Проблема понимания особенно актуальна в наше время, когда выросли поколения учеников с «клиповым мышлением», и под них подстраиваются педагоги, разрабатывая современный методики преподавания: перевёрнутый класс, триз и кластер технологии, сингапурские методики, которые являются методами инновационной педагогики и направлены на оптимизацию восприятия информации.
Действительно, понимание напрямую зависит от восприятия, поэтому современные уроки превращаются в презентацию нового материала при помощи современных компьютерных технологий, а тестовая система проверки легко отличает знает ли ученик тему или нет.
Поэтому общая схема передачи знания на уроке может быть представлена в виде:
Но в этой схеме отсутствует «понимание» учеником, представленного материала. И в психологии, к сожалению, это понятие тоже не разработано. В работах Е.И.Лященко и ее учеников [1] были поставлены вопросы, связанные как с трактовкой данного понятия, так и с применением к восприятию учащимися математических тем и решению задач. В работе О.И.Плакатиной [2] дано следующее определение: понимание – процесс, содержание которого заключается в установлении взаимосвязей в материале, а суть – в раскрытии значения и смысла изучаемого материала. Данное определение довольно общее и не раскрывает этапов понимания сознанием при восприятии материала. Поэтому обратимся к логическим и психологическим началам.
Первый уровень понимания возникает, когда мы от восприятия предмета переходим к его представлению. При этом задавая вопрос, что это (за предмет или существо)? Мы можем перечислить его свойства или отличительные признаки. Второй уровень возникает, когда мы даем определение. Наиболее распространённым является определение через указание рода и видового отличия [3]. Термометр – прибор для измерения температуры. Понимание здесь возникает в результате выражение частного предмета через общее понятие. Число – количественная мера счёта. Это примеры дескриптивных или описательных определений.
Но в логике есть понятия: необходимые и достаточные условия действий, отражаемые в суждении или определении. Так число является необходимым условием арифметических операций или соответствующим им действиям в результате определения величин. А достаточным условием является выполнение тех или иных операций. Следовательно, можно дать ещё одно определение: число – это количественная мера выполнения арифметических действий или операций. Действительно, 8 = 2+6 =11– 3 = 2 х 4 = 24:3 – это различные формы представления одного и того числа.
В этом случае мы переходим на третий уровень понимания – представление понятия через однородные или – однотипные. Такого рода представления закрепляются в конструктивных определениях [4,5]. Рассмотрим примеры конструктивных определений.
В учебнике [6 с. 236] даётся дескриптивное определение процента: «Процентом называют одну сотую часть». И затем предлагаются решения типичных задач с использованием пропорций. Обычно учащиеся затрудняются в составлении правильных пропорций, и возникает проблема понимания пути решения задачи.
Дадим конструктивное определение понятия процент. Процент – это сотая часть отношения части к целому. Обозначим с – процент, ч – часть общего количества, ц – целое или общее количество.
Задача 1. За контрольную работу по математике «5» получили 12 человек из класса, что составляет 30% всех учеников. Сколько всего учеников в классе?
Для решения задачи мы должны сопоставить данные формуле или конструкту. 12 человек соответствует части (ч), 30% – это процент (с). Неизвестно общее количество – ц. Подставляем значение в уравнение – вот здесь возникает процесс понимания:
,
а дальше используются свойства пропорции, идёт процесс преобразования уравнения и решение задачи.
В данном примере логика решения задачи состоит из этапов:
- Установления соответствия исходных данных и конструктивного определения;
- Преобразование уравнения для выражения неизвестной величины;
- Вычисление численного значения общего количества или искомой величины.
На каждом этапе решения возникает своё понимание, но можно сделать следующий вывод: для решения задачи нужно знать порядок действий и понимать функциональную роль и направленность каждого действия. Эта функциональная роль выделена курсивом.
С применением конструктивного определения числа решается следующая задача.
Задача 2. Представить число 8 в виде дроби с числителем 40 (вариант самостоятельной работы). Эта задача на дроби, и нужно использовать конструктивное определение и представить число 8 в виде необычной дроби 8/1. А затем задаём себе вопрос, а как представить вторую дробь? Ведь знаменатель нам неизвестен. неизвестное обозначаем буквой – х и записываем дробь 40/х. Итак, у нас есть два представления одного и того же числа. Понимание возникает, если установить соответствие между ними.
