Урок алгебры в 9-м "Сумма n первых членов геометрической прогрессии"

Разделы: Математика

Девиз: “Мало знать, надо уметь этим пользоваться”.

Цели: вывести формулу суммы п первых членов геометрической прогрессии, сформировать у учащихся умение применять данную формулу при решении стандартных задач, показать практическое применение этой формулы в жизненных ситуациях, развивать логическое мышление, воспитывать культуру умственного труда.

Тип урока: комбинированный.

Подготовительный этап: снят ролик “Легенда о шахматной доске” (возможна постановка инсценировки данного ролика).

Форма организации деятельности: фронтальная, парная (взаимоконтроль), индивидуальная (самоконтроль).

Ход урока

I. Оргмомент.

II. Устная работа (мультимедийный просмотр)

1. Составьте рекуррентную формулу п-го члена геометрической прогрессии:

а) 1,6; 0,8; 0,4; (b1 =1,6; bn =bn-1 • )
б) 27; 9; 3; (b1 =27; bn =bn-1 • )
в) 3; 6; 6. (b1 =3; bn =bn-1 • )

2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (bn),  если b6 =100, b8 =9. (q1= , q2 = - )

3. В классе 31 ученик. В период эпидемии гриппа в классе в первый день заболел 1 ученик, во второй день заболело 2 ученика, в третий день заболело 4 ученика. Сколько учеников заболеет на четвёртый день при такой закономерности? Через сколько дней весь класс не будет учиться?

[Учитель: “Данные числа задают геометрическую прогрессию. Здесь мы нашли суммы 5 первых членов геометрической прогрессии”]

III. Изучение нового материала

- Примеры геометрической прогрессии мы наблюдаем в повседневной жизни.

- Просмотр фильма “Легенда о шахматной доске” (4 мин 25 сек). (Приложение 1 – находится у автора).

Легенда о шахматной доске (инсценировка)

Действующие лица:

Автор;

Раджа Шерам;

Раджа Садху;

Сета (мудрец);

Казначей;

Слуга.

Автор: Шахматы – одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания. Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь познакомился с нею, он был восхищён её остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

(Индусский царь Шерам играет в шахматы со своим другом, раджой Садху).

Раджа Садху:

Вся в квадратах – белых, чёрных –
Деревянная доска,
А ряды фигур точёных –
Деревянные войска.

Раджа Шерам:

Люди их передвигают,
Коротают вечера,
Люди в шахматы играют –
Интересная игра!

Раджа Садху:

…Тут ферзи, слоны отважны,
Мчатся поперёк и вдоль,
И, совсем как в сказке, важный
Возвышается король.

Раджа Шерам:

Тут герои в каждом войске,
И выходит рать на рать
Хитроумно и геройски
Воевать и побеждать!

Раджа Садху: Я теперь знаю, что ферзь – сильная шахматная фигура. Оказывается 5 ферзей способны держать под обстрелом все свободные поля доски. Это великолепно.

Раджа Шерам: О, многоуважаемый Садху. А знаешь ли ты кто придумал эту игру? Я тебя сейчас с ним познакомлю. Слуги, позовите сюда моего подданного Сету.

(К трону повелителя подходит скромно одетый мудрец).

Раджа Шерам: Я желаю достойно наградить тебя за прекрасную игру и готов исполнить самое смелое твоё желание. Проси что хочешь.

(Сета молчал).

Раджа Шерам: Не робей. Выскажи своё желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.

Сета: О, властелин наш. Велика доброта твоя. Я прошу выдать за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую (в 2 раза больше) – 2 пшеничных зерна, за третью (в 2 раза больше) 4 пшеничных зерна, за четвёртую ( в 2 раза больше) – 8 и т.д.

Раджа Шерам: Эй, казначей, повелеваю выдать изобретателю его ничтожную награду. – Ты получишь свои зёрна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию. Но знай, что просьба твоя не достойна моей щедрости. Слуги вынесут тебе твой мешок пшеницы. (Обращаясь к казначею). А ты, казначей, пересчитай каждоё зёрнышко, чтобы не было сомнений в том, что я честно с ним расплатился.

(Сета улыбнулся и стал дожидаться у ворот дворца. Вельможи продолжают играть в шахматы).

Раджа Шерам: (слуге) Эй, слуга, позови-ка мне казначея!

(Вбегает расстроенный казначей).

Раджа Шерам: Скажи – ты выплатил положенные зёрна Сете за его прекрасные шахматы?

Казначей: О, раджа, нужного количества зерна в закромах не оказалось! Не найдётся такого числа зёрен и на всём пространстве Земли.

Раджа Шерам: Как? Почему? Ведь мы собрали хороший урожай зерна .

Казначей: Я произвёл расчёты и они оказались печальными: (на клетках шахматной доски). Вот количество зёрен, которые нужно положить на клетки.

Это число 18 446 744 073 709 551 615. (Читается: 18 квантильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615).

Если желаете представить себе огромность этого числа, то прикиньте какой величины амбар потребовался бы для вмещения всего количества зерна.

При высоте амбара 4 м и ширине 10 м длина его должна была бы простираться на 300 000 000 км - т.е. вдвое дольше, чем от Земли до Солнца.

Раджа Шерам: Да-а-а, я не силён в математике. Видно надо брать уроки математики.

- Возникает вопрос: как найти суммы n первых членов геометрической прогрессии, если известен её первый член и знаменатель. В противном случае подсчёты будут долгие и утомительные.

Вывод формулы:

Пусть дана геометрическая прогрессия (bn). Обозначим сумму первых n членов через S:

  (1) |•q

(2)

Из (2) – (1)

(I) при q1

Если q=1, то

Нам известно, что , тогда

, где q1

IV. Закрепление: №648 (б), 649 (в), 650 (а)

№648 (б)

bn – геом.прогр.

b1=500

S5 - ?

 ;

 

Ответ: 624,8

№649 (в)

bn – геом.прогр.

b1=-32

b2=-16

S6 - ?

;

Ответ: -63

№650 (а)

Сn – геом.прогр.

С1=-4

q=3

S9 - ?

 ;

Ответ: -39360

Учитель: В жизни мы часто встречаемся с примерами нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии (это сбыт товара с использованием различных акций; финансовые игры (финансовые пирамиды); размножение растений и др.) Поэтому – д/з: подготовить примеры применения геометрической прогрессии в жизни.

V. Итог урока.

1. Что нового узнали на уроке?

2. Запишите формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии (q?1): если известен первый член и знаменатель геометрической прогрессии; если известен первый n-й член и знаменатель.

3. Ответьте на вопрос: “Что у каждого из вас получается хорошо при решении задач? Что плохо? Почему?”. (Опрос провести выборочно)

VI. Домашнее задание: п.28, №648 (а), 649 (а, б), 650 (б), 660 (а), примеры применения геометрической прогрессии в жизни (оформить в электронном виде).

Используемая литература

  1. Алгебра: Учебник для 9 класса/ Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; Под ред. С.А.Теляковского,- М.; Просвещение, ОАО “Московские учебники”, 2009.
  2. Рурукин А.Н., Полякова С.А. Поурочные разработка по алгебре: 9 класс. - М.: ВАКО, 2010
  3. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика/Глав.ред. М.Д.Аксёнова. - М.: Аванта+, 2000.