Подготовка учащихся к сдаче экзамена в форме ЕГЭ по теме "Тригонометрия"

Разделы: Математика

Занятие 1.Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Основные тригонометрические тождества. (1 ч).

Цель: повторить определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, основные тригонометрические тождества, теорему Пифагора.

Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен 90º, sin A=7/25. Найдите cos A.

Решение: по основному тригонометрическому  тождеству имеем:

sin2 A+ cos2 A=1;  cos2 A=1– sin2 A;  cos2 A=1– (7/25)2;  cos A=24/25.

Ответ: 0,96.

Задача 2. В треугольнике ABC угол C равен 90º, tg A=√91/3 . Найдите cos A.

Решение: подставив в тождество 1+ tg2 A=(1/cos2 A) числовое значение тангенса, получим

1+( √91/3)2=(1/cos2 A); cos A=0,3.

Задачи на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника решаются по следующему алгоритму:

  1. Выделяем треугольник, в который входит сторона или угол, который нам нужно найти.
  2. Смотрим, какие элементы треугольника нам известны, и с помощью какой тригонометрической функции они между собой связаны.
  3. Записываем соотношение, которое связывает между собой эти элементы.

рис.1Задача 3. В треугольнике ABC угол C равен 90º, АВ=5, sin A=7/25 . Найдите АC.

Решение: по определению sin A=BC/AB; 7/25 = BC/5. Откуда ВС=1,4.

Далее, по теореме Пифагора имеем

АС2+СВ2=АВ2;  АС2=25-1,96; АС=4,8.

Ответ: 4,8.

Задания для самостоятельной работы:

В треугольнике ABC угол C равен 90º, sin A=√17/7 . Найдите tg A.

  1. В треугольнике ABC угол C равен 90º, cos A=√51/10 . Найдите sin A.
  2. В треугольнике ABC угол C равен 90º, cos A=5/√34 . Найдите tg A.
  3. В треугольнике ABC угол C равен 90º , tg A=√11/33 . Найдите sin A.
  4. В треугольнике ABC угол C равен 90º, tg A=24/7 . Найдите cos A.
  5. В треугольнике ABC угол C равен 90º, cos A=0,5,  АВ=8. Найдите AC.
  6. В треугольнике ABC угол C равен 90º, АВ=7, tg A=33/4√33. Найдите AC.
  7. В треугольнике ABC угол C равен 90º, АС=4√15, sin A=7/17. Найдите АВ.
  8. В треугольнике ABC угол C равен 900, АС=0,5, cos A=√17/17. Найдите BC.
  9. В треугольнике ABC угол C равен 900, АС=24, ВС=7. Найдите sin A.

Занятие 2. Значения тригонометрических функций, свойства тригонометрических функций. (1 ч).

Цель: повторить все основные свойства этих функций, градусную и радианную меру углов, области определения и значений, промежутки знакопостоянства.

Задача 1. Найдите значение выражения: -4√3cos(-750º).

Решение: -4√3cos(-750º) = -4√3cos(750º) = -4√3cos(2*360º+30º) = -4√3cos30º = -4√3(√3/2) = 3.

Задача 2. Найдите значение выражения 36√6  tg(π/6) sin(π/4).

Решение: 36√6 tg(π/6) sin(π/4) = 36√6(√3/3)(√2/2) = 36.

Задача 3. Найдите 3 cos α, если sin α = -(2√2/3) и α ∈(3π/2;2π).

Решение:

sin2 α + cos2 α =1;  cos2 α = 1 – sin2 α;

cos α=±√(1/9); α – угол IV четверти, значит cos α=1/3;   3 cos α=3*1/3=1.

Ответ:1.

Задача 4. Найдите tg2 α, если 4sin2 α + 9cos2 α = 6.

Решение: 4sin2 α + 9cos2 α=6;

4sin2 α + 4cos2 α+5cos2 α=6; 4+5cos2 α=6; 5cos2 α=2; cos2 α=0,4

sin2 α = 1-cos2 α;  sin2 α =0,6; tg2α = (sin2 α)/cos2 α = 0,6/0,4 = 1,5.

Задача 5. Найдите (3cos α - 4sin α)/(2sin α - 5cos α), если  tg α = 3.

Решение: рис.2

Задания для самостоятельной работы:

Найдите значение выражения:

рис.3
рис.4

Занятие 3. Формулы приведения. (1 ч).

Цель: повторить формулы приведения, научить пользоваться мнемоническим правилом приведения функции произвольного угла к функции острого угла.

Задача 1. Найдите значение выражения рис.5

Решение: рис.6

Задача 2. Найдите значение выражения рис.7

Задача 3. Найдите значение выражения рис.8

Решение: рис.9

Задача 4. Найдите sin ((7π/2)-α), если sin α = 0,8 и α ∈(π/2;π).

Решение: sin2 α + cos2 α =1;    cos2 α = 1– sin2 α;

cos α = ±0,6; α – угол II четверти, значит cos α=0,6;

sin ((7π/2)-α) = sin (2π + (3π/2)-α) = sin ((3π/2)-α) = -cos α = -0,6.

