О роли задач в понимании математики

Вопрос, вынесенный в заголовок статьи, может на первый взгляд не показаться актуальной проблемой. В то же время, анализ работ, посвященных проблемам обучения, в том числе, поиску путей преодоления формализма в знаниях учащихся, показывает, что вопрос о том, что такое понимание, чаще всего, в них вообще не ставился. Вероятно, ответ казался исследователям очевидным. Как отмечает М.Е.Бершадский [1], даже в учебниках педагогики, адресованных будущим учителям, понимание как педагогическая категория вообще отсутствует. То же можно сказать об этом понятии применительно к теории обучения математике. Лишь в последнее время в работах Е.И.Лященко и ее учеников [3,2, и др.] были поставлены вопросы, связанные как с трактовкой рассматриваемого понятия, так и с раскрытием путей и средств создания условий, благоприятных для достижения учащимися понимания математики.

Интуитивно понятно, что одним из основных средств достижения понимания в математике являются задачи и что практически всякая математическая задача в той или иной мере способствует достижению понимания связанного с ней учебного материала. Однако для того чтобы создать эффективную методику реализации рассматриваемой цели, необходимо уточнить как само понятие “понимание”, так и соответствующие функции задач.

Анализ работ психологов, посвященных указанному аспекту данной проблемы [4 и др.], позволяет выделить важнейшие признаки понятия: понимание – процесс, содержание которого заключается в установлении взаимосвязей в материале, а суть – в раскрытии значения и смысла изучаемого материала. О полноценном понимании можно говорить в том случае, когда возникает системное представление об изучаемом содержании: вычленение его структуры, иерархии его элементов, их причинно-следственных, логических и других видов связей. Заметим, что такое представление у учащихся может возникнуть только в результате их собственной деятельности. Отсюда ясно, что ученик должен владеть умениями устанавливать связи в содержании. Последнее означает, что ему необходима и определенная сумма знаний о видах связей и приемах их выявления.

Технику формирования названных компонентов содержания в данной статье обсуждать не будем, остановимся лишь на ведущем средстве, обеспечивающем такое формирование – математических задачах. Отметим те особенности математических задач, которые как раз и делают их основным средством реализации поставленной цели: создания условий для достижения учащимися понимания школьной математики.

• В процессе самостоятельного решения задач ученик становится субъектом учебной деятельности, без чего невозможно достижение понимания.
• В ходе решения любой математической задачи приходится привлекать знания и способы действий, усвоенные в других разделах. Сам процесс решения задачи, по мнению психологов [5], представляет собой процедуру последовательного переформулирования условий и требований задачи, которые осуществляются до тех пор, пока между ними однозначно не укладывается принцип решения задачи. Тем самым решение задач способствует установлению разнообразных связей: нового материала со “старым”, внутри вновь изучаемого, а также новых связей внутри ранее изученных разделов. Как было указано выше, именно установление многообразных связей является базой эффективного процесса осмысления изученного.
• Важной предпосылкой успешного решения задачи является тщательное изучение ее условия. В этой ситуации ученик, решающий задачу, сталкивается с необходимостью адекватно понять представленную информацию. Если задача представлена на естественном языке, процесс изучения условия способствует формированию умения понимать печатный текст. Если, например, решается геометрическая задача по готовому чертежу, то ученик, “прочитав” чертеж, переводит его на естественный язык. Аналогичные действия “перевода” с одного языка на другой приходится осуществлять, если исходные данные представлены символическим языком. Все это – действия, необходимые для осуществления процесса понимания. Формируясь в ходе решения задач, они затем помогут учащимся и при осмыслении другого содержания.

Особенно отчетливо проявляются названные выше действия при использовании специальных (математических) методов. Вначале ученик, решающий задачу, должен осуществить формализацию – перевод с исходного языка на язык того метода, который будет применяться при решении. По окончании решения необходима интерпретация - обратный перевод с языка использованного метода на язык исходной задачи. Таким образом, математические методы – важное средство обучения действиям формализации и интерпретации, необходимым для процесса понимания.

• В школьном обучении задачи являются основным средством применения изученной теории. А именно такое применение, с одной стороны, способствует достижению понимания осваиваемого материала, с другой, если ученик сумел его осуществить, это умение является критерием достижения понимания. В этом плане особенно важную роль призваны сыграть так называемые задачи с практическим содержанием, поскольку здесь приходится осуществлять трансформацию усвоенных знаний, переносить их на объекты другой природы, что требует более глубокого понимания материала.

