По материалам выступления на семинаре Ассоциации учителей и преподавателей математики Московской области «Организация учебного сотрудничества в урочной и внеурочной деятельности обучающихся в процессе освоения математических и естественнонаучных дисциплин», 17.10.2019
Одной из проблем современного российского образования является низкое качество знаний выпускников средней общеобразовательной школы по геометрии. Это объясняется тем, что на протяжении многих лет геометрия была практически не востребована на этапе государственной итоговой аттестации. Поэтому и учитель, и учащиеся привыкли считать геометрический материал второстепенным и необязательным для изучения.
В последнее десятилетие ситуация в корне изменилась: с 2009г. ЕГЭ по математике стал включать в себя задачи по геометрии, и число этих задач год от года только растет. Однако качество знаний учащихся по геометрии продолжает оставаться значительно ниже качества знаний по алгебре.
В 2019г. выпускники общеобразовательных школ России впервые не имели возможности сдавать два экзамена по математике, а должны были выбрать либо базовый, либо профильный уровень. При этом значительно выше стал процент выполнения заданий по геометрии с выбором ответа из профильного ЕГЭ. Однако процент выполнения геометрических задач базового ЕГЭ и задач с развернутым ответом из профильного ЕГЭ не только не увеличился, но стал ниже, чем в предыдущие годы (таблица 1). Из чего можно сделать вывод о том, что геометрические задачи стали лучше решать только те учащиеся, кто предполагает изучать математику в высшей школе, т.е. меньшинство. Тогда как большинство старшеклассников геометрические задачи решать так и не научились.
Таблица 1. Статистические данные fipi
Номер задания |
Проверяемые умения |
2016 |
2017 |
2018 |
2019 |
Б-13 |
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами (базовый уровень) |
44,8 % |
48,5% |
52,8 % |
38,4% |
Б-15 |
66,8 % |
65,1% |
68,6 % |
53,9% |
|
Б-16 |
69,1 % |
65,9% |
62,2 % |
53,5% |
|
П-3 |
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами (профильный уровень) |
89,6% |
87,0% |
87,2% |
93,3% |
П-6 |
78,8% |
69,0% |
78,2% |
80,6% |
|
П-8 |
51,5% |
42,0% |
52,8% |
66,7% |
|
П-14 |
2,9% |
11,0% |
9,4% |
5,6% |
|
П-16 |
2,76% |
4,5% |
3,6% |
2,7% |
Как же научить всех без исключения учащихся 10-11-х классов решать геометрические задачи? Как создать на уроке контрольной работы по геометрии такие условия, чтобы самый слабый или нерадивый ученик имел возможность самостоятельно или с минимальной помощью учителя выполнить алгоритм решения типовых геометрических задач и гарантированно получить правильный ответ?
Другими словами, как организовать учебное сотрудничество учащихся и учителя не только на уроках приобретения новых знаний и закрепления пройденного материала, но и на уроках тематического контроля?
Мы считаем, что школе необходима новая педагогическая технология, которая, не отрицая значения системных знаний и действенных умений, будет способствовать воспитанию у старшеклассников персональной ответственности за результаты учебного труда, развитию умений самостоятельно приобретать, перерабатывать и использовать учебную информацию, формированию адекватной самооценки и положительной учебной мотивации.
Именно о такой технологии пойдет речь. Назвали мы ее технологией ОБУЧАЮЩЕГО ТЕМАТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ.
Перечислим основные особенности технологии обучающего тематического контроля. К ним относятся: (1) Стабильная и заранее известная учащимся система оценивания; (2) Высокая вариативность учебных материалов; (3) Всесторонний охват вопросов программного содержания; (4) Педагогическая поддержка учащихся на этапе проведения тематического контроля; (5) Преемственность методических средств обучения в основной и старшей школе; (6) возможность интеграции с проектом «Цифровой класс».
Охарактеризуем подробнее каждую из особенностей.
Стабильная и заранее известная учащимся система оценивания заключается в следующем: (1) уровень усвоения программного материала считается базовым и соответствует отметке в 3 балла, если учащийся демонстрирует знание, понимание и умение работать по образцу; (2) уровень усвоения считается успешным и соответствует отметке в 4 балла, если к базовым умениям добавляются умения применять полученные знания в измененной ситуации, локально обобщать и систематизировать знания; (3) уровень усвоения считается повышенным (высоким) и соответствует отметке в 5 баллов, если учащийся выполняет задания, превышающие успешный уровень.
В материалах для проведения контрольных работ присутствуют задания всех трех видов.
