Урок алгебры в 10-м классе по теме: "Решение квадратных уравнений и неравенств с модулем"

Цели урока:

• отработать навыки решений уравнений с модулем;
• рассмотреть все методы решения уравнений с модулем (подробнее рассмотреть метод расстояний);
• развивать внимательность, логическое мышление, самостоятельность и творческий подход к решению уравнений с модулем.

ХОД УРОКА

I. Повторение пройденного.

– Какие методы применяются при решении уравнений с модулем?

Ожидаемый ответ: 1) метод интервалов; 2) применение определения и свойств модуля; 3) метод расстояний.

– Остановимся более подробно на методе расстояний. В чём он заключается?

– Рассмотрим все этапы решения уравнения методом расстояний:

1) | x – 5 | + | x – 7 | = 4

а) Какие условия должны выполняться при решении уравнения таким методом?

Ожидаемый ответ: 1) между модулями обязательно должен стоять знак “плюс”; 2) | с₁ – с₂ | => d.

Решение:

Ответ: {4; 5}

– Используя этот же метод, решите уравнения:

2)  | 3 – х | + | х + 2 | = 9

Решение:  по свойству модуля | 3 – х | = | х – 3 |, таким образом | х – 3 | + | х – (– 2) | = 9

Ответ: х₁ = – 4, х₂ = 5.

3) | 2х + 6 | + | 2х + 3 | = 7.

Решение: обозначим 2х = t, тогда исходное уравнение примет вид: | t – (–6) | + | t – (–3) | = 7,

t₁ = – 8 => 2x₁ = – 8, x₁ = – 4;

t₂ = – 1 => 2x₂ = – 1, x₂ = – 0,5.

Ответ: x₁ = – 4, x₂ = – 0,5.

4) | 5 – х² | + | х² – 11 | = 8.

Решение: используя свойство модуля, запишем уравнение в виде: | х² – 5 | + | х² – 11 | = 8, введем новую переменную х² = t.

| t – 5 | + | t – 11 | = 8

t₁ = 4 => x² = 4, x_1,2 = ±2;

t₂ = 12 => x² = 12, x_3,4 =.

Ответ: x_1,2 = ± 2; x_3,4 =.

5) | 3 – х | + | х + 3 | = 6

Решение: по свойству модуля | 3 – х | = | х – 3 |, таким образом | х – 3 | + | х – (–3) | = 6

Ответ: x₁ = – 3, х₂ = 3.

II. Объяснение нового материала.

– Ребята, сегодня мы усложняем нашу задачу и рассмотрим решение уравнений вида: | ax² + bx + c₁ | + | ax² + bx + c₂ | = d.

– Можно ли применить метод расстояний к решению уравнений такого вида?

Ожидаемый ответ: Да, так как в обоих модулях есть одно и то же выражение (ax²+bx), обозначив которое за новую переменную, получим уравнение уже нам известное: | t + c₁ | + | t – (– c₂) | = d.

– Давайте попробуем решить уравнение: | 2x² – x – 3 | + | 2x² – x – 8 | = 9.

Решение: пусть 2x² – x = t, тогда исходное уравнение примет вид: | t – 3 | + | t – 8 | = 9, применив метод расстояний,

получим: t₁ = 1 и t₂ = 10.

Сделав обратную замену, решим два квадратных уравнения:

t₁ = 1 => 2x² – x = 1, 2x² – x – 1 = 0, Д = 9, x₁ = 1, х₂ = – 0,5;

t₂ = 10 => 2x² – x = 10, 2x² – x – 10 = 0, Д = 81, x₃ = 2,5, x₄ = – 2.

Ответ: x₁ = 1; х₂ = – 0,5; x₃ = 2,5; x₄ = – 2.

III. Закрепление материала.

– Самостоятельно решите уравнения:

А. | 8x² – x – 6 | + | 8x² – x – 3 | = 9.

Б. | x² – 6x – 3| + | x² – 6x – 13 | = 16.

В. | x² – 12x + 32 | + | x² – 12 x + 37 | = 15.

Решение:

А. Пусть 8x² – x = t, тогда | t – 6 | + | t – 3 | = 9, применив метод расстояний, получим: t₁ = 0 и t₂ = 9.

Сделав обратную замену, решим два квадратных уравнения:

t₁ = 0 => 8x² – x = 0, х(8x – 1) = 0, x₁= 0, х₂ = 0,125;

t₂ = 9 => 8x² – x = 9, 8x² – x – 9 = 0, Д = 289, x₃ = – 1, x₄ = 1,125.

Ответ: x₁ = 0, х₂ = 0,125; x₃ = – 1, x₄ = 1,125.

Б. Пусть x² – 6x = t, тогда | t – 3 | + | t – 13 | = 16 применив метод расстояний,  получим: t₁ = 0 и t₂ = 16.

Сделав обратную замену, решим два квадратных уравнения:

t₁ = 0 => x² – 6x = 0, х(x – 6) = 0, x₁ = 0, х₂ = 6;

t₂ = 16 => x² – 6x = 16, x² – 6x – 16 = 0, по теореме, обратной теореме Виета x₃ = – 2, x₄ = 8.

