I введение

Тема “Решение и исследование уравнений с параметрами” присутствует в материалах Единого государственного экзамена. Не все выпускники справляются с задачей, которую в школе “не проходили”. Данная тема является одной из самых трудных в курсе алгебры. Задачи с параметрами рассматривают в школьном курсе пока крайне редко, бессистемно, поэтому при решении таких задач у учеников обычно возникают затруднения. Совершенно очевидно, что к “встрече” с такими задачами надо специально готовиться.

Данные задачи играют значительную роль в формировании логического мышления и математической культуры школьников, позволяют проверить первоначальные навыки исследовательской деятельности. Учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.

Известны различные типы уравнений и неравенств с параметрами: дробно-рациональные, иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические, степенные. Чаще всего они сводятся к следующим четырём основным видам:

1. линейные уравнения с параметром,
2. линейные неравенства с параметром,
3. квадратичные уравнения с параметром,
4. квадратичные неравенства с параметром.

Рассмотрим уравнение

Пусть, тогда уравнение примет вид

Решим его:

Пусть , тогда уравнение примет вид , решением которого является любое действительное значение .

Пусть , тогда уравнение примет вид . Решив его, получим, что . В этом случае уравнение не имеет решения.

Следовательно, сам факт существования решения зависит от значения параметра .

Определение. Исследовать и решить уравнение с параметром это значит :

- найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение;

- найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, т.е. для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

II  Простейшие линейные уравнения с параметром

1.

Ответ:

при корней нет,

при

2.

Ответ:

при корней нет,

при

3.

Ответ:

при корней нет,

при .

4.

Ответ:

при корней нет,

при .

5.

Ответ:

при

при

6.

Ответ:

при

при

7.

Ответ:

при

при

8.

Ответ:

при

при

9.

Ответ:

если , то корней нет

если ,

если

10.

1)

2.

3.

Ответ:

при , корней нет

если ,

при

Таким образом, при решении линейных уравнений с параметром сначала его нужно привести к виду, удобному для исследования (стандартный канонический вид линейного уравнения с параметром), выполнив ряд преобразований, потом следует определить контрольные значения параметра, т.е. те значения, при которых коэффициент при обращается в ноль. Эти значения разбивают множество значений параметра на несколько множеств, которые необходимо исследовать.

III Линейные уравнения с параметром, имеющие стандартный канонический вид

– стандартный канонический вид линейного уравнения с параметром

Примеры:

1)

Ответ:

если

если

2)

Ответ:

при

при

при

3)

Ответ:

при

при

при

IV. Уравнения, приводимые к линейным уравнениям с параметром

Схема решения уравнений, приводимых к линейным :

1. Указать и исключить все значения параметра и переменной, при которых уравнение теряет смысл
2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю
3. Привести уравнение-следствие к виду и решить его
4. Исключить значения параметра, когда найденный корень принимает значения, при которых уравнение теряет смысл
5. Записать ответ

1.Примеры решений уравнений, содержащих параметр в знаменателе:

1)

Умножим уравнение на :

Ответ:

при

при

при

2)

Умножим уравнение на :

Ответ:

при

при

при

2. Примеры решений уравнений, содержащих и параметр и переменную в знаменателе

Умножим уравнение на :

Исключим те a, при которых :

Ответ:

при

при

при