Площадь трапеции

Разделы: Математика

Тип урока: совершенствование знаний, умений и навыков.

Цель обучающая:
доказать теорему о площади трапеции разными способами, отрабатывать применение данной формулы при решении задач различного уровня сложности.

Цель воспитательная:
воспитывать трудолюбие, уважение друг к другу, активность на уроке.

Цель развивающая:
развивать логическое мышление, интерес к предмету, умение работать в группах.

Цель методическая:
Показать применение методов дифференцированной работы при проверке домашнего задания.

Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал, учебники, чертежные принадлежности.

Ход урока

Актуализация знаний учащихся.

  1. Дать определение трапеции.
    Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
  2. Виды трапеций: прямоугольная(Рисунок1), равнобедренная (Рисунок2).

Свойства площадей.

  1. Равные многоугольники имеют равные площади.
  2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
  3. Формулы площади прямоугольника, квадрата, прямоугольного треугольника, треугольника, параллелограмма.

S=ab (Рисунок3),
S=a2 (Рисунок4),
S=1/2 ab (Рисунок5),
S=1/2 ah (Рисунок6),
S=ah (Рисунок7).

Проверка домашнего задания:

  Уровень А Уровень Б Уровень В
1. 4 см и 10 см h=5 см, а=15 см, b=25 см 22 см2
2. 24 см2 32 см2 81 см2

Уровень А1

  1. Дано:
    АВСD-трапеция (Рисунок8)
    AD-ВС=6 см
    h=8 см; Sтрап.=56 см2
    Найти: ВС и АD
    Решение:
    Пусть ВС=х, тогда АD=6+х
    Sтрап.=((х+6+х):2)*8
    (х+3)*8=56
    x=4
    ВС=4см; АD=10 см
    Ответ: 4 см; 10 см.
  2. Дано:
    АВСD - прямоугольная трапеция (Рисунок9)
    ABCH - квадрат
    Sкв=16 см2
    <BCD=135°
    Sтрапеции-?
    Решение:
    ВС=4 (по усл.Sкв=16)
    CHD - прямоугольный треугольник
    <D=<1=45°, значит CH=HD=4,
    Значит h=4; AD=8
    Sтрап=4*((4+8):2)
    Sтрап=24 см2
    Ответ: 24.

Уровень Б1.

  1. Дано:
    Sтрап=100 см2 (Рисунок10)
    Высота в 3 раза меньше одного из оснований и в 5 раз меньше другого
    Найти: BH, BC, AD
    Решение:
    Пусть BH=х см, ВС=3х см, AD=5х см
    ((3х+5х):2)*x=100
    х2=25
    х=5
    х=-5
    x>0, значит BH=5 cм; AD=25 см, BC=15 см
    Ответ: 5 см, 25 см, 15 см.
  2. Дано:
    ABCD - равнобедренная трапеция (Рисунок11)
    <A=45°, ВС=BH
    AD=12 см
    Найти: Sтрап
    Решение:
    Д.п. BH перпендикулярно AD, CK перпендикулярно AD.
    Пусть ВС=BH=х, тогда HK=AH=KD=х, т.к.треугольник ABH-прямоугольный,
    значит 3х=12
    х=4
    Sтрап=(4+12):2*4
    Sтрап=32см2
    Ответ: 32 см2.

Уровень В1.

