Об электронном проектировании арифметических упражнений

В настоящей статье автор даёт заметки из опыта своей работы в школе и пединституте, приводит примеры компьютерного проектирования индивидуальных заданий для тренировочных упражнений и контрольных работ по школьной математике и алгебраическим дисциплинам пединститута. Приведенные примеры будут полезны учителю математики, который использует возможности Microsoft Excel.

Применение электронного проектирования заданий и их использование рассмотрим в двух системах: А = {S—P—M} и Б = {S—P—M—S}. S – студент (ученик), P — педагог (учитель математики), M — ЭВМ. В первой системе компьютер остаётся за кулисами, в звене P—M готовятся задания, в звене P—S проходит обучение без участия ЭВМ. Здесь представлена система А. С этим связана нумерация примеров.

А1. Арифметические примеры с целыми числами.

С помощью электронной таблицы Excel составляется система арифметических упражнений для повторения порядка действий, вычисления неизвестных компонентов, навыков операций с многозначными числами. Формула (a* b+ c)/ d- e* f+ g=h представлена таблицей 1, реализована по следующему алгоритму:

1. d=40+ОКРУГЛ(СЛЧИС()*50;0), т.е. выбирается случайное число из интервала d (40,90); d записывается в столбце D;
2. e = ОКРУГЛВНИЗ(3000/d;0), e столбец E;
3. a = 40+ОКРУГЛ(СЛЧИС()*50;0); a столбец A;
4. b = d *ОКРУГЛВНИЗ(1+СЛЧИС()*6;0);
5. a*b столбец C;
6. ( ) =C+ОКРУГЛ(СЛЧИС()*A;0)*D; ( ) столбец F;
7. c= F - A*B = |()-ab|; c столбец G;
8. H = (A*B+C)/D; столбец H;
9. e = 40+ОКРУГЛ(СЛЧИС()*50;0); e столбец I;
10. f = ОКРУГЛВНИЗ(40+СЛЧИС()*50;0); f столбец J;
11. g = (800+ОКРУГЛ(СЛЧИС()*1200;0)); g столбец K;
12. h =I*J - H+K; столбец L.

Большими буквами обозначены столбцы, курсивом — буквы формулы.

В таблице 1 отражены строки листа Excel. В первой строке — имена столбцов, во второй — формула-заготовка для задания, в третьей — параметры, далее их значения. Закрашенные столбцы закрываются. Кроме того, перед выдачей задания одно какое-либо число скрывается (заменяется буквой). Задание: найти неизвестное число как компонент действия с натуральными числами.

Таблица 1

Формула позволяет составить 8 видов заданий по числу букв: задание “a” — закрыта буква “a”, …, задание “g” — закрыта буква “g”. На листе напечатано столько примеров, сколько учеников. Нажав клавишу “F9”, мгновенно изменяем все значения таблицы. Только перед нажатием печатаем вторую страницу — для учителя.

Размеры числовых интервалов зависят от цели, какую преследует учитель: малые — для усвоения учениками порядка действий, для демонстрации нахождения неизвестных компонентов, большие — для закрепления навыков арифметических действий с многозначными числами.

Аналогичные формулы применимы для закрепления навыков операций с десятичными дробями.

А2. Системы счисления.

Для развития навыков вычислений с систематическими числами в различных системах счисления составляются виды (формулы)

A_o1 y B_o2 y R_o3 y C_o4 y D_o5 = E_o6

Здесь A , B _, R_{o3 ,} C_{o4 ,} D_{o5 ,} E_o6 — числа, индексы _{o1, o2}, …- основания систем счисления (ОСС), символ y — какие-то операции. Примеры:

№ 1. 3413₆ * 445₁₅ - R_6* 475₁₃ + B2₁₃ = 132307₁₁;
№ 2. 2135₇ * R₁₄ - 10321₅ * 133₁₃ + 11410₅ = CA72₁₃;
№ 3. 830₉ * R₁₄ + 236₁₅ - 735₈ * 270₁₂ = 12B2B0₁₂;
№ 4. 152₁₄ + 1077₈ * R_{14 -} 355₇ * 15B₁₃ = 164A66₁₂;
№ 5. 604₇ * R₁₁ + 424₉ - 455₆ * 468₁₅ = 5227A_11.

С конкретными примерами даётся следующее задание:

Перевести все числа в ту СС, которая указана для неизвестного числа R, и в этой СС выполнить указанные операции для нахождения R, как неизвестного компонента действий.

Чтобы задания были корректны, подготовительная работа выполняется в следующем порядке:

1. составляются арифметические примеры в десятичной СС; например:
   801 * 965 - 732 * 772 + 145 = 208006;
2. производится распечатка для учителя;
3. каждое число переводится в какую-либо СС, причем для всех чисел разные ОСС, чтобы при переводе приходилось менять ОСС как на увеличение, так и на уменьшение;
4. переводятся все числа в СС, указанную для R;
5. производится распечатка для учителя;
6. закрывается число согласно заданному виду;
7. производится распечатка для студента.

Для каждого студента готовились два варианта задания: первый — числа не превышали 1000 в десятичной СС, второй — числа – пяти-шестизначные.

А3. Делимость целых чисел.

Для закрепления знаний свойств и признаков делимости даются задания вида: найти цифры u, v в числах столбца G (или H, I, J), которые делятся соответственно на числа столбца D. Ученику не показывается столбец C (один из ответов, для учителя).

