Проектная деятельность учащихся по математике: от урока до конечного результата

В статье представлен опыт работы над конкретным проектом по алгебре. Описаны все этапы работы учеников: от погружения в проект до конечного результата. Статья может быть интересна учителям и ученикам, которые занимаются проектно-исследовательской деятельностью.

Ключевые слова: проектное обучение, дидактические цели и методические задачи проекта, проблема, проблематизация, целеполагание, реализация плана работы, проектный продукт, рефлексия, презентация проекта, асимптота, дробно-линейная функция.

Проектное обучение учащихся на уроках математики строится на принципах личностно-ориентированного образования. Продвижение по маршруту познавательной деятельности школьников происходит в результате личностной и групповой рефлексии на всех этапах работы над проектом.

Покажу, как это происходит на уроках алгебры при изучении темы “Дробно-рациональная функция”.

Обоснование выбора проекта как метода обучения в данном случае обосновано следующими дидактическими целями:

– создание условий для индивидуализации обучения в соответствии со склонностями и способностями учащихся;

– развитие познавательной активности и коммуникативных навыков обучающихся на основе привлечения их к поисково-исследовательской деятельности;– формирование умений и навыков работы школьников с различными источниками знаний.

Методические задачи проекта

– воспитание ответственного отношения к работе в группе.

Ожидаемые приращения в компетентностях учащихся: на начало работы ученики знают и умеют строить график обратно пропорциональной зависимости. В результате работы над проектом ученики расширят знания о дробно-рациональной функции и научатся определять асимптоты графиков указанных функций по их внешнему виду.

На уроках алгебры в 8-м классе мы строили графики функций у = k/x, рассматривали различные свойства графиков. В том числе установили, как они располагаются на координатной плоскости относительно осей и начала координат. Оказалось, что графики наряду с различными другими свойствами имеют интересную особенность: они как бы разрываются на две части, при этом при удалении от начала координат приближаются к осям координат и не пересекают их. Ученикам сообщается, что оси координат при этом являются асимптотами графика. Школьники впервые встретились с новым математическим термином – асимптота. Им было предложено сначала самим попытаться объяснить смысл нового термина, а потом выяснить, что обозначает этот термин. Как это можно сделать? Ученики предлагают: прежде всего посмотреть в учебнике, потом в словаре или в энциклопедии, найти в Интернете [6], [7], [8]. Эту работу предлагаю сделать дома. На следующем уроке обсуждаем вопрос: почему определение асимптоты в различных источниках различное. Ученики сравнивают и делают соответствующие выводы: определения есть описательные, алгебраические и геометрические. Но во всех определениях речь идет об одном и том же математическом понятии.

В 9-м классе при построении таких графиков как и Ученики первоначально применяют параллельный перенос графиков у = kx^-1 и y=x^-2 вдоль осей координат. После преобразования правой части получается новый вид функции. Говорю ученикам, что такие функции имеют свое название, советую поискать в различных источниках сведения об этих функциях – это ученики уже умеют делать. Обращаю внимание на наличие асимптот и предлагаю другой способ построения графиков: вначале построить асимптоты. И тут естественно возникает проблема: зачем надо строить асимптоты графиков функций указанного вида? Предлагаю группе учащимся (желающие по опыту ранее сделанных проектов всегда есть) самим разобраться в этой проблеме. Так мы подошли к организации проектной деятельности группы учеников по решению новой учебной проблемы. Первый этап работы над проектом – проблематизация – ненавязчиво произошел на уроке. Наличие проблемы явилось побудительным стимулом к деятельности.

Но для того, чтобы проблема заставила ученика действовать, необходимо чтобы она приобрела личностную окраску, личную заинтересованность. Для этого после уроков – первый сбор группы, в состав которой вошли три ученика, которые уже имеют опыт такой деятельности, и два новичка, проявившие интерес. “Генератором идей” стал Карелин М., так как у него всегда много идей, “эрудитом” – Кожин Д., он много знает и всегда может объяснить и доказать, Дима является лидером в нашей группе, “критиком” – Спиридонов С., он часто сомневается, переспрашивает, проверяет и перепроверяет. Эти ребята в прошлом учебном году успешно выступали на школьной и городской учебно-исследовательской конференции “Ученые будущего” и на третьей региональной научно – практической конференция “Научно-исследовательская деятельность школьников в области математики и ее приложений” в рамках Ломоносовских научных чтений студентов математического Факультета ПГУ. Наумов Д. и Ивонин В. подключились впервые. Они взяли на себя все функции, связанные с компьютером: поиск материала в Интернете, создание компьютерной презентации, обучение всех построению графиков с помощью программы “Живая геометрия”. Ваня – оператор при демонстрации компьютерных презентаций.