Задания для самостоятельной работы:.

рис.10

Найдите значение выражения:

рис.11

Занятие 4. Формулы сложения, двойного аргумента, формулы понижения степени. (1 ч).

Цель: повторить формулы сложения, двойного угла и половинного угла.

Задача 1. Найдите значение выражения рис.12

Решение: рис.13

Задача 2. рис.14

Решение: рис.15

Задача 3. Найдите 24cos 2α, если sinα = -0,2.

Решение: sin2 α + cos2 α =1;

cos2 α=1– sin2 α;

cos2 α=1– (-0,2)2=0,96;

24cos2α=24(cos2 α – sin2 α)=24(0,96-0,04)=24*0,92=22,08.

Задания для самостоятельной работы:

Найдите значение выражения:

рис.16
  1. Найдите (10sin 6α)/(3cos 3α), если sin 3α = 0,6.
  2. Найдите -2cos 2α, если sin α = 1.
  3. Найдите -16cos 2α, если sin α = -0,4 - 2cos 2α.
  4. Найдите 9cos 2α, если cos α = 1/3.

Занятие 5. Формулы суммы и разности тригонометрических функций. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. (1 ч).

Цель: повторить формулы.

Задача 1. Найдите значение выражения рис.17

Решение:

I способ: рис.18

II способ: рис.19

Задания для самостоятельной работы:

Найдите значение выражения:

рис.20

Занятие 6. Тригонометрические уравнения.

Цель: повторить формулы простейших тригонометрических уравнений, создание условий для формирования умений выбирать из полученной серии решений те решения, которые удовлетворяют некоторому дополнительному условию.

Задача 1. Найдите корень уравнения cos (π(x - 7)/3) = 1/2: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решение: используя формулу корней простейшего тригонометрического уравнения вида

cos х=а для аргумента π(x - 7)/3 получаем: π(x - 7)/3 = ±(π/3) + 2πn, где n ∈Z.

Умножим обе части равенства на 3/π: х-7 = ±1+6n, где n ∈Z. Рассмотрим совокупность корней

х1-7=1+6 n, где n ∈Z,           х1=8+6 n, где n ∈Z,

х2-7=-1+6к, где к ∈Z.           х2=6+6к, где к ∈Z.

Наибольший отрицательный корень получаем при n=-2  х=-4.

Ответ: -4.

Задания для самостоятельной работы:

  1. Решите уравнение cos (π(x + 5)/3) = 1/2. В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
  2. Решите уравнение tg (πx/4) = -1. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
  3. Решите уравнение sin (πx/3) = 0,5. В ответе напишите наименьший положительный корень.
  4. Решите уравнение sin (π(x - 3)/4) = - √2/2. В ответ напишите наименьший положительный корень.
  5. Решите уравнение sin (π(x - 3)/4) = √2/2. В ответ напишите наименьший положительный корень.
  6. Решите уравнение sin (π(8x + 9)/3) = √3/2. В ответ напишите наименьший положительный корень.
  7. Решите уравнение tg (π(x + 2)/3) = - √3. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
  8. Решите уравнение tg (π(x + 4)/6) = 1/ √3. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
  9. Решите уравнение tg (π(2x + 1)/6) = √3. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
  10. Решите уравнение cos (π(8x - 10)/3) = 1/2. В ответ запишите наибольший отрицательный корень.

Занятие 7. Решение задач на применение формул дифференцирования и интегрирования тригонометрических функций.

Цель: повторить формулы производной и первообразной тригонометрических функций, алгоритм нахождения точек экстремума и экстремумов функций, наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Задания для самостоятельной работы:

  1. Найдите наибольшее значение функции y = 15x - 3sin x + 5 на отрезке [-π/2;0] .
  2. Найдите наибольшее значение функции y =12cosx + 6√3 * x - 2√3 * x + 6 на отрезке [0;π/2].
  3. Найдите наименьшее значение функции y = 5cosx - 6x + 4 на отрезке [-3π/2;0].
  4. Найдите наименьшее значение функции y = 7sinx - 8x + 9 на отрезке [-3π/2;0].
  5. Найдите наименьшее значение функции y = 9cosx + 14x + 7 на отрезке [0;3π/2].
  6. Найдите наибольшее значение функции y = 2cosx - (18x/π) + 4 на отрезке [-2π/3;0].
  7. Найдите наибольшее значение функции y = 10sin x - (36x/π) + 7 на отрезке [-5π/6;0].
  8. Найдите наименьшее значение функции y = 4tgx - 4x - π +5 на отрезке [-π/4;π/4].
  9. Найдите наименьшее значение функции y = 5tg x - 5x + 6 на отрезке [0;π/4].
  10. Найдите наибольшее значение функции y = 3tg x - 3x +5 на отрезке [-π/4;0].
  11. Найдите наибольшее значение функции y = 14x - 7tg x - 3,5π +11 на отрезке [-π/3;π/3].

Литература

  1. mathege.ru – Открытый банк задач ЕГЭ по математике