Таблица 2

Для иллюстрации здесь выбраны 8 значений. Эти и другие подобные задания проектируются от ответов. В таких случаях обязательно находится решение, хотя бы методом полной индукции. Но можно изменить задание на невыполнимость операции, например, одно и то же число с неизвестными двумя цифрами делится на разные делители.

Случайные числа из выбранного интервала умножаются на выбранный делитель. Возможен следующий алгоритм проектирования, вторая строчка показывает реализацию алгоритма:

1. выбор d из D, D1, D2.
   D = {6, 12, 15, 18, 22, 24, 33, 36, 44, 72, 75}
   D1 = {4, 8, 9, 11, 25, 30, 40, 45, 66}
   D2 = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 56, 63, 77, 91, 98}
2. выбор ограничений B, A;
3. M = B + ОКРУГЛ(СЛЧИС()* (A-B);0);
4. C = D* M.

Другой вариант на распознавание цифр. Даны числа A, B. В каждом числе по одной закрытой цифре. Узнать эти цифры, если A делится на B. Такая задача составляется от ответа.

А4. Делители, кратные, разложение на множители.

Задание 1. Даны A, B, C – шестизначные числа. Найти их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное:

1. по алгоритму Евклида;
2. по разложению на простые множители.

Задание 2. Сократить дробь P/Q, где P и Q — шестизначные числа.

Таблица 3

Для таких задач мы создаём различные массивы из простых чисел определённой длины, например, массив из всех двузначных простых чисел и массив из трёхзначных простых чисел, которые парами входят в каноническое разложение данных чисел.

А5. Обращение дробей.

Пример. Обратить периодические десятичные дроби в обыкновенные несократимые:

Студенты испытывают затруднения при сокращении, если числитель и знаменатель — многозначные числа. Поэтому имеет смысл заранее подобрать числитель и знаменатель искомых дробей. Пусть дана периодическая десятичная дробь a = 0.A_s(P_k) с длиной предпериода s и длиной периода k. Тогда а = (A* 10^k-A+ P)/10^s/(10^k-1) или

A = [A* (10^k-1)+P]/10^s/(10^k-1).

Сокращение на 2 и 5 не вызывает затруднений. Следовательно, необходимо разложение разности 10^k-1, т.е. числа из девяток. В таблице 4 приведены все знаменатели (до 2000) дробей 1/b, которые обращаются в чисто периодические с длиной периода k.

Таблица 4

Знаменатели несократимых дробей b	Длина периода k
3, 9	1
11, 33, 99	2
27, 37, 111, 333, 999	3
101, 303, 909, 1111	4
41, 123, 271, 369, 813	5
13, 21, 39, 63, 77, 91, 117, 143, 189, 231,259, 273, 297, 351, 407, 429, 481, 693, 777, 819, 1001, 1221, 1287, 1443	6
239, 717	7
73, 137, 219, 411, 657, 803, 1233, 1507	8
81	9
451, 1353	10

А6. Приближенные вычисления.

Распространение калькуляторов и персональных компьютеров не могут автоматически поддерживать вычислительную культуру пользователей. Требуются усилия для достижения вычислительной грамотности и воспитания вычислительной культуры. Использование и обработка результатов измерений, оформление вычислительной работы требуют аккуратности. Практически в школьных тетрадях и в студенческих отчетах часто встречаются безответственные вычисления (например, выдача числовых ответов со всеми десятичными знаками, какие выдаёт компьютер, вместо трех достаточных; нарушение соразмерности различных величин, как длин сторон и угловых значений).

ЭВМ не владеет культурой приближённых вычислений.

Важное значение имеют лабораторные работы по приближенным вычислениям и измерительные работы на местности с последующей обработкой результатов. На первых занятиях студенты допускали погрешности не только систематические, но и грубые, превышающие результаты. В школе обязательны знания и навыки операций с округленными числами. Кроме этого, от студентов требуем знаний по исследованию погрешностей, вычислению методом границ, применению приближенных формул, по интерполяции и экстраполяции. Приведем пример вычислительного задания.

1. Числа A, B – округлённые. Требуется вычислить: S= A+B, R= A-B, P= A* B, Q= A/ B, T= B/ A, O= 1/A, Kb= A², Ko= sqr(A), L= log(A), E= exp(A), E2= exp(B), A^B, B^A.
2. Те же числа A, B, но даны с относительной погрешностью в 1%. Вычислить S, R, P, Q, T. Указать абсолютную погрешность результатов с одной значащей цифрой.
3. Даны относительные погрешности d (A) и d (B). Вычислить их абсолютные погрешности. Вычислить S, R, P, Q, T. Ответы дать с указанием абсолютных погрешностей.

Таблица 5

Студентам таблица представлялась образцом по оформлению, но не по ответам. Отчет показывал грамотность вычислений студента и культуру оформления ответов. Как правило, затруднения вызывали задания вида: вычислить log(A), exp(A), exp(B), A^B , B^A .

А7. Квадратные уравнения.

Проектировать упражнения и контрольные задания нетрудно, от учителя требуется разнообразие вариантов по заданиям и ответам. Мы исходим из получаемых ответов и разбросу порядка представления заданий. Сами задания проектируются от вида ответов, от которых зависит и нумерация, а коэффициенты от Randomize и интервалов для коэффициентов. В таблице 6 представлены виды уравнений с целыми коэффициентами. Номера примеров заменяются на порядок 1-10.

Таблица 6