Таблицы истинности. 8-й класс

Цели урока: SMART цель сравнить способы заполнения таблиц истинности, выявить закономерности их заполнения.

Обучающие:

• Повторить основные понятия логики;
• Ввести понятие “таблица истинности”;
• Изучить последовательность действий построения таблиц истинности;
• показать  нахождение значения логических выражений посредством построения таблиц истинности;
• Ввести понятие равносильности логических выражений.

Развивающие:

• Развивать логическое мышление;
• Развивать внимание;
• Развивать память;
• Развивать речь учащихся.

Воспитательные:

• Воспитывать умение слушать учителя и одноклассников;
• Воспитывать дисциплинированность;
• Формировать интеллектуальную и эмоциональную активность учащихся;
• Воспитывать чувства ответственности за результаты своего труда.

Задачи урока:

• вспомнить принцип работы основных логических элементов;
• запомнить порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении;
• обратить внимание на закономерность внесения исходных данных в таблицу, сравнить их с числами разных систем счисления;
• найти с помощью таблицы истинности значения двух логических функций.

Вид урока: комбинированный.

Тип урока: проверка знаний и изучение нового материала.

Методы организации учебной деятельности: фронтальная, групповая.

Система оценивания: проверка в парах.

Оборудование урока: Презентация урока, плакаты «Таблица истинности функции логического сложения», «Таблица истинности функции логического умножения», «Таблица истинности функции логического отрицания», «Оценочный лист», карточки с заданиями, мультимедийный проектор.

Приложение 1

Место проведения урока: компьютерный класс.

Участники: ученики 8 Б класса.

Ход урока

 I. Организационный момент (2 минуты)

СЛ1. На экране проецируется первый слайд презентации – надпись «Таблицы истинности».

- Здравствуйте, ребята. Мы продолжаем изучать основы логики и тема нашего сегодняшнего урока «Таблицы истинности». Я расскажу вам как можно определить истинность сложных высказываний посредством составления таблиц истинности.

СЛ2. Цель урока: сравнить способы заполнения таблиц истинности, выявить закономерности их заполнения.

СЛ3. Ребята, какие задачи нам надо решить чтобы достигнуть этой цели?

1. Повторить что называется высказыванием.
2. Что называется логической переменной.
3. Познакомиться с определением таблицы истинности.
4. Рассмотреть правила составления таблиц истинности.
5. Узнать приоритеты логических операций (сравнить их с порядком выполнения математических операций).
6. Внимательно разобрать 2 примера заполнения таблиц истинности.

СЛ4. Эпиграфом к уроку являются слова Б.Паскаля: “ВЕЛИЧИЕ ЧЕЛОВЕКА – В ЕГО СПОСОБНОСТИ МЫСЛИТЬ”.
 
Сегодня на уроке мы с вами должны мыслить и рассуждать вместе.

II. Повторение

СЛ5.

1. Что такое логика?

Логика - это наука о формах и способах  мышления, это учение о способах рассуждений и доказательств.

2. Что такое алгебра логики?

Алгебра логики это наука об общих операциях аналогичных сложению и умножению, которые выполняются не только над числами, но и над другими математическими объектами, в том числе и над высказываниями.

3. Что называется высказыванием в алгебре логики?

Высказывание - это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается.

Можно сказать истинно оно или ложно.

Истинным будет высказывание в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей.

Ложным высказывание будет в том случае, когда оно противоречит реальной действительности.

4. Что называется логической переменной?

Логическая переменная - простое высказывание, содержащее только одну мысль.

Её символически обозначают латинскими буквами А, В, С.

Значения логической переменной могут быть только константы истина и ложь (1 и 0).

5. Что называют логической функцией?

Логическая функция это составное высказывание, которое содержит несколько простых мыслей, соединённых между собой с помощью логических операций.
 
6. Сколько основных логических операций существует? (три)

Давайте вспомним принцип их работы.

III. Самостоятельная работа

У вас на столах лежат листочки с самостоятельной работой.

СЛ6.

1. Подпишите листочек.
2. Заполните пропуски в таблицах истинности.
3. Проверить работу друг друга и поставить оценку.

Что было сложным в этой работе? Какие у вас возникли затруднения?