Так, например, обе задачи контрольной работы по теме: «Координатный метод в пространстве» разбиты на подзадания а), б) и в). Каждое из подзаданий соответствует базовому, успешному или повышенному уровню усвоения программного материала (таблица 2).
Таблица 2.
Г-11. Контрольная работа № 1 по теме: «Метод координат в пространстве»
Распределение текста задач по вариантам
В задаче № 1 куб задан координатами четырех вершин. Для получения отметки «3» нужно найти координаты остальных вершин куба. Для получения отметки «4» –найти координаты шести заданных векторов, а затем доказать, что среди них есть равные или противоположные. Для получения отметки «5» необходимо сформировать из данных векторов триады компланарных и некомпланарных векторов, среди которых имеется заданный вектор.
Как видим, подзадание а) соответствует репродуктивному уровню (подобные задачи неоднократно решались на уроке и алгоритм их решения хорошо известен большинству учащихся). Подзадание б) также соответствует репродуктивному уровню, но в измененной ситуации. Наконец, подзадание в) соответствует продуктивному уровню, поскольку на уроках не разбиралось, а потому требует от учащихся собственных рассуждений и обоснований.
Высокая вариативность учебных материалов обеспечивается тем, что у каждого учащегося на контрольной работе имеется индивидуальный номер варианта. Этот номер – многосоставный. Первая часть номера варианта зависит от номера класса (10 или 11); вторая часть – от номера контрольной работы (от 1 до 7-11); третья часть – от варианта числовых данных (от 1 до 15); четвертая часть – от положения учащегося за партой (слева – прототип (1), справа – прототип (2)).
Образец «парной» карточки двух первых индивидуальных вариантов для контрольной работы № 1 в 11 классе представлен в таблице 3.
Таблица 3. Г-11. Образец «парной» карточки с числовыми данными для контрольной работы № 1
по теме «Координатный метод в пространстве»
Всесторонний охват вопросов программного содержания в 10-11 классах обеспечивается системой теоретических зачетов и системой контрольных работ по всем темам предметного содержания.
Для проверки теоретических знаний учащихся разработаны индивидуальные карточки в восьми аналогичных вариантах по следующим темам:
1) взаимное расположение точек, прямых и плоскостей;
2) параллельность прямых и плоскостей в пространстве;
3) перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве;
4) векторы и их координаты в пространстве.
В каждой карточке представлено четыре задания, ответом на которые служит либо классификационная схема (задание № 1), либо формулировка теоремы или определения и рисунок к ней (задание № 2), либо полное представление о заданном геометрическом понятии в виде формулировки, рисунка и записей на математическом языке (задание № 3), либо название теоремы, ее формулировка и записи к заданному рисунку на математическом языке (задание № 4).
Образец индивидуальной карточки для проведения теоретического зачета в 10 классе по теме «Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в пространстве» приведен в таблице 4.
Таблица 4. Г-10. Образец индивидуальной карточки для проведения теоретического зачета № 1
по теме «Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в пространстве»
Для учащихся 10 класса разработаны семь контрольных работ на базовом уровне сложности:
1) по взаимному расположению точек, прямых и плоскостей;
2) по параллельности прямых и плоскостей в пространстве;
3) по перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве;
4) по площади поверхности призмы;
5) по площади поверхности пирамиды;
6) по площади поверхности многогранника;
7) по векторам в пространстве.
Для учащихся 11 класса разработаны семь контрольных работ на базовом уровне сложности:
1) по координатному методу в пространстве;
2) по движениям в пространстве;
3) по площади поверхности цилиндра;
4) по площади поверхности конуса;
5) по площади сферы;
6) по объему многогранников;
7) по объему тел вращения;
и четыре контрольные работы на профильном уровне сложности:
1) по площади поверхности составного тела вращения;
2) по площади поверхности геометрического тела;
3) по объему составного геометрического тела;
4) по объему геометрического тела.
Последние четыре контрольные работы можно использовать и в обычных общеобразовательных классах на этапе итогового повторения и подготовки к ЕГЭ.
Кроме того, для использования в профильном классе пригодны и все контрольные работы на поиск площадей и объемов, поскольку они состоят из пяти задач, три первые из которых предназначены учащимся обычного общеобразовательного класса, а все пять целиком – учащимся профильного физико-математического класса.
Педагогическая поддержка учащихся на уроках тематического контроля заключается в том, что учащимся предоставляется возможность самостоятельно проверить правильность своего решения по разработанным учителем таблицам конечных и промежуточных ответов.
Это позволяет не только найти место возникновения ошибки, но и исправить ее на уроке контрольной работы. За одно подобное исправление отметка учащегося снижается на полбалла, за два исправления – на балл и т.д.