Проводим “Мозговой штурм”. Цель – в результате дискуссии должны появиться первые очертания будущей работы, нужно сформулировать цель и тему работы, определить план работы.

Из опыта знаю, что этот этап – этап целеполагания – формирование цели и темы проекта является для учащихся одним из самых трудных. Обсуждаем, почему возникла проблема и в чем она заключается, что мы хотим выяснить, установить. Выдвигается цель предстоящей работы: доказать, что асимптоты помогают строить графики. Обсуждаем вопрос: позволит ли достижение этой цели решить проблему проекта? Да, ответ на этот вопрос поможет убедиться в том, что асимптоты действительно являются ориентиром для построения графики функций данного вида. В результате выполнения работы будет установлен план построения асимптот и показано, как по внешнему виду функции определить какие и сколько асимптот имеет график. Предлагаю сформулировать тему проекта. Из всех предложенных “Какая линия является асимптотой дробно-рациональной функции?” Далее обсудили, каким будет результат работы – проектный продукт. Договорились, что проектным продуктом будет либо компьютерная презентация, либо печатное пособие-справочник. Предлагаю ученикам подумать: действительно ли такой проектный продукт позволит достичь цели проекта. По мнению ребят именно такой продукт поможет достичь поставленной цели, будет использоваться на уроках алгебры и факультативных занятиях по математике. В результате выполнения работы будет установлен план построения асимптот и показано, как по внешнему виду функции определить какие и сколько асимптот имеет график. В презентации все рассуждения будут показаны наглядно с помощью графических построений.

После того, как появилось четкое представление о проблеме, уяснили цель работы, приступаем к планированию работы. Ставлю перед учениками вопросы: что достаточно знать и что надо сделать, чтобы достичь цели проекта, как добыть необходимые знания? Ответы на эти вопросы помогают проследить весь путь от исходной проблемы до конечной цели проекта, разбить на отдельные этапы, различающиеся по виду исследовательских действий и определить задачи этих этапов. В результате получается план исследования, представленный перечнем задач.

Определили задачи работы (они уточнялись по мере выполнения работы).

1. Из учебной математической литературы и книг по истории математики узнать:

– когда и в связи с какими потребностями появилось понятие “асимптота”;
– сколько определений имеет это понятие, что общего в этих определениях и в чем заключаются различия.

2. С помощью компьютерного эксперимента установить наличие и вид асимптот у графиков функций в зависимости от многочленов в числителе и знаменателе.

3. Обобщив результаты эксперимента выдвинуть гипотезы о видах асимптот и критериях их существования, логически обосновать эти гипотезы.

4. Сравнить удобство построения эскизов графиков дробно-рациональных функций с использованием знаний об их асимптотах и без нахождения асимптот.

5. Представить доказательство удобства построения графиков с помощью асимптот своим товарищам, подготовив компьютерную презентации в форме программы Microsoft Power Point и альбома (проектный продукт).

Обсуждаем возможные способы нахождения нужных источников информации. Прежде всего, это школьные учебники. Надо посмотреть учебники разных авторов из школьной библиотеки. Предлагают посмотреть заодно и учебники для старших классов, поискать материал в справочниках, энциклопедиях, в книгах по математики. Наверняка много материала в Интернете. Распределяются, кто и где будет искать материал. Обращаю внимание на то, что ребята будут пользоваться статьями, рисунками, созданными другими авторами, поэтому в своих работах обязательно надо ссылаться на них, указывая источник информации. Таким образом, мы говорим о защите прав автора.