IV. Проверка самостоятельной работы

СЛ7.

1. Какой логической функции соответствует данная таблица истинности?

A	B	A?B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

1. Конъюнкция
2. Дизъюнкция
3. Отрицание

Как называется эта функция по другому?

СЛ8.

2. Какой логической функции соответствует данная таблица истинности?

A	B	A?B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

1. Конъюнкция
2. Дизъюнкция
3. Отрицание

Как называется эта функция по другому?

СЛ9.

3. Какой логической функции соответствует данная таблица истинности?

0	1
1	0

1. Конъюнкция
2. Дизъюнкция
3. Отрицание

Как называется эта функция по другому?

III. Объяснение нового материала

В математике функция принимает множество значений. А в логике только два значения 0 или 1.

Знаете ли вы кто является основателем двоичной системы счисления?

Правильно, Готфрид Вильгельм Лейбниц – немецкий ученый (философ, математик, физик, языковед)

СЛ 10. В своей бинарной арифметике Лейбниц видел прообраз творения: «Двоичная математика-прообраз творения.

1 представляет собой божественное начало, а 0 - небытие и высшее существо создаёт всё сущее из небытия точно таким же образом как 0 и 1 в двоичной системе выражают все числа.»

Итак: Логическая функция - это функция, в которой переменные принимают только два значения: логическая единица или логический ноль.

При знакомстве с принципом работы основных логических операций мы видели таблицы, которые отражали принцип работы этих элементов, мы называли их таблицами истинности. Какие таблицы можно называть таблицами истинности? Сейчас мы запишем определение в тетрадь.

СЛ11. Таблицу, показывающую, какие значения принимает сложное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний называют таблицей истинности сложных высказываний.

Запишем определение в тетрадь.

СЛ12. При построении таблиц истинности есть определенная последовательность действий.

Перед нами Алгоритм построения таблицы истинности.

Я распечатала его на листочках, чтобы вы вклеили их  в тетрадь Итак первый шаг.

1. Подсчитать количество переменных n в формуле 2³.

2. Определить количество строк в таблице истинности m = 2ⁿ.

3. Подсчитать количество логических операций в формуле.

4. Установить последовательность выполнения логических операций с учётом скобок и приоритетов.

5. Необходимо определить количество столбцов в таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций.

6. Выписать наборы входных переменных с учётом того, что они представляют собой натуральный ряд n разрядных двоичных чисел от 0 до 2ⁿ–1.

7. Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.

СЛ 13. Рассмотрим пример.

Построить таблицу истинности для A ˄ (B ˅ В ˄ С)
 
Записали в тетрадь. Для построения таблицы истинности.

1  Определить количество строк в таблице.

Как мы это делаем?

Считаем количество переменных. В нашем случае логическая функция содержит 3 переменные.

Какие? А и В и C.

Значит сколько строк будет в таблице?

Количество строк в таблице истинности должно быть равно 2³ = 8.

Верно. Что делаем дальше?

2. Определяем количество столбцов = количеству логических переменных плюс количество логических операций.

3. Сколько будет в нашем случае операций?

В нашем случае количество переменных равно трём, а количество логических операции – пяти, то есть количество столбцов таблицы истинности равно 8.

Хорошо. Дальше?

Строим таблицу 8 столбцов, 9 строк (учитываем заголовок таблицы).

СЛ 14. Порядок операций определяется по аналогии с математикой.

Запишите в тетрадь.

(Мы сначала возводим в степень, затем выполняем операции в скобках, потом делаем умножение деление слева направо как видим их и в последнюю очередь сложение, умножение.

• отрицание
• конъюнкция
• дизъюнкция
• импликация
• эквивалентность

Какую операцию будем выполнять первой? Только учитывайте скобки и приоритеты, сначала необходимо выполнить логическое отрицание переменной В, а затем переменной С.

Сначала необходимо выполнить операции в скобках: найдём значение логического умножения, а  затем логическое сложение.

В последнюю очередь выполним операцию конъюнкции

СЛ 15. Расставим порядок операций в нашем выражении.

Сл 16. Заполним заголовки столбцов нашей таблицы.

