В предыдущих очерках, [1], [2, [3], [4], [5], [6], [7]и [8] рассказывалось о реализуемой в ГБОУ «школа Интеллектуал» авторской программе углублённого интенсивного обучения математике одарённых детей, начиная с первого класса. В этой статье мы продолжим рассказ о ходе этого эксперимента, описывая процесс обучения геометрии 7-классников. Здесь приводится целиком, без изъятий весь конспект, посвящённый основаниям геометрии – геометрии, основанной на аксиомах первых четырёх групп евклидовой аксиоматики, систематизированной Д.Гильбертом [], то есть, без знаменитой «аксиомы о параллельных».
Добавление этой аксиомы вводит нас в евклидову геометрию (планиметрию, если мы говорим о плоскости, стереометрии, если о пространстве). Правда, есть ещё и группа аксиом, отвечающая за непрерывность евклидовых прямых, плоскостей и пространства (выражающих то, что среда вокруг нас сплошная, а не состоит из отдельных точек). Поэтому всё это годится для всех геометрий (в том числе и для неевклидовых, о которых мы когда-нибудь тоже поговорим) и поэтому относится к так называемой абсолютной геометрии.
Как и прежде, подсказки и указания даются к некоторым упражнениям мелким, жирным шрифтом и по-английски, чтобы удержать от соблазна сразу же ими воспользоваться, не попытавшись вначале решить задачу самостоятельно.
Основания Геометрии
В основе любых доказательств лежат некоторые «основополагающие положения», принимаемые без доказательств. В математике они называются аксиомами.
К системе аксиом, из которых потом, по правилам математической логики, выводятся новые утверждения, называемые теоремами, предъявляются следующие требования:
- Непротиворечивость. Недопустимо, чтобы по правилам логики из одной и той же системы аксиом могло быть выведено утверждение А и его отрицание
А. - Независимость. Никакая из аксиом системы не должна выводиться из остальных аксиом (иначе она бы называлась теоремой, а не аксиомой).
- Полнота. Хорошо бы, чтобы все утверждения теории в рамках данной системы аксиом выводились бы или опровергались (т.е., мы могли бы доказывать либо утверждение А, либо его отрицание А). Последнее пожелание, однако, оказывается, далеко не всегда возможным выполнить, что показал (в отношении арифметики) немецкий математик Курт Гёдель перед второй мировой войной.
С геометрией, к изучению которой мы сейчас приступаем, дело как раз в этом отношении обстоит лучше, хотя система аксиом здесь намного сложнее, чем в арифметике натуральных чисел.
Помимо аксиом и теорем имеются ещё определяемые и неопределяемые понятия.
Как явствует из самих их названий, первым даются определения, в которых используются вторые (и уже ранее определённые понятия), а последним определения не даются, они считаются первоначальными, исходными.
В качестве первых неопределяемых понятий выступят точки, обозначаемые заглавными латинскими буквами, прямые, обозначаемые строчными латинскими буквами и плоскости, обозначаемые строчными греческими буквами.
Под любыми парами, тройками и т.д. точек, прямых, плоскостей понимаются всегда различные точки, прямые, плоскости.
Итак, следуя классическому труду [1], разобьём все аксиомы на группы по некоторым объединяющим их признакам.
Итак, первая группа аксиом – аксиомы инцидентность*.
- пары точек А и В $! прямая инцидентная этим двум точкам.
- На любой прямой существуют, по крайней мере, две точки (инцидентные ей).
- Существуют три точки, не инцидентные (не принадлежащие) одной прямой.
тройки точек А, В и С не инцидентных одной прямой, 
! плоскость α, инцидентная каждой из этих точек.- Если две точки А и В прямой а инцидентны плоскости α, то и все точки прямой а инцидентны плоскости α.
- Если две плоскости имеют одну общую точку, то они имеют, по крайней мере, ещё одну общую точку.
- Существуют четыре точки, не инцидентные (не принадлежащие) одной плоскости.
_______________
* Синонимами являются выражения: «прямая а инцидентна точке А», «точка А инцидентна прямой а», «точка А лежит на прямой а», «прямая а проходит через точку А» и то же самое относится к плоскости.
