Изучение свойств ленты Мёбиуса. 6-й класс

Автор проекта:
Эфендиева Ясмин,
6 А класс

Руководитель:
Загурская С.А.

Цель работы: исследовать поверхность листа Мёбиуса, его свойства и области применения листа Мёбиуса.

Для достижения цели поставлены следующие задачи:

• Рассмотреть различные разделы геометрии (планиметрия, стереометрия и топология), познакомиться с понятием «топология».
• Познакомиться с биографией Августа Фердинанда Мебиуса и с историей его интересного открытия.
• Изучить процесс изготовления листа (ленты) Мёбиуса и описать его. Изготовить листа Мёбиуса.
• Изучить и исследовать свойства листа Мёбиуса.
• Установить и описать области применения листа Мёбиуса.
• Создать презентацию-представление исследования.

В данной работе представлен результат исследования свойств листа Мёбиуса.

В ходе выполнения работы было создано обычное бумажное кольцо и лист Мёбиуса и выполнены ряд экспериментов над ними. Результаты экспериментов были проанализированы в сравнении и сделаны выводы об замечательных свойствах листа Мёбиуса.

В результате изучения и анализа различных источников информации обучающейся было собрано большое количество материала о применении листа Мёбиуса в различных сферах: науке и искусстве, в быту и в технике.

У данной исследовательской работы есть перспективы, так как с лентой Мёбиуса можно провести еще много различных экспериментов, которые помогут выявить еще различные свойства, которые применяются в практической деятельности человека.

ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ

Актуальность.

Топология является одним из самых «молодых» разделов современной математики. Топология изучает свойства фигур, которые не меняются при деформациях, не допускающих разрывов и склеивания.

Одним из интересных объектов изучения топологии является лист Мёбиуса. В школьном курсе математики объекты топологии не изучаются. Впервые о листе Мёбиуса я узнала от учителя математики. Я заинтересовалась этим и решила расширить свои знания об этом геометрическом объекте

Новизна моей работы заключается в том, что ни я, ни обучающиеся моего класса ранее не занимались выявлением свойств Мёбиуса. Я провела анкетирование среди обучающихся моего 6А класса, 10 А класса и 9 Б класса и выявила, что многие не слышали об этом листе ничего и не знают его свойств.

Объект исследования: лист Мёбиуса как модель односторонней поверхности.

Предмет исследования: свойства листа Мёбиуса.

Основные этапы исследования:

1 этап – постановка проблемы;
2 этап – анкетирование;
3 этап – изучение различных источников информации о листе Мёбиуса;
4 этап – проведение экспериментов;
5 этап – изучение и анализ литературы о применении свойств листа Мёбиуса в практической жизнедеятельности человека.
6 этап - представление результатов экспериментов и исследования в виде презентации.

Цель работы: исследовать поверхность листа Мёбиуса, его свойства и изучить области применения листа Мёбиуса.

Для достижения цели я поставила перед собой следующие задачи:

• Рассмотреть различные разделы геометрии (планиметрия, стереометрия и топология), познакомиться с понятием «топология».
• Познакомиться и описать биографию Августа Фердинанда Мебиуса и с историей его интересного открытия.
• Изучить процесс изготовления листа Мёбиуса и описать его. Изготовить лист Мёбиуса.
• Изучить и исследовать свойства листа Мёбиуса.
• Установить и описать области применения листа Мёбиуса.
• Создать презентацию-представление моего исследования.

Гипотеза исследования. Лист Мёбиуса обладает неожиданными свойствами.

Вид проекта. Информационно-исследовательский.

Методы исследования:

• анкетирование;
• поисковый;
• аналитический;
• экспериментальный;
• описательный.

Введение

За последнее время большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела новый раздел геометрии – топология. В наше время топология бурно развивается и находит применение в различных областях.

Геометрия – слово греческого происхождения, в переводе на русский язык означает землемерие. Геометрия делится на разделы:

Планиметрия - это раздел геометрии, рассматривающий объекты на плоской двумерной поверхности.

Стереометрия — раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Топология — раздел математики, изучающий: в самом общем виде — явление непрерывности; в частности — свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях.

У любого объекта как лист бумаги, кусок ткани, пластина, доска, как правило, две поверхности – наружная и внутренняя. Может ли у листа бумаги быть только одна поверхность? Да, это возможно. И таким листом является лист Мёбиуса.

Основная часть

1. А.Ф.Мёбиус и его удивительное открытие.