Следующий этап работы – реализация плана работы. В ходе этого этапа мне, как руководителю проекта, нужно было продумать, какие предположительно проблемы могут возникнуть у учащихся, как они смогут их преодолеть, какая помощь со стороны учителя им потребуется. Надо научить учеников строить графики с помощью компьютерной программы “Живая геометрия” и при создании презентации пользоваться программой Microsoft Equation 3,0. При выявлении асимптот дробно-линейной функции у учеников проблем не будет. Самостоятельно ученики находят правило нахождения вертикальной и горизонтальной асимптот. Сначала выявляют правило нахождения вертикальной асимптоты. Затем были выявлены три способа нахождения уравнения горизонтальной асимптоты: выделение целой части, выражение х через у и нахождение предела функции при х® ?. Сделали ученики и вывод формул асимптот дробно-линейной функции.

Трудности возникнут, когда ученики будут рассматривать дробно-рациональные функции, у которых показатели степеней числителя и знаменателя не ниже первой. На консультации предлагаю ученикам рассмотреть различные ситуации: числитель первой степени, знаменатель – второй; числитель – второй степени, знаменатель – первой степени; числитель и знаменатель – второй степени. Обращаю внимание, что пока мы выбрали такие функции, у которых показатели степени числителя и знаменателя не превышают двух. Предлагаю установить, как на построение графика влияет знак дискриминанта. При выполнении компьютерного эксперимента координаты точки, в которой меняется поведение функции (точки экстремума), легко определяются, да на этот момент ученики могут и не обратить внимания. Поэтому при следующей встрече даю понятие экстремума на интуитивной основе (и как показывает практика, они это хорошо воспринимают) и предлагаю построить графики в тетради. Ребята уже имеют опыт построения графиков, поэтому предлагают взять несколько контрольных точек. И вот тут то и возникает вопрос о нахождении координат этой точки. Предлагаю поискать ответ в источниках [5], [9]. Материал трудный для учеников. На следующей творческой встрече вместе разбираемся, выполняем ряд тренировочных заданий, для нахождении экстремумов дробно – рациональной функции степени не выше второй применяем исследование дискриминанта данной дроби, выражающегося через у. Обращаю их внимание на что, что бывают ситуации довольно трудные, и даже этим способом найти экстремальные точки не удается. Но в математике есть специальный математический аппарат для полного исследования функций, с которым они познакомятся в 10-м классе. Предлагаю ребятам составить функцию, у которой уже заданы асимптоты, и построить ее график – решить обратную задачу. Такая работа вызвала интерес и, безусловно, полезна для учеников.

Далее идет очень важный этап – рефлексия. Предлагаю ученикам описать, какую пользу принесла эта работа им и может принести “потребителям” проектного продукта –какие ошибки были допущены и как был найден выход, какие перспективы работать. Отчет о работе – очень важная часть проекта. Но написание отчета вызывает большие трудности и нежелание у ребят. Поэтому учителю надо проявить настойчивость и оказать необходимую помощь в описании хода работы. Для написания письменного отчета ученикам была предложена схема [2, 7]. Ученики делают анализ проделанной работы и оценивают свою работу над проектом.

Далее предстоит презентация проекта. Объём работы очень большой. Поэтому пришли к выводу, что проектным продуктом должны быть три исследовательские работы с компьютерными презентациями. Цель – наилучшим способом показать результаты работы. Самопрезентация – умение в выгодном свете показать себя, не теряя при этом чувство меры,– важнейший социальный навык. На этом этапе у учеников возникают две проблемы – это речь и регламент. Надо за короткое время (7-10 минут) донести до слушателя результат работы, выполненной за продолжительное время. При подготовке к выступлению выделили главное, учились коротко и ясно излагать свои мысли, подготовиться к возможным вопросам. Презентацию прорепетировали.

Учителю необходимо и самому сделать анализ проделанной учениками работы: достигнуты ли в результате выполнения проекта поставленные дидактические цели и методические задачи проекта.

