Цели:
- Формирование умения строить математическую модель некоторой физической ситуации.
- Расширение круга задач, решаемых с помощью алгебраических методов.
- Развитие познавательного интереса учащихся, умение работать с дополнительной литературой.
- Воспитание ответственности и самостоятельности при подготовке к семинару.
Задачи урока:
- Образовательные:
- проверка умений учащихся решать задачи с физическим содержанием
- формирование умений устанавливать отношения между предметами с помощью прикладных программ.
- применение полученных знаний на практике.
- Развивающие:
- развитие логического мышления, умения делать выводы.
- развитие умения применять информационные технологии для оформления работ и решения задач с современными требованиями.
- Воспитательные:
- воспитание информационной культуры;
- стимулирование познавательной деятельности постановкой проблемных вопросов и заданий;
- воспитание умения работать в группе.
Планируемые результаты:
- Знать:
- физические формулы, используемые при решении математических задач;
- решение неравенств второй степени.
- Уметь:
- применять эти формулы на практике;
- решать задачи физического содержания.
Тип урока: интегрированный урок-семинар решения задач с физическим содержанием для учащихся 11 классов (2 часа).
Комплексно-методическое обеспечение: интерактивная доска, таблицы с формулами, плакаты с высказываниями, выставка книг.
Методы обучения:
- Объяснительно-иллюстративный
- Репродуктивный
- Частично-поисковый
- Проблемный
План проведения урока-семинара.
- Вступительное слово учителя математики.
- Выступление учащихся от каждой группы.
- Самостоятельная работа.
- Подведение итогов урока-семинара.
Организация урока-семинара
Класс разбивается на 6 групп. Каждая группа получает задание разобрать и решить определённую группу физических задач. Учащиеся при подготовке к семинару прорабатывает соответствующие разделы учебников, использует интернет, дополнительную литературу, получает консультацию учителей физики и математики. На подготовку к уроку отводится неделя.
ХОД УРОКА-СЕМИНАРА.
1. Организационный момент
Учителем сообщается тема урока, цель его проведения. Эпиграфом к сегодняшнему уроку послужат следующие слова: «Образование есть то, что остаётся у человека, когда остальное забывается»
2. Систематизация знаний
Вступительное слово учителя:
Задания с прикладным содержанием, включённые в
2010 году в экзаменационные варианты ЕГЭ по
математике под номером В10 представляют собой
достаточно широкий круг: это и задачи с
экономическим содержанием, и задачи о тепловом
расширении тел, о сокращении длины быстро
движущихся ракет, об определении глубин колодцев
и об исследовании температуры звёзд, о
проектировании подводных аппаратов, о
скейтбордистах и даже о водолазных колоколах.
Научиться решать задачи – одна из важнейших
целей образования. Овладеть математическими
знаниями, позволяющими описывать окружающий нас
мир, научиться составлять, анализировать и
интерпретировать соответствующие
математические модели – наиважнейшая цель
математического образования. Помочь хотя бы
немного в этом нелёгком труде и призван наш
сегодняшний урок.
Представитель каждой группы рассказывает
остальным учащимся о задачах, над которыми
работала его группа. Один ученик объясняет
физический смысл задачи и строит математическую
модель данной физической ситуации. Другой ученик
показывает решение задачи уже алгебраическим
методом.
1 группа
Задача 1. При температуре 
рельс имеет длину 
=12,5 м. При
возрастании температуры происходит тепловое
расширение рельса, и его длина , выраженная в
метрах, меняется по закону 
, где 
коэффициент теплового расширения , 
температура (в
градусах Цельсия). При какой температуре рельс
удлинится на 6 мм? Ответ выразите в градусах
Цельсия.
Решение.
Задача сводится к решению уравнения 
= 6 (мм) при заданных
значениях длины 
=12,5 м и коэффициента теплового
расширения 
=1,2
:
= 6
(м)
= 6
12,5 . (1+1,2
) – 12,5 = 6
12,5
12,5 = 6
= 6
40
.
Ответ: 40
.
Задача 2. В боковой стенке высокого
цилиндрического бака у самого дна
закреплен кран. После его открытия вода начинает
вытекать из бака , при этом высота столба воды в
нем, выраженная в метрах, меняется по
закону 
+ 
, где 
время в секундах,
прошедшее с момента открытия крана, 
20 м – начальная
высота столба воды, 
отношение площадей
поперечных сечений крана и бака, а 
ускорение свободного
падения (считайте g 
10 м/
).