Из конструктивного определения вытекает следствие, величина числа не зависит от представления. Это позволяет переформулировать задачу: мы можем записать равенство двух дробей или пропорцию. Вспоминаем формулу пропорции
Обозначим: а = 8, b = 1.
с = 40, d = х
и получаем дробь и уравнение 
Таким образом, от дробей мы пришли к уравнению. Это уравнение решается учеником методом подбора или, используя, свойство пропорции:
a·d = c·b или 8·х = 40·1 = 40
Вспоминаем таблицу умножения. Какое число при умножении на 8 даёт 40? И находим – величина х = 5. Задача решена.
Сообразительный ученик может без лишней аргументации решить эту задачу, если переформулирует её так: на какое число разделить 40, чтобы получить 8? Но и в этом случае понимание связано с преобразованием понятий в уме и возникновением новой формы представления начального задания. На схеме она обозначена – Представление1, а конструктивное определение – это одна из форм представления математических величин.
Наиболее часто встречаемым типом мышления учащихся средней школы является логический вывод. В логике для вывода используются методы дедукции, когда из общих посылок переходят к частным и – методы полной или неполной индукции, когда знание об отдельных частях распространяется на более широкий круг предметов или явлений [3].
Особенностью школьного курса является наличие более узких и специальных задач, в которых логический вывод нужно найти, и относится он ко всем разделам программы по математике. Мы не претендуем на обобщающие положения для математических задач, но некоторые стороны понимания пути решения постараемся раскрыть.
Задача 3. Найдите объём правильной четырёх угольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро – .
Для начала вспомним, что объём пирамиды – V определяется формулой:
V = 1/3×S×h,
где S – площадь основания, и по условию S = 6×6 = 36, так как в основе лежит квадрат, h – высота пирамиды, которую нужно определить. После этого желательно сделать хороший чертёж.
По определению h – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды, и важным условием пониманием является представление мысленное сечения пирамиды. И если произвести такое сечение, то высота будет входить не только в объём, но и в некоторую плоскость пространства, а значит, её можно попытаться найти из какой-то геометрической фигуры.
Читая условие, замечем, что нам известно ребро, поэтому логично произвести сечение пирамиды по одному или двум ребрам, лучше – противоположным. При этом получается равнобедренный треугольник ABC. и стороны АВ = АС = 
.
Возникает вопрос, чему равна сторона ВС? Заметим, что, когда мы проводим сечение, то ВС является диагональю квадрата основания пирамиды. Следовательно, её можно вычислить по теореме Пифагора ВС = 6×
. Из свойства равнобедренного ∆ АВС мы знаем, что высота h делит противоположную сторону ВС на две равных части, и поэтому её тоже можно найти по теореме Пифагора. h2 = АС2 – DC2 = 67 – 18 = 49, следовательно, h = 7. Подставляя значения в формулу для объёма, получаем V = 1/3×36×7 = 84.
Рассмотрим порядок решения задачи по этапам:
- Этап связан с конструктивным определением объёма пирамиды V;
- Определение и вычисление площади основания,
- Представление фигуры сечения пирамиды,
- Вычисление основания ∆ ВС и стороны DC,
- Вычисление h, объёма V пирамиды.
И сформулируем логический вывод: необходимые для решения параметры мы находим из геометрических фигур, проекции и сечения пирамиды, которые в общем можно назвать ключевыми задачами [7].
После решения ключевых задач необходимо обращать внимание на содержательную и оценочную часть, чтоб ученик выбрал базисные понятия и научился работать с ними и умел их практически применять. В сложной задаче ученик задаёт уму вопросы и находит элементы ключевых задач. В этом и состоит первичное понимание.
Когда ученик правильно ставит вопрос, его высшее «я» начинает искать ответ, и происходит диалог с высшим сознанием. Помощником высшего сознания в классе является учитель, который помогает и ориентирует сознание ученика. Поэтому можно сформулировать: принцип становления сознания: информация на уроке становится сознанием (ученика), когда конструктивное знание рождает умение ставить вопросы и находить базисные понятия и основные связи, которые при помощи ключевых задач рождают умение сделать шаг по направлению к этапу решения, а соответствующее представление формирует понимание и преобразования очередного порядка действий и постепенно приводят к должному результату в ходе активного мышления.
