Способы решения тригонометрических уравнений

Разделы: Математика

Цели урока:

  • Образовательные – закрепить навыки решения тригонометрических уравнений методом введения новой переменной, методом разложения на множители, однородные уравнения, подготовка к ЕГЭ.
  • Развивающие – развитие интеллектуальных умений сравнивать, обобщать, выделять главное, внимание и память, развитие познавательной активности учащихся, логического мышления и поисковой деятельности, навыков применения знаний в новой ситуации.
  • Воспитательные – воспитание самооценки, мобильности.

Тип урока: применение знаний, умений и навыков.

Методы обучения: тестирование по проверке уровня знаний, частично-поисковые методы, решение познавательных обобщающих задач, взаимопроверка.

Форма организации деятельности учащихся на уроке: коллективная мозговая атака, индивидуальная, фронтальная работа.

Оборудование: рабочие тетради, тесты, задания на доске, учебник А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова и др. «Алгебра и начала анализа 10-11 классы», доска.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Устный счет

arccos                    arccos 0                     arcctg
arcsin 0                      arccos                  arcctg  1
arcsin                       arctg 1                      arcctg   

III. Актуализация опорных знаний

1. Индивидуальный опрос учащихся у доски

Решить уравнения: 1. cos               2.  sin 3x =                3. tg ( x –

2. Остальные учащиеся в это время выполняют тестовые задания по формулам решения простейших тригонометрических уравнений

1 вариант.

Решить уравнения:

2 вариант.

Решить уравнения:
1. cos x = a
  1. arccos a + 2n,   n Z
  2. + arccos a + n,   n Z
  3. + arccos a + 2n,   n Z
  4. (–1)n  arccos a + n,   n Z
 1.  sin x = a
  1. arcsin a + 2,  n Z
  2. (–1)n  arcsin a + 2,  n Z
  3. (–1)n  arcsin a + ,  n Z
  4. + arcsin a + 2,  n Z
2.   tg x = a
  1. arctg a + 2n,  n Z
  2. arctg a + n,  n Z
  3. arctg a + n,  n Z
  4. + arctg a + n,  n Z
 2.   ctg x = a
  1. arcctg a + 2n,  n Z
  2. arcctg a + n,  n Z
  3. + arcctg a + n,  n Z
  4. arcctg a + n,  n Z
3.   cos x = 0
  1.  n Z
  2.   n Z
  3. 2 n Z
  4. 2 n Z
 3.   sin x = 0
  1.  n Z
  2. 2 n Z
  3. 2  n Z
  4.  n Z
4.    sin x = 1
  1. –  n Z
  2. 2 n Z
  3. – 2 n Z
  4.  n Z
 4.   cos x = 1
  1.  n Z
  2. 2 n Z
  3. –  n Z
  4. 2 n Z
5.   cos x = – 1
  1. ,  n Z
  2. ,  n Z
  3. ,  n Z
  4. ,  n Z
 5. sin x = – 1
  1. – 2 n Z
  2. –  n Z
  3. 2 n Z
  4.  n Z

Ответы:

1 вариант:                                                 2 вариант:

  1. 3                                                          1.  3
  2. 3                                                          2.  2
  3. 2                                                          3.  1
  4. 2                                                          4.   4
  5. 1                                                          5.  1

3.  Теоретический фронтальный опрос

– Какие методы решения тригонометрических уравнений вам известны?

Ответ: введение новой переменной, разложение на множители, однородные уравнения.

IV. Решение уравнений

Задание классу:   Определите общий метод решения уравнений в каждом блоке и найдите лишнее уравнение.

1 Блок

1) 2 sin2x + 5 sin x – 3 = 0
2) 3 tg x + 5 ctg x – 8 = 0
3) 5 sin2 x + 4 sin x cos x – cos2 x = 0
4) cos2  + 2 sin  + 2 = 0

Ответ: метод введение новой переменной, лишнее  уравнение под номером 3.

Рассмотреть решение 4 уравнения.

Решение: 

1 –  sin2  + 2 sin  + 2 = 0
sin2  – 2 sin  – 3 = 0
Пусть    sin  = t,    t2 – 2 t – 3 = 0,    D = 16,    t1 = 3,    t2 = – 1.
sin  = 3                                             sin = – 1
нет решения                                      x = – n,  n Z

Ответ: – n,  n Z

2 Блок

1)  sin2x – 5 sin x cos x + 4 cos2x = 0
2)   sin x +  cos x = 0
3)  3 sin x cos x – 3 sin x = 0
4)  3 sin2x –  sin x cos x  = 2

Ответ: однородные уравнения, лишнее 3 уравнение.

Рассмотреть решение 4 уравнения.

Решение:  

3 sin2x –  sin x cos x  – 2 sin2x – 2 cos2x = 0
sin2x –  sin x сos x   – 2 cos2x = 0      /   cos2x  0
tg2x – tg x – 2 = 0

Пусть   tg x = t,    t2 –  t – 2  = 0,    D = 9,    t1 = 2,    t2 = – 1.
tg x = 2                                        tg x = – 1
x = arctg 2 +  k,  k Z             x = – , n Z
Ответ:  arctg 2 +  k,  k Z,    – , n Z

3 Блок

1) (2 cos x  – 1) (2 cos x  + 1) = 0
2)  sin x cos x   – 3 cos x = 0
3)  2 tg2x + 3 tg x – 2 = 0
4)  cos2x – 7 sin x + sin x cos x  – 7 cos x = 0

Ответ: метод разложения  на множители, лишнее 3 уравнение.

Рассмотреть решение 4 уравнения.

Решение:

cos x (cos x + sin x) – 7(cos x + sin x) = 0
(cos x + sin x) (cos x – 7) = 0
cos x + sin x = 0                                 cos x  – 7 = 0
1 + tg x = 0                                        cos x = 7
x = – , n Z                         нет решения
Ответ:   – , n Z

V. Подготовка к ЕГЭ

ЕГЭ (2006 г).

С1. Решить уравнение.  7 tg x + cos2x + 6 sin x  cos x  = 1

Решение:

7 cos2x  + 6 sin x  cos x  – cos2x – sin2x = 0            ОДЗ:  cos x 0
7  6 sin x  cos x  – sin2x = 0                                     x   n Z
sin x ( + 6  cos x  – sin x) = 0

sin x = 0                                  + 6  cos x  – sin x =0
x = ,  n Z                       7 + 6 cos2x  –  sin x  cos x = 0
7 sin2x + 7 cos2x + 6 cos2x  –  sin x  cos x = 0
7 sin2x + 13 cos2x  –  sin x  cos x = 0        /   cos2x  0
7 tg2x – tg x + 13 = 0
Пусть   tg x = t,   7 t2 –  t + 13  = 0,    D = 1 – 364 < 0  нет решений.

Ответ:  ,  n Z

VI. Итоги урока

VII. Домашнее задание

1 уровень –  учебник  № 358 (г), 361 (г), 363 (г);
2 уровень – учебник  № 377 (а), 378 (а), 386 (а).