Однако потенциально существующие возможности задач в рассматриваемом аспекте совершенно недостаточно реализуются в практической деятельности, просто использование задач в обучении математике, как показывают наблюдения, далеко не всегда приводит к желаемому результату. Поэтому необходимо сформулировать определенные требования к использованию задач, обеспечивающих “понимающее” усвоение. Термин “понимающее” усвоение введен Е.И. Лященко [3] в противовес традиционному “запоминающему” усвоению. Он означает такую направленность процесса обучения, при которой сначала достигается понимание материала учащимися, а затем (в случае необходимости) его запоминание.

В качестве первого требования укажем следующее: при работе с математическими задачами учителю следует обращать внимание школьников на то, какие связи между различными разделами математики были “задействованы” при решении каждой из них, и какие приемы их установления были использованы.

Рассмотрим с целью иллюстрации работу при решении следующей задачи.

Задача 1. В основании прямой треугольной призмы лежит остроугольный треугольник. Изобразить на рисунке угол между диагональю боковой грани призмы и другой боковой гранью.

Решение.

Найдем угол между А₁В и плоскостью (В₁ВС).

1. Пусть А₁Е В₁С₁.
2. Так как ВВ₁ (А₁В₁С₁), то ВВ₁ А₁Е.
3. А₁Е В₁С₁ и А₁Е ВВ₁, значит А₁Е (В₁ВС), тогда ВЕ – ортогональная проекция А₁В на плоскость (В₁ВС), а угол А₁ВЕ – угол между А₁В и плоскостью (В₁ВС).

Рассмотрим некоторые вопросы, которые целесообразно выяснить с учащимися после выполнения требования задачи.

Какие определения понятий и теоремы использовались при решении задачи? Какое одно и то же понятие применялось в п.2 и п.3 решения? Почему в п.2 использовалось определение прямой, перпендикулярной плоскости, а в п.3 – признак перпендикулярности прямой и плоскости? Все ли данные условия были “задействованы”? (Где использовалось условие, что основание призмы – остроугольный треугольник?) Как изменился бы рисунок, если бы в основании призмы лежал прямоугольный треугольник? тупоугольный? Мог ли рисунок остаться прежним при указанном выше изменении условия задачи?

Все представленные в перечне вопросы, так или иначе “работают” на осмысление решения задачи, установление связей с ранее изученным материалом. Однако те, которые выделены жирным шрифтом, требуют, по нашему мнению, выявления более глубоких связей, выяснения смысла рассматриваемых понятий и теорем. То есть понимание достигается не столько при установлении различных связей, сколько при выяснении значимости этих связей.

Второе требование к методике работы с задачами: при решении задач, в особенности при поиске решения, необходимо вычленять используемые приемы переформулирования условия, интерпретации решения, связи между элементами учебного материала, установленные в ходе этой работы, и делать их предметом усвоения учащимися.

Учащихся нужно, прежде всего, познакомить со стандартными приемами переформулирования условий и требований задач: замена терминов определениями; получение следствий из условия; замена требования предложением, достаточным для его выполнения; замена требования его следствием и др. Необходимо показать, что с такими приемами они сталкиваются при решении практически любой задачи. Ввиду ограниченного объема статьи иллюстраций здесь приводить не будем.

После демонстрации учащимся стандартных приемов переформулирования, организуется целенаправленное обучение им. Необходимо также знакомить школьников с нестандартными приемами. Приведем примеры задач, в которых именно удачное переформулирование условия приводит к быстрому и рациональному решению.

Задача 2.

Боковые ребра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны и равны соответственно 3, 4, 4. Найти высоту пирамиды.

Прямое решение приводит к довольно громоздким вычислениям, между тем, несложное переформулирование задачи позволяет решить ее значительно рациональнее. Так как боковые ребра данной пирамиды попарно перпендикулярны, то любое из них перпендикулярно плоскости грани, в которой лежат два других боковых ребра. Любую из боковых граней можно рассмотреть как основание пирамиды, тогда не принадлежащее ей боковое ребро “окажется” высотой пирамиды (рис. 3). В этом случае объем пирамиды найти значительно проще, а далее с помощью метода объемов может быть найдена высота.

Задача 3.

Доказать для х > 0 тождество arcsin x + arccos x = .

Решение.

Исходя из условия задачи и определения арксинуса и арккосинуса 0 < x < 1. Арксинус и арккосинус одного положительного числа можно рассматривать как острые углы одного и того же прямоугольного треугольника, а для них выполнение указанного равенства очевидно.

Третье требование к методике работы с задачами, обеспечивающей понимающее усвоение. Для усиления направленности задач на достижение учащимися понимания целесообразно дополнять их специальными заданиями. В сущности, всякий учитель, стремящийся избежать формализма в знаниях учащихся, по ходу и после решения задачи дает задания и задает учащимся вопросы, проверяющие осознанность их действий.

Приведем лишь некоторые примеры.

Задача 4.

В основании четырехугольной пирамиды лежит ромб со стороной 15 см и острым углом 60° . Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45° , а боковая поверхность равна 4 дм ². Найти объем пирамиды.