Через сколько секунд после открытия крана в
баке останется четверть первоначального объёма
воды?
Решение:
Задача сводится к решению уравнения 
при
заданных значениях начальной высоты 
, 
отношения площадей
поперечных сечений крана и бака 
и ускорения
свободного падения g 
10 м/
: 
Решив квадратное уравнение,
имеем 
и 
. 
не
удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 400 с.
3 группа
Задача 3. Для определения эффективной
температуры звезд используют закон
Стефана-Больцмана, согласно которому
мощность излучения нагретого тела 
, измеряемая в ваттах,
прямо пропорциональна площади его поверхности и
четвертой степени температуры : 
, где 
5,7
постоянная,
площадь 
измеряется
в квадратных метрах, температура 
в градусах Кельвина, а мощность 
в ваттах. Известно,
что некоторая звезда имеет площадь поверхности 
, а излучаемая ею
мощность 
не
менее 2,28
Вт.
Определите наименьшую возможную температуру
этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.
Решение.
Задача сводится к решению неравенства 
при известном
значении постоянной 
5,7
и заданной площади поверхности
звезды 
:
5,7
4000 K
Значит, наименьшая возможная температура
звезды 
4000
K.
Ответ: 4000 К.
4 группа
Задача 4. Для получения на экране
увеличенного изображения лампочки в
лаборатории используется собирающая линза с
главным фокусным расстоянием 
см. Расстояние 
от линзы до лампочки
может изменяться в пределах от 35 см до 60 см, а
расстояние 
от
линзы до экрана – в пределах от 240 см до 280 см.
Изображение на экране будет четким, если
выполнено соотношение 
Укажите, на каком наименьшем
расстоянии от линзы можно поместить лампочку,
чтобы её изображение на экране было четким. Ответ
выразите в сантиметрах.
Решение.
Поскольку 
35
см, имеем :
: 
.
Наименьшему возможному значению 
соответствует
наибольшее значение левой части полученного
равенства, и, соответственно, наибольшее
возможное значение правой части равенства.
Разность 
в правой части равенства
достигает наибольшего значения при наименьшем
значении вычитаемого 
, которое достигается при
наибольшем возможном значении знаменателя.
Поэтому 
=
280, откуда 
см.
По условию лампочка должна находиться на
расстоянии от 35 см до 60 см от линзы. Найденное
значение 
см
удовлетворяет условию.
Ответ: 40 см.
5 группа
Задача 5. При движении ракеты её
видимая для неподвижного наблюдателя длина,
измеряемая в метрах, сокращается по закону
, где 
5 м – длина
покоящейся ракеты, 
км/с – скорость света, а 
скорость ракеты (в км/с
). Какова должна быть минимальная скорость ракеты
, чтобы её наблюдаемая длина стала не более 3 м?
Ответ выразите в км/с.
Решение.
Найдем, при какой скорости длина ракеты
станет равна 3 м. Задача сводится к решению
уравнения 
= 3 (м) при заданном значении длины
покоящейся ракеты 
5 м и известном
значении скорости света 
км/с :
= 3
(км)
= 3
=
= 
= 2,4
240000
км/с.
Если скорость будет превосходить найденную, то длина ракеты будет менее 3 м, поэтому минимальная необходимая скорость будет равна 240000 км/с.
Ответ: 240000 км/с.
6 группа
Задача 6.Находящийся в воде водолазный
колокол, содержащий 
моля воздуха при
давлении 
атмосферы,
медленно опускают на дно водоёма. При этом
происходит изотермическое сжатие воздуха.
Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии
воздуха, определяется выражением 
,
где 
= 5,75 
постоянная, 
300 K 
температура
воздуха, 
(в
атм) 
начальное давление, а 
(в атм) 
конечное давление воздуха в колоколе. До какого
наибольшего давления 
(в атм) можно сжать воздух
в колоколе, если при сжатии воздуха совершается
работа не более , чем 6900 Дж?
Решение.
Задача сводится к решению неравенства 
6900 при заданных
значениях количества воздуха 
моля, его
начального давления 
атмосферы и
температуры 
300 K, а также постоянной 
= 5,75:
6900
6900
5,75
6900 
2
.