Ответ: x₁ = 0, х₂ = 6; x₃ = – 2, x₄ = 8.

В. Пусть x² – 12x = t, тогда | t – (–32) | + | t – (–37) | = 15, применив метод расстояний,

получим: t₁ = – 42 и t₂ = – 27.

Сделав обратную замену, решим два квадратных уравнения:

t₁ = – 42 => x² – 12x = – 42, x² – 12x + 42 = 0, Д = – 24 < 0, корней нет;

t₂ = – 27 => x² – 12x = – 27, x² – 12x + 27 = 0, по теореме, обратной теореме Виета x₁ = 3, x₂ = 9.

Ответ: x₁ = 3, х₂ = 9.

На столах у учащихся карточки, в которых они заполняют первые три строчки:

IV. Решение уравнений.

На доске записаны уравнения:

№ 1. | 8cos²x – cosx – 6 | + | 8cos²x – cosx – 3 | = 9.

№ 2. | 36^x – 6^x+1 – 3| + | 36^x – 6^x+1 – 13 | = 16.

И учащимся предлагается решить их, используя метод расстояний. Решение уравнений разбирается на доске.

Решение № 1:

Пусть 8cos²x – cosx = t, | cosx | < 1, тогда| t – 6 | + | t – 3 | = 9, применив метод расстояний, получим: t₁ = 0 и t₂ = 9 (см.пример А)

Сделав обратную замену, решим два квадратных уравнения относительно cosx:

t₁ = 0 => 8cos²x – cosx = 0,

cosx = 0 => x₁ = 1/2 + n , n ? Z;

cosx = 0,125 => х₂ = ± arccos0,125 + 2k, k ? Z;

t₂ = 9 => 8cos²x – cosx = 9, 8cos²x – cosx – 9 = 0, Д = 289,

cosx = 1,125 > 1 (нет корней)

cosx = – 1 => x₃ = + 2m, m ? Z

Ответ: x₁ = /2 + n, n ? Z; х₂ = ± arccos0,125 + 2?k, k ? Z; x₃ = ? + 2m, m ? Z.

Решение № 2:

| 6^2x – 6 • 6^x – 3 | + | 6^2x – 6 • 6^x – 13 | = 16.

Пусть 6^2x – 6 • 6^x = t, тогда | t – 3 | + | t – 13 | = 16, применив метод расстояний, получим: t₁ = 0 и t₂ = 16. (Cм. пример Б)

Сделав обратную замену, решим два квадратных уравнения, относительно 6^x.

t₁ = 0 => 6^2x – 6 • 6^x = 0, 6^x (6^x – 6) = 0,

6^x  = 0 – корней нет,

6^x = 6 => x = 1.

t₂ = 16 => 6^2x – 6 • 6^x = 16, 6^2x – 6 • 6^x – 16 = 0,

6^x = – 2 – корней нет,

6^x = 8 => x = log₆8.

Ответ: x₁ = 1, x₂ = log₆8.

Решение незнакомого учащимся уравнения 6^x = 8 рассмотреть графически.

Ребята убеждаются в том, что корень есть, а учитель сообщает, что такой корень имеет вид x = log₆8, (это новая тема).

V. Самостоятельная работа.

Решить уравнения (учащимся предлагается воспользоваться результатами ранее решенных уравнений, чтобы сэкономить время):

Г. | 2sin²x – sinx –3 | + | 2sin²x – sinx – 8 | = 9.

Д. | | + | | = 15.

Решение:

Г. Пусть 2sin²x – sinx = t, | sinx | < 1

| t – 3 | + | t – 8 | = 9, получим: t₁ = 1 и t₂ = 10. (Cм. пример 1).

Сделав обратную замену, решим два квадратных уравнения:

t₁ = 1 => 2sin²x – sinx = 1, 2sin²x – sinx – 1 = 0, Д = 9,

sinx = 1 => x₁ = /2 + 2n, n ? Z;

sinx = – 0,5 => х₂ = (–1)^k+1/6 + k, k ? Z;

t₂ = 10 => 2sin²x – sinx = 10, 2sin²x – sinx –10 = 0, Д = 81,

sinx = 2,5 или sinx = – 2 => нет корней

Ответ: x₁ = /2 + 2n, n ? Z; х₂ = (–1)^k+1?/6 + k, k ? Z.

Д. | | + | | = 15. (Cм пример В).

t₁ = – 42 и t₂ = – 27

– нет решений.

| х²=2 | x_1,2 = .

=> х²=1 => x_3,4 = ± 1.

Ответ: x_1,2 = , x_3,4 = ±1.

Учащиеся вносят ответы в карточку, строчки 4 и 5, и сдают учителю на проверку.

VI. Подведение итогов урока.

По карточкам учитель подводит итоги урока. В то время, пока учитель проверяет карточки, учащиеся сами составляют три уравнения по теме урока, это будет их домашним заданием. Оценки за урок выставляются в журнал.