Пример фрагмента таблицы конечных и промежуточных ответов для задачи 1(в) контрольной работы по теме: «Координатный метод в пространстве» приведен в таблице 5.
Таблица 5.
Г-11. Фрагмент таблицы конечных и промежуточных ответов для задачи № 1(в)
контрольной работы по теме «Координатный метод в пространстве»
Для подготовки к контрольной работе текст задач заранее вывешивается в кабинете математики и дается учащимся в электронном виде. При этом учащиеся решают задачи контрольной работы со своими числовыми данными.
Далее опишем деятельность учителя и деятельность учащихся обычного общеобразовательного 11 класса на контрольной работе № 3 по теме: «Площадь поверхности цилиндра».
Текст контрольной работы представлен задачами двух прототипов, в которых величины заданы не числовыми значениями, а буквами (таблица 6).
Таблица 6.
Г-11. Текст задач для контрольной работы по теме «Площадь поверхности цилиндра»
Каждый учащийся кроме текста задач получает индивидуальную парную карточку с номером своего варианта и набором индивидуальных числовых данных для замены ими буквенных данных в задачах (таблица 7).
Таблица 7. Г-11. Образец «парной» карточки с числовыми данными для контрольной работы № 3 по теме «Площадь поверхности цилиндра»
Решив первую задачу, учащийся сверяет полученный ответ с ответом в соответствующей таблице КОНЕЧНЫХ и ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ответов и в случае их совпадения приступает к решению следующей задачи (таблица 8).
Таблица 8. Г-11. Фрагмент таблицы промежуточных и конечных ответов для задачи № 1 контрольной работы № 3 по теме «Площадь поверхности цилиндра»
В случае несовпадения – ищет сначала самостоятельно, а потом – с помощью учителя, место возникновения ошибки и исправляет эту ошибку.
В конце урока учащиеся сдают тетради для окончательной проверки учителем и выставления отметки за контрольную работу.
Для общеобразовательного класса на отметку «5» достаточно без ошибки или с одной исправленной на уроке ошибкой решить три первые задачи из пяти предложенных. На отметку «4» - соответственно две первые задачи из пяти. На отметку «3» - только первую задачу.
Практика показывает, что двоек на подобных контрольных работах практически не бывает. Мало того, те учащиеся, что в 10 классе ставили себе самую низкую планку и решали задачи только на «3», в 11 классе активно пытаются решать задачи на «4» и даже на «5», причем вполне успешно.
Преемственность методических средств обучения в основной и старшей школе заключается в том, что методика решения стереометрических задач целиком и полностью опирается на следующие вопросы программного содержания курса математики основной школы:
1) правила преобразования дробных выражений;
2) правила преобразования формул (уравнений) к виду пропорции;
3) правила преобразования выражений, содержащих арифметический квадратный корень;
4) правила решения прямоугольного треугольника;
5) правила решения правильного n-угольника через характерный для него прямоугольный треугольник.
Правила преобразования дробных выражений лежат в основе вычислительных умений и навыков старшеклассников и задаются учащимся в виде следующих правил-ассоциаций:
Правила преобразования формул (уравнений) к виду пропорции лежат в основе умения решать простейшие дробные рациональные уравнения и так же задаются учащимся ассоциативно в виде последовательности следующих алгоритмических шагов: (1) Представить формулу (уравнение) в виде пропорции; (2) Мысленно «встать» на место неизвестного члена пропорции и оценить «расстояние» от него до всех известных членов пропорции; (3) Выразить неизвестный член пропорции через известные, сформировав дробное выражение, в знаменателе которого – «самый дальний» член пропорции, в числителе – те два, что находятся «поближе».
Например:
Если в прямоугольном треугольнике задан один из его острых углов, то правило его решения заключается в следующем: (1) выразить синус, косинус или тангенс известного острого угла через стороны треугольника; (2) в правой части полученных уравнений записать табличные значения синуса, косинуса или тангенса заданного угла; (3) преобразовать каждое из уравнений к виду пропорции и решить относительно неизвестных сторон треугольника; (4) найти второй острый угол треугольника вычитанием первого из 90o.
Например:
Если в прямоугольном треугольнике острые углы не заданы, то правило его решения заключается в следующем: (1) по теореме Пифагора найти неизвестную сторону треугольника; (2) выразить синус, косинус или тангенс одного из острых углов через стороны данного треугольника; (3) от синуса, косинуса или тангенса в левой части уравнения перейти соответственно к арксинусу, арккосинусу или арктангенсу действительного числа, вычисленного в правой его части; (4) найти угол как значение соответствующей обратной тригонометрической функции; (5) найти второй угол треугольника вычитанием первого из .