Упражнение 1. Выведите из этих аксиом (докажите) следующие теоремы:
- Две прямые, инцидентные одной плоскости не могут иметь более одной общей точки (т.е. могут не иметь ни одной или одну);
- Две плоскости могут либо не иметь общих точек, либо иметь общую прямую и тогда никаких других общих точек, кроме точек этой прямой, они иметь не могут;
- Плоскость и не инцидентная ей прямая либо не имеют общих точек, либо имеют одну общую точку;
- прямой и не инцидентной ей точки ! инцидентная им плоскость;
- пары прямых, имеющих общую точку, ! инцидентная им плоскость.
Вторая группа аксиом – аксиомы порядка.
Неопределяемым, первичным понятием выступает здесь слово «между».
2.1. Пусть точки А, В и С инцидентны одной прямой. Тогда, если В лежит между А и С, то В также лежит между С и А (отношение находиться «между» симметрично по отношению к А и С)
2.2. точек А и С на прямой АС точка В такая, что С лежит между А и В.
2.3. тройки точек А, В и С, инцидентных одной прямой, не более одной из них лежит между двумя другими**.
_______________
** Сравните с окружностью!
А вот, наконец, и первые определяемые понятия.
Def. Пару точек (А,В) назовём отрезком АВ. Отрезок у нас пока что неориентированный, т.е пара (В,А) определяет тот же отрезок, ВА=АВ. Назовём точками отрезка АВ точки, лежащие между А и В. Другое их название – точки, расположенные внутри отрезка АВ. Сами точки А и В называются концами отрезка АВ. Остальные точки прямой АВ называются лежащими вне отрезка АВ.
Аксиоматика геометрии складывалась медленно и трудно, на протяжении многих веков, начиная с «Начал» Евклида и даже задолго до него, в работах египтян, опыт которых унаследовали греки. По существу, к современному состоянию аксиоматика геометрии трудами многих математиков подошла лишь к концу XIX века.
Оказалось, что при внимательном исследовании доказательств геометрических теорем на плоскости явно или неявно, помимо всех вышеназванных, используются утверждения, эквивалентные следующей аксиоме, сформулированной в таком виде в 1882 году Пашем (Pasch, Vorlesungen über neure Geometrie).
О текущем состоянии дел с преподаванием математики по авторской методике в Москве и других городах можно ознакомиться на сайте www.abramson.xyz
Литература
[1] Абрамсон Я.И. Обучение одаренных детей математике. 1-й класс (2010 / 2011 уч/ год) https://urok.1sept.ru/articles/602405/
[2] Абрамсон Я.И. Обучение одаренных детей математике. 2-й класс (2011 / 2012 уч/ год) https://urok.1sept.ru/articles/619698/
[3] Абрамсон Я.И. Обучение одаренных детей математике. 3-й класс (2012/2013 уч/ год) https://urok.1sept.ru/articles/631585/
[4] Абрамсон Я.И. Обучение одаренных детей математике. 4-й класс (2013/2014 уч/ год) https://urok.1sept.ru/articles/644130/
[5] Абрамсон Я.И. Обучение одарённых детей математике. 5-й класс (2014/2015 год) https://urok.1sept.ru/articles/654861/
[6] Абрамсон Я.И. Обучение одарённых детей математике. 5-й класс 2-е полугодие (2015/2016 год) https://urok.1sept.ru/articles/660350/
[7] Абрамсон Я.И. Обучение одаренных детей математике. 5-й класс (Конспекты №16, 17) https://urok.1sept.ru/articles/663544/ (2016/2017 год)
[8] Абрамсон Я.И. Обучение одаренных детей математике. 6-й класс https://urok.1sept.ru/статьи/668534/ (2016/2017 год)
[9] Абрамсон Я.И. Авторская программа по математике для высокомотивированных школьников. Материалы открытой школы-семинара для учителей математики в сборнике «Учим математике-4», М, 2014.
[10] Абрамсон Я.И Экспериментальное обучение математике в начальной школе. Вопросы психологии, 2015, №1.
[11] Д. Гильберт. «Основания Геометрии» ОГИ, 1948.