Логарифмическая функция, ее свойства и график.10-й класс

Разделы: Математика

Ведущая педагогическая цель урока (ВПЦ): формирование знаний свойств логарифмической функции и умений применять эти свойства при решении задач.

Триединая дидактическая цель урока (ТДЦ).

Обучающий аспект:
– формирование ЗУН в построении графика логарифмической функции, как обратной к показательной функции с тем же основанием, в нахождении области определения логарифмической, в исследовании ее на возрастание (убывание), сравнение чисел, используя свойства логарифмической функции;
– ликвидация пробелов в ЗУН по темам “Показательная функция” и “Обратная функция”.

Развивающий аспект:
– развитие познавательного интереса;
– усвоение принципов мыслительной деятельности (анализ, сравнение, синтез, выделение главного, систематизация , классификация);
– развитие интеллектуальной сферы (внимание, память);
– развитие речи;
– развитие эмоциональной сферы;
– развитие способностей (индивидуально).

Воспитательный аспект:
– воспитание сознательного отношения к учебе;
– воспитание сознательной дисциплины;
– воспитание культуры умственного труда;
– воспитание культуры поведения;
– воспитание эстетической культуры.

Тип урока (ТУ): Урок изучения новых знаний.

Структура урока (СУ):

  1. Организация начала урока.
  2. Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности на уроке.
  3. Усвоение новых знаний.
  4. Закрепление знаний.
  5. Подведение итогов уроков, рефлексия.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран.

Ход урока

1. Организация начала урока.

2. Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности.

Задачи:
– актуализация опорных знаний и умений;
– формирование познавательных мотивов.

Уровень усвоения: репродуктивный, продуктивный.
Характер УПД: продуктивный.
Способ организации УПД: фронтальная работа.
Время: 5 минут.

Задание № 1.

Какие из функций : У=2х+3; у=ІхІ; у=-х2+3; у=х3; у=2хне имеют обратных функций?

Вопрос. Сформулируйте условие существования функции, обратной данной.

Задание № 2.

Функция g(x) – обратная функции f(x) . D(f)=[2; +∞), E(f)=( -∞; 3).

Найти D(g), E(g).

Вопрос. Что можно сказать о графиках взаимно обратных функций?

Задание № 3.

Точки М и N – симметричны относительно прямой у=х. Укажите координаты точки N, если М(a; b).

Вопрос. Какая функция называется показательной? Какова ее область определения? Множество значений? Каковы ее свойства?

Учащиеся дают определение показательной функции y=ax, формулируют ее свойства и делают вывод, что показательная функция имеет обратную функцию у=loga x.

Учащиеся дают определение логарифмической функции и формулируют тему урока.

3. Усвоение новых знаний.

Задача: формирование конкретных представлений о свойствах и графике логарифмической функции.
Уровень усвоения знаний: творческий.
Характер УПД: исследовательский.
Способ организации УПД: работа в группах.
Время: 15 минут.

Учащимся по группам выдается задание на построение графиков функций y=log2 x и y=loĝ0,5х и исследование свойств этих функций.

Учитель отмечает важность знаний свойств логарифмической функции при решении логарифмических уравнений и неравенств, актуальность в описании физических процессов, в решении экономических задач.

Задание для группы № 1.

1. Постройте график функции у=2x.

2. Постройте график функции y=log2 x, используя свойство графиков обратных функций.

3. Исследуйте свойства функции y=log2 x:

  • Область определения функции D(у)=……
  • Является функция возрастающей или убывающей.
  • График функции пересекает ось ОХ в точке (......; ……)
  • Значения функции положительны (у›0) при х ……
  • Значения функции отрицательны (у‹0) при х ……
  • Множество значений функции Е(у)=…...
  • Если функция у=2х– возрастающая, то функция y=log2 x – ……

Задание для группы № 2.

1. Постройте график функции у=0,5х.

2. Постройте график функции y=log0,5 x, используя свойство графиков обратных функций.

3. Исследуйте свойства функции y=log0,5 x:

  • Область определения функции D(у)=……
  • Является функция возрастающей или убывающей.
  • График функции пересекает ось ОХ в точке (......; ……)
  • Значения функции положительны (у›0) при х ……
  • Значения функции отрицательны (у‹0) при х ……
  • Множество значений функции Е(у)=…...
  • Если функция у=0,5х– возрастающая, то функция y=log0,5 x – ……

После самостоятельной работы (консультация учителя по необходимости) на доске отражаются результаты работы двух групп в виде сводной таблицы “Свойства логарифмической функции y=loga x” (для 0‹а‹1 и для а›1). (На экран выводится система координат и таблица)

4. Закрепление знаний.

Задача: формирование умений по применению знаний свойств логарифмической функции в нахождении области определения, исследовании на возрастание (убывание), сравнении чисел.

Уровень усвоения: продуктивный.
Характер УПД: продуктивный.
Способы организации УПД:
– фронтальная работа под руководством учителя;
– фронтальная самостоятельная работа под значительным руководством учителя;
– полностью самостоятельная работа.
Время: 20 минут.

Задание № 1.

(Задания выводятся на экран.)

Найдите область определения функции:

а) y= ;
б) y= log7(x+4) + log5(x-3).

Задание № 2.

1) Выясните, является функция возрастающей или убывающей:

у= log0,3x;
у= log3x;
у= logπx;
у= log6(2x);
y= log0,2(x-1).

2) № 321 – самостоятельно.

Задание № 3.

1) Сравните числа:

а) log45 и log43;
б) log0,45 и log0,43;
в) log90,8 и log90,9;
г) log0,1 и log0,1;
д) lg2,1 и lg2,2;
е) ln π и ln3.

2) № 318-самостоятельно.

Задание № 4.

Постройте графики функций:

а) у= log3x; у= log3x+2; у= log3(х+1); у= -log3x; у= log⅓x ; у=3 log3x.

б) *** у= Іlog3xІ; у= log3ІхІ; у=2 log3x.

(Задание*** предлагается учащимся, успешно справившимся с №4(а) раньше других с возможным выставлением оценки).

5. Подведение итогов урока.

Задача: анализ успешности овладения ЗУН, оценка успешности достижения цели урока.

Время: 5 минут.

1) Привлечение учащихся к самооценке, адекватной реальным результатам учащегося. Рефлексия.
2) Характеристика учителем работы класса на уроке.
3) Сообщение домашнего задания (уровень сложности учащиеся выбирают сами).

П. 18 , уровень А: №№ 324, 328(1,4);
уровень В: №№ 330(1,3), 331(1,3,5), 332(1,3,5);
уровень С: №№ 334, 335(2).

Дополнительно (индивидуально, по желанию). Подготовить сообщение по теме “Практическое применение знаний о логарифмической функции и ее свойствах”.

Список литературы:

  1. “Алгебра и начала анализа 10–11”, Ш.А. Алимов и др., Москва, “Просвещение”, 2007 г.
  2. “Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10–11 классов”, С.М. Саакян и др., Москва, “Просвещение”.
  3. “Методические рекомендации по подготовке и проведению учебных занятий”, Е.Ю. Казакова, зам. директора по НМР гимназии № 1531, Москва.