Решение уравнений, содержащих модули двух выражений.
Пример. Решите уравнение |х+1|-8х=|х-5| + 4.
Решение.
|х+1|-8х=|х-5| + 4.
На числовой оси отметим точки, координаты которых обращают выражения стоящие под знаком модуля в ноль.
-
х+1=0,
х=-1. -
х-5=0,
х=5.
Найдем знак выражений (х+1) и (х-5) на каждом из полученных интервалов.
| х<-1 | -1≤х≤5 | х>5 | |
| Знак (х+1) | - | + | + |
| Знак (х-5) | - | - | + |
Рассмотрим исходное уравнение на каждом из трех интервалов:
1) х<-1,
в этом случае
|х+1|=-(х+1)=-х-1,
|х-5|=-(х-5)=-х+5.
Имеем
-х-1-8х=-х+5+4,
-8х=10,
х=-1,25.
Условие х< -1 выполняется (-1,25<-1), значит, х= -1,25 корень уравнения.
2) -1≤х≤5,
в этом случае
|х+1|=х+1,
|х-5|=-(х-5)=-х+5.
Имеем
х+1-8х=-х+5+4,
-6х=8,
х=-4/3.
Условие -1 ≤ х ≤ 5 не выполняется, значит, х= -4/3 не является корнем уравнения.
3) х>5,
в этом случае
|х+1|=х+1,
|х-5|=х-5.
Имеем
х+1-8х=х-5+4,
8х=2,
х=0,25.
Условие х>5 не выполняется, значит, х=0,25 не является корнем уравнения.
Ответ. х=-1,25.
1. Решите уравнение.
а) |2х-1|+6х=|2х-4|+ 15,
б) |х - 2| + 3х = |х-5|+10,
в) |х+3|-7х=|х+6|+10.
2. Решите уравнения и узнайте название птицы, которую также называют змеиной птицей, потому что ее длинная шея похожа на скользящую змею, когда она плавает по воде. Для этого заполните таблицу буквами, учитывая найденные корни уравнений.
н) |х+4|+2х=|х+1|-7,
и) |1-х|+4х=|х|+ 15,
а) |2-х|-х=|2х-1|-21,
г) |х-5|+3х=|2х-4|+ 11.
| -6 | 10 | 3 | -3 | 7 | 6 | 9 | 4 | -3 | 7 | 6 | 10 |
3. Вставьте пропущенный рисунок.
4. Вставьте пропущенный рисунок.
5. Вставьте пропущенные слова.
Тест. Решите уравнение. Если уравнение имеет несколько корней, то найдите их сумму.
А. |х|+|х+2|=4
Ответы. 1) -4 ; 2) -2; 3) 2
Б. |х-2|+6= |х-3|
Ответы. 1) -0,5; 2) 0; 3) Корней нет
В. |2х-6|-х=6х+|х|
Ответы. 1) -0,6; 2) 0,6; 3) Корней нет
Г. |3х+9|=|х|+12
Ответы. 1) -9,75; 2) -11,25; 3) 11,25
Д. |2х-7|-|х+1|=2
Ответы. 1) 12; 2) 11 ⅓; 3) 4
Решение уравнений, содержащих модули трех выражений.
Пример. Решите уравнение |х+2|-|х-3|+|х-1| = 4.
Решение
|х+2|-|х-3|+|х-1| = 4.
На числовой оси отметим нули выражений, стоящих под знаком модуля:
-
х+2=0,
х=-2. -
х-3=0,
х=3.
Найдем знак выражений (х+2), (х-3) и (х-1) на каждом из полученных интервалов.
| х<-2 | -2≤х≤1 | 1<х<3 | х≥3 | |
| Знак (х+2) | - | + | + | + |
| Знак (х-3) | - | - | - | + |
| Знак (х-1) | - | - | + | + |
Рассмотрим исходное уравнение на каждом из четырех интервалов:
1) х<-2,
в этом случае |х+2|=-(х+2)=-х-2, |х-3|=-(х-3)=-х+3, |х-5|=-(х-5)=-х+5.
Имеем -х-2+х-3-х+1=4,
х=-8, условие х<-2 выполняется, значит,
х=-8 корень уравнения.
2) -2≤х≤1,
в этом случае |х+2|=х+2, |х-3|=-(х-3)=-х+3,|х-1|=-(х-1)=-х+1.
Имеем х+2+х-3-х+1=4, х=4, условие -2≤х≤1 не выполняется, значит, х=4 не является корнем уравнения.
3) 1<х<3,
в этом случае |х+2|=х+2, |х-3|=-(х-3)=-х+3, |х-1|=х-1.
Имеем х+2+х-3+х-1=4, х=2, условие 1<х<3 выполняется, значит, х=2 корень уравнения.
4) х≥3,
в этом случае |х+2|=х+2, |х-3|=х-3, |х-1|=х-1.
Имеем х+2-х+3+х-1=4,
х=0, условие х≥3 не выполняется, значит, х=0 не является корнем уравнения.
Ответ. -8; 2.
6. Решите уравнение.
а) |х+7|+|5-х|+|х+2|=10,
б) |х-2|+|х+4|-|х-3|=5,
в) |х-1|+|х+2|-|х+1|=2.
7. Вставьте пропущенные числа.
8. Вставьте пропущенные рисунок и число.
9. Решите уравнения и узнайте название самой большой птицы-хищника. Для этого заполните таблицу буквами, учитывая найденные корни уравнений.
о) |х-2|-|х-1|+|х+2|=5,
н) |х-2|-|х-1|+|х+1|=3,
р) |х+2|-|х-3|+|х-1|=1,
к) |х+5|-|х-3|+|х-1|=4,
д) |х+2|-|х-3|-|х-2|=3.
| -11; 1 | -6; 4 | -6; 2 | -3; 1 | 2; 4 | -6; 4 | -3; -5 | -11; 9 | -5; 1 |
Ответы.
- а) х=2. б) х=3,4. в) х=-13/7.
- Ангинга
- Круг надо разделить на 4 равные части.
- Стрелка, состоящая из 1 отрезка.
- Сон, сто.
Тест. А2; Б3; В2; Г1; Д2
- а) Корней нет. б) -10; 2. в) -2; 0; 2.
- -5 и -1
- 8
- Кондор
Литература
- Р.Б. Райхмист Задачник по математике для учащихся средней школы и поступающих в ВУЗы.
- А.Г. Гайштут Математика в логических задачах.
- Е.А. Лебединцева, Е.Ю. Беленкова Задания для обучения и развития учащихся Алгебра 8 класс.