирует «компьютер» (усовершенствуя счетную машину Блеза Паскаля), умеющий выполнять основные арифметические действия.
В 1675 Лейбниц создает дифференциальное и интегральное исчисление, обнародовав главные результаты своего открытия в 1684, опережая Исаака Ньютона, который еще раньше Лейбница пришел к сходным результатам, но не публиковал их (хотя Лейбницу в приватном порядке были известны некоторые из них). Впоследствии на эту тему возник многолетний спор о приоритете открытия дифференциального исчисления.
Готфрид Лейбниц был исключительно эрудированным человеком в философии и во многих научных областях. Наибольшее влияние произвели на него философские идеи Рене Декарта, Т. Гоббса, Б. Спинозы, Н. Мальбранша, П. Бейля и др. Перенимая у них самое ценное, Лейбниц при этом вел активную полемику со всеми упомянутыми мыслителями.
В 1702–1703 вывел правила дифференцирования важнейших трансцендентных функций, положившие начало интегрированию рациональных дробей. Именно Лейбницу принадлежат термины «дифференциал», «дифференциальное исчисление», «дифференциальное уравнение», «функция», «переменная», «постоянная», «координаты», «абсцисса», «алгебраические и трансцендентные кривые», «алгоритм».
Учитель (раздаю карточки двум ученикам) (Приложение 2).
Учитель: Повторили координатную плоскость, послушали сообщения из истории, теперь обобщим тему «Линейная функция».
Ученик 1: 1) Площадь квадрата зависит от длины его стороны; путь пройденный
автомобилем с постоянной скоростью зависит от времени движения и т.д. Таких примеров можно рассмотреть много.
Во всех примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Такую зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или функцией.
2) (Слайд 9) Если рассмотрим рисунок, то на первом рисунке функция, а вторая кривая не является функцией, потому что значению х =0 соответствует три значения у.
Независимая переменная называется аргументом, а зависимая называется функцией от этого аргумента.
3) Значения зависимой переменной называют значениями функции.
Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.
4) Например:
а) у = 6(х – 7) (х + 2) – это многочлен, поэтому х принимает любое значение из множества действительных чисел, поэтому областью определения функции является множество |R.
б) у = 3/х + 4, т.к. на 0делить нельзя, то х н может равняться 0, поэтому областью определения является множество всех действительных чисел, кроме 0.
5) Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а координаты – соответствующим значениям функции.
Ученик 2:
6) Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой у = k х, где х – независимая переменная, k – не равное нулю число.
Пусть х1 и х2 значения аргумента, а у1; у2 – соответствующие им значения функции, тогда
у1 = k х1,
у2 = k х2.Отсюда
у1/х1 = k
у2/х2 = k
т.е. у1/х1 = у2/х2, получаем х1/х2 = у1/у2, – верна пропорция.
Отсюда и название прямая пропорциональность.
7) Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Чтобы построить график функции у = k х, достаточно найти координату какой-нибудь точки графика этой функции отличной от начала координат, отметить эту точку и через нее и начало координат провести прямую. (Слайды 10,11)
8) График прямой пропорциональности расположен в I и III четвертях при k>0 и во II и IV четвертях при k<0.
Ученик 3:
9) Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у = k х + b, где х – независимая переменная, k и b – некоторые числа.
10) Графиком линейной функции является прямая. Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.
11) Расположение графика функции у = k х + b на координатной плоскости зависит от значения коэффициентов k и b. Если угловые коэффициенты прямых являющихся графиками двух линейных функций различны, то эти прямые пересекаются, а если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны. (Слайд 12)
12) Рассмотрим частные случаи линейной функции если k = 0, то получаем у = b. Графиком такой функции являются прямые параллельные оси 0Х. Графики функции, заданные формулами у = k х + b с различными k и одним и тем же значением b, пересекаются в одной точке, лежащей на оси У.
Учитель: Смотрим на экран и отвечаем на следующие вопросы.(Слайд 13)
Учитель: Научить строить графики нелегко, но интересно. Графический способ один из самых удобных и наглядных способов представления и анализа информации. В каких отраслях знаний могут быть использованы графики? Какие они могут быть?
Ученик: (описывает слайды) (Слайды 14-20).