Какую роль я заняла, выстраивая взаимодействие с данными учащимся и почему? Скорее коллега по работе, отношения партнеров, взаимное обогащение, нам это интересно. Надо выстроить оптимальные правильные личные взаимоотношения в ходе работы. Я – коллега по работе, в значительной степени вовлечена в процесс. Между нами отношения равноправных партнеров, которые увлечены общей работой и взаимно обогащаемся знаниями и опытом. Иногда выступаю в роли эксперта-знатока, который является источником информации по проблемам проекта, приходится предоставлять необходимые сведения, давать советы, когда авторы проекта обращаются за ними. Но в любом случаю всегда пытаюсь побудить учеников проявлять максимум активности, инициативы, самостоятельности. На всем протяжении работы над проектом поддерживаю мотивизацию работы – это моя задача.

Какова практическая значимость проделанной работы?

Деятельность учащихся в рамках предлагаемого проекта обеспечивает им возможность “проживания” всех этапов формирования умственной деятельности. Меняется отношение школьников к учебе. Этому способствуют работа над проектом, совместная интеллектуальная деятельность рабочих групп, консультации учителя. Компьютерная презентация учеником применялась на уроках. Так учениками стали соавторами уроков по теме “Дробно-рациональная функция и ее график”. Еще одним важным результатом проектной деятельности является активизация процессов социализации школьника. Поиски информации, обращение к старшим, неформальные консультации с учителем благотворно влияют на личностное становление ребенка, его самореализацию и осмысление собственного места в социальном окружении.

Внеурочная деятельность является вторым направлением работы учителя, конечным результатом которой становятся выступления учащихся на научно-практических конференциях. В ходе работы над проектом учениками были сделаны три исследовательские работы6 “Асимптота-ориентир для построения графиков” (Кожин Д.), “Всегда ли асимптота-прямая линия?” (Спиридонов А.) и “Как строить графики дробно-рациональных функций элементарными методами?” (Карелин М.). На городской учебно-исследовательской конференции “Юность Северодвинска” работы заняли первое и второе места.

Другая сторона такого рода деятельности в школе: учитель. Учителю самому приходится глубоко вникать в темы, над которыми работают его ученики. Требуется больше времени и на подготовку к урокам с применением новых методов работы, значительно больше времени тратить на индивидуальную работу с учениками Ему тоже приходится работать с различными источниками информации. Но я не побоюсь сказать, что растет его педагогическое мастерство, увеличиваются и его знания предмета. И это окупается радостным огоньком в глазах учеников.

1. Ступницкая М. А. Новые педагогические технологии: учимся работать над проектами. Рекомендации для учащихся, учителей и родителей.– Ярославль: Академия развития, 2008.-256с.;\
2. Ступницкая М. А.Что такое учебный проект? – М.: Первое сентября, 2010.– 44с.;
3. Ступницкая М. А. Новые педагогические технологии: организация и содержание проектной деятельности учащихся.: учебно – методическое пособие и видио – записи лекций – М.: Педагогический университет “первое сентября”, 2010. – 132с.
4. Метод учебного проекта в образовательном учреждении: учебно – методическое пособие / сост. Соколова Т.В. – Архангельск: АО ИИИК РО, 2010. – 26с.

Источники информации для ученика

1. Ажгалиев У. “Возможно ли исследование и построение графика дробно-рациональной функции без использования производной?” (“Математика в школе”, № 7, 2010, ООО “Школьная Пресса”).
2. Большая советская энциклопедия http://dic.academic.ru.;
3. Большой энциклопедический словарь Брокгауза Ф.А., Ефрона И.А., http://dic.academic.ru;
4. Википедия ru.wikipedia.org/wiki/Асимптота.
5. Шахейстер А.Х. Построение графиков элементарными методами / СПб; ЧеРо-на-Неве, 2003.-184 с.

• Задачи на движение (5-6-е классы; 8-9-е классы);
• Проценты вокруг нас; Его величество Процент или процентные вычисления на каждый день (5-6; 8-9 классы);
• Наш вечный спутник – квадратное уравнение (8-9-е классы);
• О чем расскажет график квадратичной функции (8-9-е кл.);
• Решение систем уравнений с двумя переменными второй степени (8-9-е классы);
• Его величество Треугольник (7-й класс);
• Геометрия окружности (7-й класс);
• Мир четырехугольников (8-й класс);
• Пифагор и его теорема (8-й класс)
• Решаем тригонометрические уравнения (10-й класс).

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5