Август Фердинанд Мёбиус - немецкий математик и астроном-теоретик. Родился в городе Шульпфорте. Профессор Лейпцигского университета с 1816 года. Установил существование односторонних поверхностей (1858г.) одна из которых – Лист Мёбиуса. В возрасте 68 лет Мёбиусу удалось сделать открытие поразительной красоты.

… На улице шел дождь. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли у него были разные, но ничего особенного не приходило на ум. На пороге появилась любимая жена. Она была разгневана, что для мирного дома Мёбиусов было невероятно. Жена категорически требовала уволить служанку, которая неправильно сшила ленту. Хмуро разглядывая ленту, профессор воскликнул «Ай да, Марта! Девочка не так уж и глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!» Мёбиус сделал открытие – получил поверхность, которая имеет лишь одну сторону. (до него считалось, что любая поверхность имеет две стороны)

2. Описание изготовление Ленты Мебиуса.

Лист Мебиуса относится к числу математических неожиданностей. Чтобы изготовить лист Мебиуса, возьмём бумажную ленту ABCD. Прикладываем ее концы AB и CD друг другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка A совпала с точкой С, а точка B с точкой D. Перед склейкой перекручиваем ленту один раз (на 180°). Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо.

3. Эксперименты с листом Мёбиуса.

Для проведения экспериментов я изготовила несколько лент длиной 35см, шириной 5см. Чтобы понять, в чем особенность листа Мебиуса проводила опыты с обычным бумажным кольцом и листом Мебиуса.

Вывод: Вся поверхность ленты Мебиуса покрашена полностью. Лист оказался закрашенным полностью, а ведь мы его даже не переворачивали. Даже если бы хотели повернуть, то не смогли бы, потому что лист Мебиуса имеет только одну сторону. Лист Мёбиуса – односторонняя поверхность.

Вывод: При подобном разрезании лист Мёбиуса утрачивает свои свойства.

Вывод: При подобном разрезании лист Мёбиуса не распадается на две отдельные части, а остается связным. Но при разрезании он теряет свое свойство односторонности.

Эксперимент 4 Закрасим непрерывной линией только один край колец
Обычное кольцо Закрашен только край кольца, второй край не закрашен.	Лента Мёбиуса Линия края получилась непрерывно закрашенной на всём кольце.

Вывод: У листа Мебиуса не только одна сторона, но и один край.

Вывод: Поверхность листа Мебиуса является односторонней и непрерывной.

Эксперимент 6 Поставим точку на одной стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придём снова в отмеченную точку.
Обычное кольцо Линия проходит вдоль кольца по одной стороне, сходясь в точке начала. Вторая остаётся чистой.	Лента Мёбиуса Непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке.

Вывод: Поверхность листа Мёбиуса непрерывна.

Результаты экспериментов.

• Лист Мёбиуса имеет одну сторону (поверхность). Это подтверждают результаты 1,4,5 экспериментов.
• Лист Мёбиуса имеет один край. Результат 4 эксперимента.
• Если пустить по поверхности листа Мёбиуса движущиеся объекты, они будут двигаться бесконечно долго, т.е. поверхность непрерывна. Это подтверждают 5 и 6 эксперименты.
• Листу Мёбиуса присуще свойство – связность.
• Лист Мёбиуса, как и любая топологическая фигура, не меняет своих свойств, пока её не разрезают, не разрывают, или не склеивают его отдельные куски. Это подтверждают эксперименты 3 и 2.

Сферы применения листа Мёбиуса

Лента Мёбиуса – вовсе не абстрактная фигура, нужная лишь для целей математики, она нашла применение и в реальной повседневной жизни.