Учитель: – Как вы думаете, где еще могут применяться графики?
Ученик: Метеорология: (Слайды 21)
Метеорологическая служба фиксирует изменение температуры в течение суток. Записывают эти данные в виде таблицы, однако гораздо удобнее провести исследование поведения температуры, представив эти же данные графически. Данные таблицы переносят на координатную плоскость. Все построенные таким образом точки будут лежать на некоторой плавной линии. Эту линию называют графиком температуры. Такие графики метеорологи получают с помощью спец. прибора – термографа, отмечающего температуру на движущейся ленте или на экране дисплея.Сейсмология: (Слайды 22)
Используя показания сейсмографов – приборов, фиксирующих колебания почвы и строящих специальные графики-сейсмограммы – геологи могут предсказывать приближение землетрясения или цунами.Медицина: (Слайды 23)
Врачи выявляют болезни сердца, изучая полученные с помощью кардиографа кардиограммы.Экономика: (Слайды 24)
Широко используются различные графики и в экономике. Есть известная поговорка: чем больше пушек – тем меньше масла. Имеются в виду возможности производства в одной стране продовольствия и вооружения. Оказывается, верность поговорки подтверждают и математические расчеты. На рисунке эти расчеты представлены графически. Экономисты изображенный график называют линией производственных возможностей. Этот график показывает, как изменяется структура производства в условиях подготовки к войне и ведения войны, почему при этом появляется дефицит товаров и продуктов питания. Работаем по графику. Делаем вывод.Физика: (Слайды 25)
На уроках физики мы также встречались с графиками. В основном это были графики движения тел. Тело, размеры которого много меньше размеров подвеса, называют математическим маятником. Приведем его в движение. Как движется тело? Верно, влево – вправо, при этом его движение может быть описано графиком, который носит название синусоида (показ заранее заготовленного графика.Ученик 1: Механическим движением тела называется изменение с течением времени его положения по отношению к другим телам. Мы постоянно встречаемся с движением тел в повседневной жизни, в технике и науке. Движения совершают различные механизмы, станки, транспортные средства и т. д. В мировом пространстве движутся Земля и другие планеты, кометы, метеорные тела.
(Слайд 26) (путь метеорита на звездном небе).
След от метеорита на ночном небе виден в виде прямой. Движутся молекулы, атомы, электроны, протоны, альфа-частицы и другие элементарные частицы (мельчайшие частицы вещества). Например, след альфа-частиц в камере Вильсона напоминает нам уже увиденные прямые-графики линейных функций.
(Слайд 27) (след альфа-частиц в камере Вильсона).
Практически все физические явления сопровождаются движением тел, поэтому изучение физики мы начали с механического движения.
Ученик 2: Среди разнообразных движений часто встречаются такие, при которых тело проходит равные отрезки пути за любые равные отрезки времени. Такие движения называются равномерными. Например: на длинном ровном перегоне поезд движется равномерно, удары колес о стыки рельсов слышны через одинаковые промежутки времени; километровые столбы ( или телеграфные столбы) проходят мимо окна также через одинаковые промежутки времени. При равномерном движении тело движется с постоянной скоростью. Например: так движется автомобиль на прямом участке пути при неизменной работе двигателя. Зависимость пути от времени определяется формулой s=vt, а график движения – это прямая .
Ученик 3: Линейная функция очень часто встречается в практической деятельности:
1) Длина стержня является линейной функцией температуры. Длина рельсов мостов также является линейной функцией температуры.
2) Расстояние, пройденное пешеходом, поездом, автомашиной при постоянной скорости движения – линейная функция времени движения.
3) Объем работы, выполненной механизатором, рабочим предприятия при постоянной производительности, является линейной функцией времени работы.
Статистика (Слайд 28)
… и этот список можно продолжать.Учитель: Практическая работа
№ 365 (Слайд 29)
у= 1/4 х + 3;
-4 ≤ х ≤ 8;
у= 2, 3, 4, 5.
Х -4 0 8 У 2 3 5
№ 367
а) у = 100 – 25х, если график пересекает ось Х, то значение функции равно 0, и чтобы ответить на вопрос, нужно решить уравнение:
100 – 25х = 0
х=4
Следовательно, график линейной функции пересекает ось Х в точке (4;0).
