Атлас графиков квадратичных функций

Мой девиз:

“Дойти до самого малого”.

Единство нужно каждому и во всём. Постоянный диалог с учениками класса важен для развития их духа, укрепления нравственных начал личности, их взаимодействия с классом. Апостол Павел говорил: “Моисей верой оставил Египет и, не убоявшись гнева Царского, был твёрд, и взирал на невидимого как на видимого”. Вот и я, как учитель, стою на этой стези.

Центральное место в алгебре занимает изучение квадратичной функции. Планируемый результат: понимать и использовать функциональные понятия и язык. Ох уж эти проблемы! Просто “Гордиев узел”, который никак не развязать. Проблема, так проблема! Всё смешалось в кучу: функции и графики, аргумент и абсцисса, значение функции и ордината, область определения и область значений, обозначения. Чистейший винегрет в мозгах некоторых учеников! Всё это и заставило меня попытаться сделать “ Атлас графиков квадратичных функций”.

Обучение ведётся по схеме: 1) изучение теории; 2) грамотное применение теории при решении задач. Важно смотреть и видеть, замечать особенности, делать выводы в результате сравнения. Эти умения необходимо постоянно развивать и тренировать. При этом необходимо следить, кто отстаёт и кто впереди, иначе будет потеряна связь времён и поколений.

“Атлас парабол” наглядно представляет основы теоретических знаний, служит справочным материалом. Он позволит более быстрому и осознанному усвоению теории. Уместны слова Лапласа “Учи математику, а понимание придёт само”.

Первая и главная задача учителя – это дать ученику основы знаний. Устная работа в процессе изучения теории мощный фактор. При разговоре можно задать вопрос и сразу получить ответ, при минимальном затрате времени. Применение же теории ещё зависит от способностей. Решение задач по готовым чертежам значительно ускоряют процесс обучения, делая его более интенсивным, насыщенным, интересным. Владение материалом способствует быстрому и правильному ходу мысли и приводит к верному решению.

Атлас – это наглядность, концентрация внимания на основные моменты, для запоминания изучаемого материала и целенаправленного многократного повторения. Распознавание видов парабол, положение их на плоскости формирует умение математически грамотно и ясно соотносить график с формулой, задающей функцию.

Проверочные работы откроют реальные знания учащихся, выявят пробелы и подскажут учителю дальнейшие его действия, с учётом полученных результатов.

Тема: "Графики парабол"

Учебно-воспитательные задачи:

• Приобретение знаний по образовательному применению графического изображения квадратичной функции.
• Развитие совершенства умения строить графики парабол.
• Воспитательные задачи: пробуждать интерес, способствовать расширению кругозора.

Технология

1. Мотивация

Прежде, чем приступать к изучению темы, нужно заинтересовать учащихся, привести примеры из жизни. Параболическую форму имеют в сечении все отражатели света в фонариках, прожекторах, фарах автомобилей, а также спутниковые антенны “тарелки”. В трех слайдах (№4 - №6) содержатся рисунки движения тел по параболе. В слайде №7 рассмотрены линии пересечения конуса плоскостью: круг, эллипс, парабола и гипербола. Кроме презентации я привожу три “плагиата”, взятых мною из интернета, которые могут быть интересны и полезны ученикам.

Хочу поведать об экскурсионном объекте: “ Перевал Нижняя Парабола” (1750 м). Район хребта Ермак (западный Саян). Местонахождение между вершиной Парабола и Птица, соединяемые ущельями: ущелье реки Большой Тайгиш – ущелье Озеро Горных Духов. Здесь отчётливо видны скалы: Тонкий Брат и Толстый Брат. Скалистый ансамбль Ергак просто сказочный: Верблюд, Парабола, Тугодум, Зуб, Дракон”.

Никогда не знаешь, где найдёшь, где потеряешь. Я придаю большое значение информации, и по этому, включила материал о Мосте Сихоумень. Этот мост в Китае самый длинный мост в мире и соединяет острова Хонсю и Авадзи над проливом Акаси. “С 1998 года, подвешенная часть моста (длина центрального пролёта) – Высота1991 метр. Симметричное число получилось потому, что из – за землетрясения во время строительства один пилон сдвинулся на 1 метр. 3911 метров – полная длина моста. Поездка по мосту – дорогое удовольствие”. Никогда не угадаешь, кого и что заинтересует, поэтому я решила увлечь физическими расчётами. Мне понравился текст и я предлагаю вам третий “плагиат”, взятый с интернета.

“ Под действием собственного веса и веса мостового пролёта тросы провисают и образуют дугу, близкую к параболе. Нагруженный трос, подвешенный между двумя опорами, принимает форму, так называемой “цепной линии”, которая близка к параболе в почти горизонтальном участке. Если весом тросов можно пренебречь, а вес пролёта равномерно распределить по длине моста, тросы принимают форму парабол. Если вес троса сравним с весом дорожного полотна, то его форма будет промежуточной между цепной линией и параболой.

Основные напряжения в висячем мосте – это напряжения растяжения в основных тросах и напряжения сжатия в опорах, напряжении в самом пролёте малы. Почти все силы в опорах направлены вертикально вниз и стабилизируются за счёт тросов, поэтому опоры могут быть очень тонкими у висячих мостов. Сравнительно простое распределение нагрузок по разным элементам конструкций упрощает расчёт”. Вообще, мы познаём, что является плагиатом, а что нет. Разница в понимании этого слова у людей. Некоторые люди говорят всю жизнь говорят чужими заученными фразами и считают своими. Вот и всё. Снова привожу слова апостола Павла о Моисеи, услышанные мною от Святейшего Патриарха Московского и всея Руси Кирилла, по телевизору: “взирал на невидимого, как на видимого”.