Задание. Решить задачу двумя способами, выявить ее особенности.

Особенность этой задачи заключается в том, что она содержит избыточные противоречивые данные. Если решать ее только одним способом, этой особенности можно и не заметить. Выясняется, что при решении одним способом не используется величина угла наклона боковых ребер к плоскости основания, а при решении вторым – боковая поверхность пирамиды. Следовательно, задача содержит избыточные данные. При решении обоими способами получаются разные ответы, что и приводит к выводу о противоречивости данных задачи.

Задача 5.

Решить неравенство: .

Задание. Выяснить, не применялись ли при решении неравенства операции, приводящие к уравнениям, неравносильным исходному. Если нет, ответ обосновать. Если такие операции были, выяснить, как следует поступать далее.

При решении уравнений и неравенств учащиеся нередко действуют по образцу, по данному им предписанию, далеко не всегда задумываясь о правомерности выполняемых преобразований. Здесь очень велика опасность формализма, и задания, подобные приведенному, помогают ее преодолеть.

Дополнительные задания к задачам формируют действия по анализу текста и процесса решения задачи, установлению взаимозависимостей между ее данными, то есть в ходе их решения совершенствуются умения, связанные с семантическим анализом задач. Все это способствует достижению более глубокого понимания математики.

Приведем далее некоторые примеры заданий к задачам, способствующих усилению направленности на достижение понимания:

1) Перечислить все использованные при решении задачи “опорные” знания.
2) Выяснить, все ли данные задачи были использованы при решении.
3) Установить, при каких условиях задача имеет решение и сколько.
4) Проверить, все ли возможные при решении задачи ситуации рассмотрены.
5) Исследовать решение задачи, выяснив степень общности этого решения.
6) Выяснить, правильно ли решена задача. (Найти ошибку в решении задачи).

Задания, подобные приведенным, могут даваться независимо от изучаемого раздела. Кроме того, в каждом разделе достаточно много “тонких” мест, понимание которых необходимо выявить, что можно сделать с помощью дополнительных заданий и вопросов.

Четвертое требование. Осуществляя отбор задач для реализации рассматриваемой цели, предпочтение отдавать таким, особенности которых позволяют ярко выделить используемые приемы деятельности по достижению “понимающего” усвоения. Укажем некоторые классы таких задач.

• Задачи, “требующие” перевода с одного языка на другой.

Говоря о переводе, мы имеем в виду переход от нематематического языка к языку математики; от математического языка, содержащего компоненты естественного языка, к графическому, символическому и др. языкам; перевод с помощью специальных методов и т.п. Действия “кодирования”, “перекодирования” информации – важные средства раскрытия ее смысла, потому-то необходимо специально обучать этим действиям с помощью адекватно подобранных задач. Приведем примеры таких задач.

Задача 6. На промежутке [a, b] задан график функции (рис. 4). Выяснить, в каких из отмеченных на рисунке точек (a, b, c, d, e, h, g, k): а) функция не имеет производной; б) имеет экстремумы; в) не определена.

Для решения этой задачи ученику необходимо перевести требование задачи с аналитического языка на графический (функция не имеет производной в точке, следовательно, в этой точке нельзя провести касательную к графику или касательная перпендикулярна оси абсцисс и т.д.), а затем необходим перевод условия задачи с графического языка на аналитический.

Задача 7.

Какие знаки имеют координаты точки единичной окружности (точка получена поворотом точки (1,0) на угол против часовой стрелки), если известно:

Для решения требуется установить (актуализировать) связи между синусом, косинусом угла и координатами точек единичной окружности, по ходу решения неоднократно осуществлять переход от одного языка к другому. Кроме того, условие задачи требует привлечения знаний о свойствах тригонометрических функций. Таким образом, налицо необходимость выполнения тех действий, которые лежат в основе процесса понимания.

К этому же классу могут быть отнесены так называемые задачи с практической направленностью. Они обычно формулируются на естественном языке с использованием некоторых специальных понятий из какой-то области производственной деятельности людей. Чаще всего это бывают не собственно производственные задачи, а задания, адаптированные к условиям учебного процесса, тем не менее, они требуют интерпретации, перевода на математический язык и обратно, в чем и заключается их ценность. Приведем примеры таких задач из раздела “Аксиомы стереометрии и следствия из них”.

Задача 8.

Для придания устойчивой плоской формы щиту, изготовленному из фанеры, достаточно прибить лист к двум планкам, сбитым крест-накрест. Объяснить этот прием с точки зрения геометрии.

Задача 9.

Почему, проходя через дверь, мы придерживаем ее рукой? Объяснить с точки зрения геометрии.

• Задачи с вариативными условиями.