Построить таблицу истинности, описывающую работу логических элементов, несложно при небольшом количестве входных переменных. Если же число переменных больше трех, то таблица получается слишком большой. Так при наличии 4 переменных, количество наборов в таблице будет равно 16, а уже при 6 переменных - 64! А еще нужно учитывать скобки, приоритет и количество операций! 

СЛ 17. Наборы входных переменных можно заполнять по следующему правилу.

а) определить количество наборов входных переменных(если 3 переменных значит 3 набора 4 переменные 4 набора);

б) разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть колонки 0, а нижнюю —1;

в) разделить колонку значений  второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами 0 или 1, начиная с группы 0;

г) продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами 0 или 1 до тех пор, пока группы 0 и 1 не будут состоять из одного символа.

СЛ18. Заполним наборы входных переменных.

Разделим 1 колонку значений первой переменной пополам и заполним верхнюю часть колонки 0, а нижнюю 1.

СЛ19. Вторую колонку делим на 4 части и заполняем каждую по очереди единицами и нулями.

СЛ20. Третью колонку делим на 8 частей и в каждой клетке пишем по очереди 1 и 0.

Мы получили наборы значений исходных логических переменных с учётом того, что они представляют собой натуральный ряд 3-разрядных двоичных чисел от 0 до 7.

(Мы недавно изучали системы счисления, и работали с 8-ричной ПСС. Вы знаете, что каждое число 8-ричной ПСС можно представить триадой двоичных эквивалентов) вот перед вами числа от 1 до 7 представленные в восьмеричной системе счисления.

Заполняем таблицу истинности по столбцам. Начинаем:

СЛ21. Выполняем отрицание переменной В.

СЛ22. Выполняем отрицание переменной С.

СЛ23. Выполняем конъюнкцию двух отрицаний.

СЛ24. Выполним логическое сложение конъюнкции и переменной В.

Чтобы сконцентрировать своё внимание на нужных столбцах давайте пометим их снежинкой Обратите внимание другим цветом я выделила те значения в результирующем столбце которые встречаются реже.

СЛ25. А теперь выполняем последнюю операцию конъюнкцию (нужные столбцы я пометила восклицательным знаком.

В последнем столбце и находится значение нашего выражения.

Мы познакомились с первым способом заполнения таблиц истинности.

СЛ26. Если количество переменных небольшое можно использовать другой способ заполнения таблицы истинности.

Пример. Составьте таблицу истинности для выражения: (X1&X2) ˅ ( X1˅X2).

Идея заключается в том, что данную формулу нужно растянуть по горизонтали на страницу тетради так, чтобы под каждой переменной и каждой операцией осталось место для столбца значений.

Под формулой( подпишем столбцы возможных значений под каждой из переменных Х1 и Х2 последовательно (по приоритету операций) выпишем столбцы значений операций.

(Х1	&	X2)	˅	(	X1	˅	X2)
0	0	0	1	1	0	1	0
0	0	1	1	1	0	1
1	0	0	0	0	1	0	0
1	1	1	1	0	1	1	1

СЛ26.  Заполняем значения переменных.

СЛ27. Выполняем первую операцию  конъюнкции в скобочках.

СЛ27. Выполняем отрицание переменной Х1.

СЛ28. Выполняем операцию дизъюнкции в скобках.

СЛ29. Выполняем последнюю операцию дизъюнкции, которая стоит между скобками.

Ребята, какой способ вам понравился больше

Какой легче выполнять?

СЛ30.

IV. Домашнее задание

1. Построить таблицы истинности для следующих выражений:

а) А ˅ (В ˅ В)

б) А ˄ (В ˄ В ˅ С)

*в) А ˅(В ˅ В) ˄ А ˄ (В → С)

Кто желает получить дополнительную оценку делает задание со снежинкой

СЛ31.

V. Итог урока

- Вы познакомились с новым способом решения логических задач – с помощью таблиц истинности.

Ребята, выполнили мы сегодня на уроке поставленные нами задачи?

Достигли цель урока?

Рефлексия

• сегодня я узнал…
• было интересно…
• было трудно…
• я выполнял задания…
• я понял, что…
• теперь я могу…
• я почувствовал, что…
• я приобрел…
• я научился…
• у меня получилось

Урок окончен, спасибо за работу.