2. Изучение свойства точек парабол, их движения по координатной плоскости, алгоритмов чтения и построения графиков, связи дискриминанта и графика параболы с геометрией и роли параметров в этом процессе.

Слайд №7.В конических сечениях есть парабола.

Слайд №8.Описание параболы.

Слад № 9. Направление ветвей.

Слайд №10. Растяжение и сжатие.

Слайд №11. Пять точек параболы, принадлежащих кресту.

Слайд №12. Свойство функции.

Слайд №13.Ось симметрии.

Слайд №14. Какой коэффициент отвечает за перемещение параболы вдоль оси Ох?

Слайд №15. Какой коэффициент отвечает за перемещение параболы вдоль оси Оу?

Слайд №!6. Какой коэффициент отвечает за перемещение вершины параболы?

Слайд №17. Симметрия и симметричное отображение.

Слайд №18. Основные понятия. Самостоятельная работа №1.

Слайд №19. Алгоритм построения параболы путём вычислений.

Слайд №20. Вычисление координат вершины параболы.

Слайд №21. Виды заданий квадратичных функций.

Слайд №22. Алгоритм чтения графика, когда очевидны корни трёхчлена.

Слайд №23. Алгоритм чтения графика, когда очевидны координаты вершина параболы.

Слайд №24. Базовые точки.

3. Применение и контроль

Слайд №25.Учимся пользоваться теорией.

Слайд №26 - №34 – решение задач.

Слайд №35. Свойства а,б и с квадратичной функции.

Слайд №36. Построение параболы и запись её формулой.

Слайд №37. Квадратичная функция. Практическая работа.

Слайд №38. Начало отсчёта.

Слайд № 39. Функция на службе решений неравенств.

Слайд №40. График параболы – линия отсчёта.

Слайд №41. Знаки параметров.

Слайд №42. Графическая работа.

Слайд №43. Графический диктант.

Слайд №44. Ответы на слайде №43.

Слайд №45. Чтение графика.

Слайд №46 – 47. В гостях у ОГЭ.

Слайд №48 - №49. Запомни!

Слайд №50. Конец.

Во главу угла я ставлю знание теоретического материала. Усвоению изучаемого материала способствует атлас, в котором представлены контрольные вопросы по теме, ответы на них. Многократное проговаривание ведёт к пониманию и умению применять знания при решении задач. В атласе представлены графики, контрольные вопросы к теме, ответы на контрольные вопросы, устные вопросы с ответами, проверочные и контрольные работы.

4. Фрагменты уроков

Берём лист бумаги из тетради, сгибаем пополам, затем ещё пополам и на 1/ 8 подписывается класс и фамилия ученика. Переходим на другую осьмушку. Пишем диктанты.

Фрагмент №1.

Диктант. Число. Тема: “у = х² + в ·х + с”.

1. Графиком является.................................(парабола) ..........................................
2. Если ветви направлены вверх, то......(а>0)........................................................
3. График пересекает ось ОХ, когда......(D > 0)......................................................
4. Уравнение оси параболы............(x = ..................................................
5. Напишите координаты точки, симметричной точке пересечения графика с осью Оу ......() ...................................................................................................

Диктант. Число. Тема: “у = х² + 6х + 7” .

1. Графиком является ...................................................................................................
2. Ветви направлены, т.к..............................................................................................
3. График пересекает ось ОХ, т.к.................................................................................
4. Уравнение оси параболы..........................................................................................
5. Напишите координаты точки, симметричной точке пересечения графика с осью Оу ......................................................................................................................

Фрагмент №2

Ученикам хочется высказаться, показать своё лицо перед классом. Поэтому вызываю группу ребят, которые работают в парах: один решает, а второй правит. Закончив работу садятся на место и ждут вызова. Затем я слушаю ответ ученика и ставлю оценку, задав дополнительно вопрос. Ученики выполняют упражнения на материал, который проходится.

Фрагмент №3. Диктант. Число. Тема:

Определите по графику свойста функции:

1. При каких значениях х функция положительна?
2. При каких значениях х функция отрицательна?
3. При каких значениях х функция равна нулю?
4. При каких значениях х функция убывает?
5. При каких значениях х функция возрастает?
6. Назовите максимальное или минимальное значение функции.

КР.921 Темы: “Вектор. Свойства параболы”. Работа на 25 минут.

1. Даны точки А(1; -2), В(3; 6), С(5; -2). Найдите координаты векторов ;
2. Найдите координаты точки М, делящей пополам отрезок АВ.
3. Найдите длину отрезка АМ.
4. Установите координаты вершины и направление ветвей параболы:

А) у = 3(х – 3)² + 1,

В) у = - (х + 1)² - 3,

С) у = - 0,6(х – 5)² - 6,

Д) у = (х +1,5)² + 2.

КР.922 Темы: “Вектор. Свойства параболы”.

1. Даны точки А(3; 6), В(1; -2), С(5; -2). Найдите координаты векторов ;
2. Найдите координаты точки М, делящей пополам отрезок АВ.
3. Найдите длину отрезка АМ.
4. Установите соответствие между функции и графиками.

Графики

Функции

а) у = х²; в) у = 0,25х² – 1, 5х + 4,25; с) у = - х² – 6х – 6.

Фрагмент №4. Связь геометрии и дискриминанта.

Ось Ох – это ось, где располагаются действительные числа. Что в этом случае можно сказать про дискриминант?

• Если парабола пересекается осью Ох, то функция имеет 2 различных корня.
• Если парабола касается осью Ох, то функция имеет 2 равных корней.