Следующим уровнем 5 уровнем понимания является формулировка идея решения задачи, которая служит самоорганизации сознания.
Задача 4. За день магазин продал 14 пакетиков овсяной каши, что составляет две седьмых всех пакетиков, лежащих в коробке. За второй день продал три пятых остатка. Сколько пакетиков каши осталось в коробке?
1. Анализ условий даёт возможность составить схему основных понятий.
Целое количество – х
Часть, которую продали 14 пак.
2. Главные связи:
х -------- 1
14 ------- 2/7
представлены в виде пропорции
3. Из свойства пропорции вытекает идея:
14 ·1 = х·
, (1)
которую можно выразить в виде формулы: часть = дробь · целое.
4. Количество оставшихся пакетиков равно х – 14, поэтому, определив целое, мы найдём и их количество.
5. Составляем уравнение продажи пакетиков во второй день
Часть, которую продали, определится по уравнению:
(2)
6. Решаем уравнение (1) и находим величину х = 49
Вычисляет количество по уравнению (2) с учётом х –14 = 35 и получаем проданное во второй
день количество = 21 пакетику.
7. Таким образом, в первый день продали 14, во второй 21. Всего за два дня продали 14 + 21 = 35 пакетиков. Остаток составляет 49 – 35 = 14 пакетиков.
Ответ: в коробке осталось 14 пакетиков каши.
А теперь попробуем улучшить самоорганизацию сознания. Логика мысли даёт порядок действий, а идея – самоорганизацию сознания.
1. Итак, в первый день продали 2/7 от общего количества.
Остаток в коробке составляет: 1 – 2/7 = 5/7
2. Во второй день продали 3/5, что означает 5/7·3/5 = 3/7.
3. Всего за два дня продали 2/7 +3/7 = 5/7.
Осталось в коробке 1 – 5/7 = 2/7
4. Следовательно, остаток равен х· 2/7 = 49 ·2/7 = 14 пакетиков каши.
Таким образом, на языке идеи мы рассмотрели, как изменяются части в форме дробей и нашли оставшуюся часть в виде дроби. Что позволяет решить задачу в общей символической форме, и здесь мы приходим к разработке алгоритма решения, который состоит из четырёх операций. В этом и проявляется достоинство идеи, так как она позволяет подняться на более высокий уровень сознания и формулировать алгоритм. Структурной единицей процесса обучения учащихся при решении школьных математических задач является обучение их генерированию и реализации локальных идей решения задачи [8]. Эта задача трудная, но выполнимая при условии творческого подхода учителя к процессу мышления.
Выводы: Внутренняя структура понимания в ходе анализа и логического поиска решения задачи может быть представлена на следующих уровнях:
- выделения основных или базовых понятиях,
- путём дескриптивных и конструктивных определений,
- конструктивной формой представления исходных данных условия задачи,
- организацией порядка действий и ориентацией сознания при помощи вопросов,
- умением «увидеть» идею и найти алгоритм решения.
Литература
- Лященко Е.И. К проблеме понимания в обучении математике // Проблемы и перспективы развития методики обучения математике. Сборник научных работ, представленных на 52-е Герценовские чтения. С.-Петербург, 1999.
- Плакатина О.И. О роли задач в понимании математики. urok.1sept.ru ›
- Горский Д.П. Логика. Учпедгиз, М.: 1963.
- Владимиров В.М. Словарь конструктуаль. Ч.1, Direct-MEDIA, Москва-Берлин, 2016.
- Владимиров В.М. Словарь конструктуаль. Ч.2, Direct-MEDIA, Москва-Берлин, 2016.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 5, МНЕМОЗИНА, М.: 2014.
- Иванова Т.А., Серова Н.А. Выпускная квалификационная работа по теории и методике обучения математике. Н.Новгород, изд-во НГПУ, 2006, 81 с.
- Аксёнов А.А. Теория обучения логическому поиску решения школьных математических задач. Автореферат диссертации, 2010.