Здесь имеются в виду задачи, в которых возможны различные ситуации относительно данных или искомых компонентов задачи, требуется рассмотрение этих ситуаций и, нередко, в разных ситуациях получаются разные ответы.

Задача 10.

Расстояние между двумя населенными пунктами 150 км. Из этих пунктов одновременно навстречу друг другу выехали велосипедист со скоростью 15 км/ч и мотоциклист, скорость которого 60 км/ч. Через какой промежуток времени расстояние между ними будет 30 км?

Условие задачи может быть истолковано в двух вариантах: а) велосипедист и мотоциклист движутся навстречу друг другу, и до встречи им осталось 30 км; б) они уже встретились, продолжают каждый движение в том же направлении и “разошлись” после встречи на 30 км.

Рассмотрение различных возможных ситуаций при решении задачи важно как с точки зрения формирования культуры решения задач, так и с позиции установления многообразных связей внутри материала, то есть, с точки зрения создания благоприятных условий для достижения понимания.

• Задачи с “парадоксальными” данными или результатами.

Здесь имеются в виду задачи, в ходе решения которых появляются данные, противоречащие, на первый взгляд, условию или здравому смыслу. Такой вывод побуждает решающего к углубленному анализу задачи. Задачи этого класса, так же, как и предыдущего, формируют гибкость, критичность, осознанность мышления и способствуют более высокому уровню понимания.

Задача 11.

Членам одной семьи сейчас вместе 73 года. Семья состоит из мужа, жены, дочери и сына. Муж старше жены на 3 года, дочь старше сына на 2 года. Четыре года назад членам семьи было вместе 58 лет. Сколько лет каждому члену семьи?

Решение.

Получая выводы из условия, можно заметить некоторое несоответствие в данных: четыре года назад членам семьи вместе должно было быть на 16 лет меньше, чем сейчас, то есть, 57 лет, а не 58. Причина, как можно догадаться, анализируя ситуацию, в том, что четыре года назад младшего члена семьи (сына) еще не было на свете. Тогда из дополнительного анализа получаем, что сыну в настоящее время 3 года, дочери 5 лет, матери 31, отцу 34.

• “Провокационные” задачи.

Таким термином обозначим задачи, в которых автором преднамеренно допущена ошибка. При попытке решить такие задачи ученик может столкнуться с различными ситуациями: задача не имеет решения, и необходимо разобраться в причине, по которой не удается найти решение; формально решение задачи может быть найдено, но анализ условия показывает, что описанные в задаче объекты не существуют. Приведем примеры таких задач [6].

Задача 12.

Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна одной из двух других его высот. Определить углы треугольника.

Задача 13.

Диагональ ромба в два раза больше его стороны. Найдите углы ромба.

При решении этих задач ученик обнаружит, что ситуации, заданные в них, невозможны, задачи некорректны.

• Задачи с недостающими или избыточными данными.

Условия задач указанного класса “вынуждают” учащихся к дополнительному анализу, выявлению связей, базы данных, необходимых и достаточных для того, чтобы задача стала вполне определенной, и, следовательно, формируют у школьников умения, необходимые для осуществления процесса понимания материала.

Примерами таких задач могут быть рассмотренные ранее задачи № 4 и № 10.

Отметим, что задачи всех приведенных выше классов неоднократно описаны в методической и учебной литературе. Мы рассмотрели их с позиции рассматриваемой в статье проблемы: создания условий для достижения учащимися понимания учебного материала по математике.

Все приведенные выше классы задач имеют своей ведущей функцией обучение анализу условий задач, установлению связей между данными и искомыми. Потенциально заложенные в них возможности для создания проблемных ситуаций создают баз для организации работы по достижению учащимися глубокого понимания материала. Задача учителя заключается, во-первых, в тщательном анализе функций задач, выявлении имеющихся возможностей для реализации данной цели, во-вторых, в целенаправленном отборе задач, предназначенных для преднамеренного обучения действиям, являющимся компонентами процессов раскрытия смысла и понимания изучаемого материала.

  ЛИТЕРАТУРА

1. Бершадский М.Е. Понимание как педагогическая категория. – М., 2004.
2. Крылов В.В. Решение задач как процесс совершенствования понимания математики // Проблемы теории и практики обучения математике. Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию “55 Герценовские чтения”. С.-Петербург, 2002.
3. Лященко Е.И. К проблеме понимания в обучении математике // Проблемы и перспективы развития методики обучения математике. Сборник научных работ, представленных на 52-е Герценовские чтения. С.-Петербург, 1999.
4. Мир Психологии - http://psychology.net.ru.
5. Славская К.А. К вопросу о роли переформулирования в решении задач. // Доклады АПН РСФСР, 1960, № 1.
6. Филипповский Г. Обманные задачи // Математика, 1997, № 46.