Ответ: 6 атмосфер.
После выступления представителей от каждой группы, обсуждается решение задачи, задаются вопросы и учитель подводит итог по решению данного вида задач.
3. Самостоятельная работа (15 минут)
I вариант
Задача 1. При температуре 
рельс имеет длину 
=15 м. При
возрастании температуры происходит тепловое
расширение рельса, и его длина , выраженная в
метрах, меняется по закону 
, где 
коэффициент теплового
расширения , 
температура
(в градусах Цельсия). При какой температуре рельс
удлинится на 4,5 мм? Ответ выразите в градусах
Цельсия.
Задача 2. В боковой стенке высокого
цилиндрического бака у самого дна
закреплен кран. После его открытия вода начинает
вытекать из бака , при этом высота столба воды в
нем, выраженная в метрах, меняется по
закону 
+ 
, где 
время в секундах,
прошедшее с момента открытия крана, 
5 м 
начальная высота столба
воды, 
отношение
площадей поперечных сечений крана и бака, а 
ускорение
свободного падения ( считайте g 
10 м/
). Через сколько секунд после
открытия крана в баке останется четверть
первоначального объёма воды?
II вариант
Задача 1. Для определения эффективной
температуры звезд используют закон
Стефана-Больцмана, согласно которому
мощность излучения нагретого тела 
, измеряемая в ваттах,
прямо пропорциональна площади его поверхности и
четвертой степени температуры :
, где 
5,7
постоянная, площадь 
измеряется в квадратных
метрах, температура 
в градусах Кельвина, а мощность 
в ваттах. Известно, что
некоторая звезда имеет площадь поверхности 
, а излучаемая ею
мощность 
не
менее 2,85
Вт.
Определите наименьшую возможную температуру
этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.
Задача 2. Для получения на экране
увеличенного изображения лампочки в
лаборатории используется собирающая линза с
главным фокусным расстоянием 
см. Расстояние 
от линзы до
лампочки может изменяться в пределах от 50 см до 70
см, а расстояние 
от линзы до экрана 
в пределах от 160 см до 180 см.
Изображение на экране будет четким, если
выполнено соотношение 
Укажите, на каком наименьшем
расстоянии от линзы можно поместить лампочку,
чтобы её изображение на экране было четким. Ответ
выразите в сантиметрах.
III вариант
Задача 1. При движении ракеты её
видимая для неподвижного наблюдателя длина,
измеряемая в метрах, сокращается по закону
, где 
25 м
длина покоящейся ракеты, 
км/с
скорость света, а 
скорость ракеты
(в км/с). Какова должна быть минимальная скорость
ракеты , чтобы её наблюдаемая длина стала не
более 7 м? Ответ выразите в км/с.
Задача 2. Находящийся в воде
водолазный колокол, содержащий 
моля воздуха при
давлении 
атмосферы,
медленно опускают на дно водоёма. При этом
происходит изотермическое сжатие воздуха.
Работа ( в джоулях ), совершаемая водой при сжатии
воздуха, определяется выражением 
, где 
= 9,15 
постоянная, 
300 K 
температура воздуха, 
(в атм) 
начальное давление, а 
(в атм) 
конечное давление
воздуха в колоколе. До какого наибольшего
давления 
(в
атм) можно сжать воздух в колоколе, если при
сжатии воздуха совершается работа не более , чем
13725 Дж?
Тетради учащихся собираются для последующей проверки учителем, и результаты анализируются на следующем уроке.
4. Итог урока
Учитель: Дорогие ребята! Наш семинар
подходит к концу, мы благодарим всех выступавших
перед нами. А я еще раз хочу обратить ваше
внимание на тему нашего семинара «Решение задач
с физическим содержанием. » Таким задачам много
внимания уделяется в экзаменационных заданиях и
решение этих задач вызывает ряд затруднений,
поэтому мы, сегодня уделили внимание именно
заданиям такого вида».
а) Проанализировать вместе с учащимися работу
групп, указать ошибки, недочёты, отметить
положительные моменты.
б) Повторить физические и математические
формулы, используемые в предложенных задачах.
в) Выставить отметки за работу на уроке.
5. Домашнее задание
Учащимся даётся задание найти в интернете в ОТКРЫТОМ БАНКЕ ЗАДАНИЙ другие виды задач с физическим содержанием и на последующих уроках рассмотреть их решение.