Лента Мёбиуса в быту.
Лопасти обычного бытового миксера и бетономешалки выполнены в виде ленты Мёбиуса.
Лента Мёбиуса в технике.
1) Шлифовальная лента. В 1969 году советский изобретатель А.Губайдуллин получил авторское свидетельство на шлифовальное устройство с лентой Мёбиуса. Срок работы шлифовальной ленты увеличился вдвое.
2) По принципу этой ленты функционирует в аэропорту лента, передвигающая чемоданы из багажного отделения. Такая конструкция позволяет ей служит дольше в связи с равномерным изнашиванием.
3) В метро ручка эскалатора – это лента Мёбиуса, это позволяет равномерно изнашиваться и продлевать срок действия резины.
4) Благодаря ленте Мёбиуса были созданы кассеты для магнитофона, которые давали возможность слушать их с двух сторон, не переворачивая.
5) Наконечник бура для скважин так же выполнен в форме ленты Мёбиуса.
6) Американские горки.
Лента Мёбиуса в искусстве и архитектуре. Лента Мебиуса – широкое поле для Вдохновения Сложно оценить важность значения открытия ленты Мебиуса, которое вдохновило не только большое множество ученых, но и писателей, художников, архитекторов.
1) Самой известной работой, посвященной ленте Мебиуса считается картина Moebius Strip II, Red Ants или Красные Муравьи голландского художника-графика Маурица Эшера. На картине представлены муравьи, карабкающиеся по петле Мебиуса с обеих сторон, на самом деле сторона всего одна. Муравьи ползут по бесконечной петле друг за другом по одной и той же поверхности. Художник черпал свои идеи из статей и трудов по математике, он был глубоко увлечен геометрией.
2) Библиотека в Казахстане.
3) В г.Москва напротив станции метро «Фрунзенская» в 1997 году установлен памятник ленте Мёбиуса. Авторами памятника являются скульптор Налич А.З., архитектор Иванченко О.Н. и строитель Федорков Г.Л. На постаменте философская надпись: «Разные токи зрения на один предмет»
4) В г.Минск напротив Национальной академии наук установлен также памятник ленте Мёбиуса.
Лента Мёбиуса и дизайн ювелирных украшений, одежды и обуви.

5) Лента Мёбиуса и гипотезы.

Молекула ДНК схожа с листом Мёбиуса?

Есть предположение, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому так сложно расшифровать генетический код. Более того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

Существовала гипотеза, которую выдвинул советский цитолог Навашин, что форма кольцевой хромосомы по строению аналогична ленте Мебиуса. На эту мысль ученого натолкнул тот факт, что кольцевая хромосома, размножаясь, превращается в более длинное кольцо, чем в самом начале, или в два небольших кольца, но как в цепи продетых одно в другое, что очень напоминает выше описанные опыты с листом Мебиуса.

Вселенная замкнута в ленту Мёбиуса?

Физики-теоретики пришли к выводу, что наша Вселенная, вполне вероятно, замкнута в ленту Мёбиуса. Согласно теории относительности – чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Эта теория полностью подтверждает предположение, что космический корабль все время летящий прямо, может вернуться к месту старта. Это подтверждает неограниченность и конечность Вселенной.

Пока это всего лишь гипотезы, у которых есть как сторонники, так и противники. Кто знает, к какому открытию подведет ученых, казалось бы, такой простой объект, как Лента Мебиуса.

Заключение

Выполняя исследовательскую работу по изучению листа Мёбиуса, его свойств, я, прежде всего, узнала о знаменитом ученом, его жизни и истории его открытия. Мною было изучено и проанализировано большое количество информации.

Эксперименты я проводила с большим интересом. Таким образом, я узнала удивительные свойства листа Мёбиуса. Для меня это было открытием.
Изучая различные источники, я узнала о широком практическом применении листа Мёбиуса.

Выводы.

1. Лист Мёбиуса можно получить простым способом.

2. Лист Мёбиуса действительно удивительный. В этом я действительно убедилась, проводя эксперименты с листом Мёбиуса и обычным кольцом.

3. Свойства листа разнообразны. Они получены мной в результате экспериментов и были сравнимы со свойствами, описанными в математической литературе.

Практическая значимость проекта заключается в том, что я сумела получить интересный математический материал. Результаты своих экспериментов я представила сначала своим одноклассникам, а потом на школьном фестивале исследовательских проектов. Моя работа интересна любителям математики для расширения кругозора, ее можно использовать на внеклассных мероприятиях по математике.

Перспективы исследования. С листом Мёбиуса можно проводить еще много различных экспериментов. Я узнала лишь некоторые свойства листа и обязательно вернусь к этому вопросу и проведу еще не один эксперимент с удивительным листом Мёбиуса и планирую найти еще не исследованные сферы применения листа.

Список литературы

1. Горохова Л.И. «Уроки математики». Современная школа, Москва, «Глобус», 2009.
2. Депман И.Я. «За страницами учебника математики». Москва, «Просвещение», 1989.
3. Леонова О.А. Введение в топологию «Лист Мёбиуса».

Интернет-ресурсы

1. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%BD%
   D1%82%D0%B0_%D0%9C%D1%91%D0%B1%D0%B8%
   D1%83%D1%81%D0%B
2. https://kalkpro.ru/interesting-facts/lenta-mebiusa/
3. https://econet.ru/articles/67911-lenta-mebiusa-zagadka-sovremennosti
4. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D1%91%D0%B1%
   D0%B8%D1%83%D1%81,_%D0%90%D0%B2%D0%B3%
   D1%83%D1%81%D1%82_%D0%A4%D0%B5%D1%80%
   D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D0%B4