  1. Дано: ABCD - равнобед. nрапеция (Рисунок13)
    <A=30°
    BC+AD=22 cм
    Р=30 см
    Найти:Sтрап
    Решение:
    AB+CD=30-22=8 см
    AB=CD=4 см
    Д.п. BH перпендикулярно AD, CK перпендикулярно AD
    Треугольник ABH - прямоугольный
    BH=АВ:2=2 см(по св-ву прямоугольного треугольника)
    Sтрап=22*2:2=22 см2
    Ответ: 22см2
  2. Дано:
    ABCD - равнобедр. трапеция (Рисунок12)
    АС перпендикулярно BD
    BC+AD=18 cм
    Найти:Sтрап
    Решение:
    Пусть BC=х, тогда AD=18-х
    Треугольник BOC-прямоугольный, равнобедренный
    Значит <4=<2=<1=<3=45°
    Треугольник BOH-прямоугольный, р/б
    Значит BH=HO=х:2
    Треугольник AOK-прямоугольный, р/б, значит AH=KO=(18-х):2
    HK=HO+KO=9 см
    Sтрап=9*9; Sтрап=81 см2
    Ответ: 81 см2.

Различные способы доказательства теоремы о площади трапеции:

Sтрап=

I способ.(Рисунок16)

Док-во:
S=S1+S2+S3 (по 2-у свойству площадей)
S1=ah
S2=1/2ch; S3=1/2h*(b-c-a)
S3=1/2hb-1/2hc-1/2ah
S1+S2+S3=ah+1/2ch+1/2hb-1/2ch-1/2ah=1/2ah+1/2bh=1/2h(a+b), ч.т.д.

II способ.(Рисунок14)

Док – во:

  1. Достроим трапецию до параллелограмма.
  2. Sтрап=Sпар–Sтр
    Sпаp=bh
    Sтр=1/2h*(b–a)=1/2bh-1/2ah
    Sпар–Sтр=bh-1/2bh+1/2ah=1/2bh+1/2ah=1/2h(a+b), ч.т.д.

Решение задач.

  1. В трапеции ABCD (Рисунок15) BC и AD – основания. BC:AD=3:4. Площадь трапеции 70 см2. Найдите площадь треугольника ABC.
    Решение:
    1. Sтрап=7xh/2=70
      xh=20
    2. SACD=4xh/2
      2xh=2*20
      SACD=40
    3. SABC=70–40
      SABC=30 (см2)
    Ответ: 30 см2.
  2. Высота больше меньшего основания на 6 см, разность оснований 12 см. Найти основания трапеции, если ее площадь 64 см2 (Рисунок17).

Решение:
Пусть BC=x; тогда BH=(6+x) см
AD=(12+x) см
Sтрап=

(x+6)2=64
x+6=8 или x+6=-8
x=2 или x=-14, x>0
BC=2 см
AD=14 см
Ответ: 2 см, 14 см.

Рефлексия деятельности на уроке.

Что нового узнали, самооценка учениками собственной деятельности.
Д/з: А.П.Ершова стр.142-143, задачи уровня А2, Б2, В2.

Интересные факты:история трапеции.

«Трапеция» - слово греческое, означавшее в древности «столик» (по-гречески, «трапедзион» - столик, обеденный стол). В начале термин «трапеция» применяется не в современном, в другом смысле - любой четырехугольник. Трапеция в нашем смысле слова встречается впервые у древнегреческого математика Пасидона. В средние века трапецией называли, по Евклиду, любой четырехугольник (кроме трапеции), лишь в XVIII веке слово приобретает современный смысл.

Созвездие-трапеция.

Четыре яркие звезды созвездия α, β, γ и δ располагаются в вершинах трапеции – туловища льва. А голову льва образуют звезды, располагающиеся в виде серпа. Поэтому этот астеризм и называется «серп».

Итог урока: подведение итогов, выставление оценок.

Литература:

  1. Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений./ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадюмцев и др.- 5-е изд. - М.: Просвешение, 1995.- 335 с.
  2. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса. - 7-е изд., испр. и доп. - М.: Илекса, - 2007,- 208 с.
  3. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват. учреждений/ Б.Г.Зив, В.М.Мейлер, А.Г.Баханский. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 2001.- 271 с.
  4. Шарыгин И.Ф. 2200 задач по геометрии. – М. Дрофа, 1999г.
  5. Атанасян Л.С. Изучение геометрии в 7-9 кл.: Просвещение, 2005.- 384 с.