б) у = 7х = 49
х = -7.
в) у = 200х
х = 0.
г) у = -75х
х = 0 .
д) у = -15 не пересекает ось Х, т.е. параллельна оси ОХ,
у = 15 не пересекает ось Х, т.е. параллельна оси ОХ.
№ 369
У = кх + 1,
к = -0,4,у = -0,4х,
у = -0,4х + 1
-19 = -0,4 • 50 + 1 = -20 + 1 = -19
-19 = -19,М(50;-19)
т.М(50;-19) принадлежит графику функции.
№ 371
у = 8, т.к. искомая прямая параллельна оси Х и проходит через т.А(5;8).
№ 372
у = 4х + 9
у = 6х – 5=> 4х + 9 = 6х – 5; 4х – 6х = -9 – 5; -2х = -14; х = 7 у = 4 • 7 + 9 = 36. т.А(7;36)
т.А(7;36) – точка пересечения графиков.
№ 1. (Слайд 30)
Прямая проходит через точку (5;0) параллельно оси ординат. Какой вид имеет ее уравнение?
Ответ: х = 5
№ 2. (Слайд 31)
Прямая проходит через точку (0;7) параллельно оси абсцисс. Какой вид имеет ее уравнение?
Ответ: у = 7
№ 3.
Линейная функция у = kх + b принимает при х = -10 значение у = 41, при х = 6 значение у = 9. Найти эту функцию.
Решение:
41 = -10 k + b
9 = 6 k + b=> b = 41 + 10 k
9 = 6 k + 41 + 10 k=>
=> b = 10 k + 41
9 – 41 =16 k=> b = 10 k + 41
16 k = -32=>
=> b = 10 k + 41
k = – 2=> b = 21
k = – 2
у = -2 х + 21
Ответ: у = -2 х + 21
№ 4.
Прямая проходит через точки А (0;0), В (а;с). Найти линейную функцию графиком, которой является эта прямая.
Решение: Линейная функция имеет вид у = kх + b, т.к. по условию задачи график данной функции проходит через т.А (0;0), то это прямая пропорциональная функция, т.е. принимает вид у = kх, тогда с = k • а, к = с/а, функция имеет вид у = с/а • х.
№ 5.
Построить график функции у = | х |.
Построение: Т.к. при х > 0 | х | = х, то этот график совпадает с графиком у = х и является лучом, проходящим через начало координат под углом 45 0 к оси абсцисс, т.е. является биссектрисой первого координатного угла. (Слайд 32)
При х < 0 имеем | х | = – х, значит при отрицательном значении х график функции у = | х | совпадает с биссектрисой второго координатного угла. (Слайд 33).
Тогда получим график (Слайд 34).
№ 6.
Построить график функции у = | х | + 1.
Построение: Получим этот график из графика функции у = | х |. Для этого составим таблицу значений функции у = | х | + 1 и сравним с таблицей значений функции у = | х |.
у = | х |
Х -2 -1 0 1 2 У 2 1 0 1 2 у = | х | + 1
Х -2 -1 0 1 2 У 3 2 1 2 3
Сравнивая эти таблицы, заметим, что из каждой точки первого графика у = | х | можно получить точку второго графика у = | х | + 1, увеличив | х | на единицу. Тогда точка (-2; 2) графика у = | х | переходит в точку (-2; 3) графика у = | х | + 1, лежащую на 1 выше первой. Значит, чтобы получить точки второго графика нужно каждую точку первого графика сдвинуть на 1 вверх, т.е. весь второй график получается из первого сдвигом вверх на единицу. (Слайд 35).
№ 7.
Построить график функции у=1,5х-6.
1. Возьмем два каких-либо значения х и вычислим соответствующее им значение у: при х=0 у=-6; при х=6 у=3.
2. Отметим на координатной плоскости точки А(0;-6) и В(6;3).
3. Проведем через эти точки прямую. (Слайд 36)
Эта прямая и есть искомый график. При построении графика мы взяли как одну из точек искомой прямой точку пересечения графика с осью ординат. Заметим, что прямая у = kx+b пересекает ось ординат в точке с координатами (0; b).
Учитель: Ребята, записываем домашнее задание № 362, 366, 372 (в,г). Спасибо за урок!