Например:
Правило решения правильного n-угольника заключается в последовательном выполнении следующих алгоритмических шагов: (1) построить прямоугольный треугольник, характерный для данного правильного n-угольника (одна из его вершин совпадает с центром правильного n-угольника, другая – с вершиной n-угольника, а третья – с серединой стороны n-угольника); (2) обозначить стороны характерного прямоугольного треугольника через элементы заданного n-угольника (катеты треугольника равны соответственно радиусу окружности, вписанной в n-угольник, и половине стороны этого n-угольника, а гипотенуза – радиусу окружности, описанной около n-угольника); (3) найти острый угол при одной из вершин характерного прямоугольного треугольника как половину величины внутреннего углаn-угольника; (4) решить характерный прямоугольный треугольник и тем самым найти элементы правильного n-угольника; (5) вычислить периметр и площадь правильного n-угольника по следующим формулам:
В качестве примера рассмотрим решение правильного 6-угольника:
Преобразования выражений, содержащих арифметический квадратный корень сопровождают решение практически любой геометрической задачи и сводятся к следующим основным правилам: (1) перенос арифметического квадратного корня из знаменателя дробного выражения в его числитель; (2) вынесение множителя из-под корня; (3) преобразование произведения (частного) корней в корень из произведения (частного); (4) сокращение дробных выражений, содержащих арифметический квадратный корень.
После актуализации вышеперечисленных знаний и умений из курса математики основной школы старшеклассникам предлагается следующий обобщенный алгоритм решения стереометрической задачи: (1) решить правильный n-угольник через характерный для него прямоугольный треугольник (если таковой присутствует как грань или сечение многогранника); (2) построить высоту геометрического тела и решить соответствующие прямоугольные треугольники; (3) построить углы (расстояния), заданные в задаче, и решить соответствующие прямоугольные треугольники; (4) построить сечения, заданные в задаче, и решить соответствующие прямоугольные треугольники; (5) ответить на вопросы, поставленные в задаче, используя при необходимости формулы площади, объема и пр.
Далее покажем примеры применения данного алгоритма для решения задач базового и профильного уровней сложности.
Рассмотрим решение стереометрической задачи № 1 из контрольной работы № 3 в 11 классе по теме «Площадь поверхности цилиндра».
Текст задачи: Дан прямой круговой цилиндр. Найдите площади его кругового, осевого сечений, боковой и полной поверхности, если диагональ осевого сечения цилиндра равна см и составляет угол в градусов с плоскостью основания цилиндра.
Решение:
В качестве второго примера применения данного алгоритма рассмотрим решение стереометрической задачи профильного уровня сложности (задача № 1 из контрольной работы в 11 классе по теме «Объем составного тела вращения»).
Решение:
Возможность интеграции с проектом «Цифровой класс» обусловлена тем, что все разработанные материалы представлены в электронном виде, а значит, при наличии соответствующих технических средств учащиеся могут получить всю необходимую для проведения контрольной работы дидактику не в печатном, а в электронном виде. В этом случае по многосоставному номеру варианта в память индивидуального гаджета загружаются персонифицированные данные, а именно: текст задач одного из двух прототипов, индивидуальный набор числовых данных, таблицы готовых и промежуточных ответов, а также – решения задач данного прототипа в буквенном виде (для облегчения этапа поиска и исправления ошибки).
В заключение перечислим основные преимущества педагогической технологии обучающего тематического контроля перед традиционными технологиями: (1) индивидуализация образовательного процесса (за счет персонификации числовых данных для решения задач); (2) технологизация образовательного процесса (наличие целевого, содержательного, диагностического и результативного признаков технологии); (3) гуманизация образовательного процесса (за счет личностно-ориентированного характера взаимодействия педагог-учащийся); (4) преемственность в обучении (за счет решения стереометрических задач на базе алгоритмов, изученных в основной школе); (5) здоровьесбережение (за счет педагогической поддержки учащихся на уроках контроля); (6) развивающий и обучающе-воспитывающий эффект от применения технологии (за счет формирования у учащихся положительной учебной мотивации, адекватной самооценки, стабильного роста качества знаний и уровня учебных притязаний); (7) тренинг вычислительных навыков, особенно с числами вида арифметических квадратных корней.
Данная педагогическая технология может быть воспроизведена любым учителем математики при условии наличия соответствующих раздаточных материалов, таблиц с промежуточными и конечными ответами к задачам и методических средств обучения решению стереометрических задач (в печатном или электронном виде).