Методическая разработка по математике "Задачи с практическим содержанием"

Введение

Всем известны слова: математика – царица наук. Действительно, в начальной школе учащимся больше нравится математика, чем русский язык. Но уже в среднем звене многие ученики теряют интерес к изучению математики, потому что не видят в ней ничего для себя полезного и интересного. А если на уроках математики мы будем решать не скучные, далекие от жизни задачи, а задачи практического содержания, то у учащихся не будет пропадать интерес к изучению математики. Этот материал может быть интересен и полезен учащимся при подготовке к олимпиадам и к ГИА, а также тем, кто интересуется математикой или хочет её полюбить.

Глава 1. Сборник задач с практическим содержанием

Просмотрев учебники 5-6 классов, сборники для подготовки к олимпиадам по математике мы выделили пять групп наиболее интересных задач, и предлагаем их вашему вниманию.

1. Логические задачи

1.1 В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. "Замечательно, что у одного из нас белые, у другого чёрные, а у третьего рыжие волосы, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии", – заметил черноволосый. "Ты прав", – сказал Белов. Какой цвет волос у художника?
1.2 Один путешественник был захвачен племенем, вождь которого решил, что тот должен умереть. Вождь был очень мудрым человеком и дал путешественнику право выбора. Путешественник должен был сказать одну фразу. Если фраза оказывалась правдивой, то его сбрасывали с высокой скалы. Если она была лживой, то путешественника должны были растерзать львы. Но путешественник сказал такую фразу, после которой его отпустили. Какую?
1.3 Три подруги вышли погулять в белом, зеленом и синем платьях и туфлях таких же цветов. Известно, что только у Ани цвет платья и цвет туфель совпадают. Ни туфли, ни платье Вали не были белыми. Наташа была в зеленых туфлях. Определите цвет платья и туфель на каждой из подруг.
1.4 Петя и Алёнка идут со школы и разговаривают.
– Когда "послезавтра" станет "вчера", – сказал один из них, – то "сегодня" будет так же далеко от воскресенья, как и тот день, который был "сегодня", когда "позавчера" было "завтра". В какой день недели они разговаривали?
1.5 Рядом два города. В одном живут лгуны ( они не говорят правды), а в другом "правдисты"(а эти никогда не лгут) . Причем и те, и другие часто ходят друг к другу в гости. Какой вопрос задать, чтобы определить в каком вы городе находитесь?
1.6 Имеется 9 внешне абсолютно одинаковых монет: 8 настоящих и 1 фальшивая. Фальшивая легче настоящей. За какое минимальное количество взвешиваний на двухчашечных весах без гирь можно точно определить фальшивую монету?
1.7 Для участия в городском совещании были приглашены по четыре врача из каждой поликлиники. Так как каждый из приглашенных работал в двух поликлиниках, то он, следовательно, представлял на совещании две поликлиники, и любая возможная комбинация двух поликлиник имела на совещании одного общего представителя. Сколько поликлиник было в городе? Сколько врачей собралось на совещание?
1.8 Одного любителя математики как-то спросили : «Сколько у тебя детей?» Тот ответил: «Число моих детей можно поделить на две части так, что разность этих чисел будет равна разности их квадратов. Вот и прикиньте сами, сколько у меня детей».
1.9 За границу выехала группа туристов из 100 человек. 10 из них не знали ни немецкого, ни французского языков. 75 человек знали немецкий язык, а 83 – французский. Сколько туристов владело обоими языками?
1.10 Скажите, смогли бы вы сформировать "комитет четырех" из восьми кандидатов, учитывая следующие разноречивые условия: Дмитрий согласен работать с кем угодно. Михаил не будет работать, если не изберут Александра. Александр не хочет работать с Владимиром. Владимир согласен работать с кем угодно. Алексей не будет работать без Олега. Кирилл не будет без Игоря работать с Алексеем, а без Алексея не будет работать с Александром. Игорь не будет работать, если в комитет войдут Михаил и Александр вместе, а кроме того, он не желает работать ни с Дмитрием, ни с Владимиром. Чтобы Олег дал согласие работать, надо, чтобы были избраны либо Михаил, либо Кирилл; кроме того, он не будет работать с Александром, если не будет избран Игорь, и не желает сотрудничать ни с Дмитрием, ни с Владимиром.

2. Экономические задачи

2.1 Семья из трех человек планирует поехать из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать поездом, а можно – на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 660 рублей. Автомобиль расходует 8 литров бензина за 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 19,5 рубля за литр. Сколько рублей придется заплатить за наиболее дешевую поездку на троих?
2.2 Из водопроводного крана капает вода. За 12 минут набегает полный стакан. Сколько литров воды бесполезно выльется за час, за сутки, за неделю?
2.3 Семья из трёх человек оплачивает в месяц за холодное водоснабжение 209 рублей, а за горячее – 660 рублей. Во сколько раз стоимость горячего водоснабжения выше?
2.4 Семьи Даши и Саши за месяц израсходовали одинаковое количество горячей воды. Родители Даши заплатили 440 рублей, а родители Саши – 660 рублей, потому что в Дашиной семье стоят счётчики на воду, а в Сашиной нет. На сколько процентов больше платят семьи, где не установлены счётчики?
2.5 Если в каждой квартире выключить ненужный в данный момент свет и электроприборы, то можно сэкономить за месяц не меньше 3 киловатт – часов электроэнергии. Сколько киловатт – часов электроэнергии можно сберечь, если такого режима экономии будут придерживаться жильцы девятиэтажного дома, в котором 200 квартир, на протяжении месяца, года?
2.6 За каждый кВт – час электроэнергии мы платим 2,23руб. Один холодильник в среднем за год потребляет 450 кВт – час электроэнергии. При правильной его эксплуатации можно сократить потребление энергии на 15%. Сколько при этом будет сэкономлено денег из семейного бюджета?
2.7 Калькулятор, который стоил 400 рублей, продается со скидкой 10%. При его покупке кассир получил 500 рублей. Сколько рублей сдачи он должен отдать?
2.8 Почтовая марка стоит 2 руб. 60 коп. Какое наибольшее число этих марок можно купить на 50 рублей?
2.9 Необходимо перевезти 50 одинаковых ящиков весом 600 килограмм каждый. Сколько рейсов понадобиться сделать для этого, если использовать для этого машину грузоподъемностью 2 тонны?
2.10 Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После вычета налога на доходы рабочий получил 20880 рублей. Сколько рублей составляет его заработная плата?

3. Задачи на движение

3.1. Пешеход и велосипедист отправляются одновременно и по одной дороге из города А в город В, лежащий в 70 км от А. Пешеход идет со скоростью 3,75 км/ч, велосипедист – 15км/ч. Через сколько времени между ними будет расстояние, равное 30 км, и какое расстояние до В останется тогда проехать велосипедисту и пройти пешеходу?
3.2 Расстояние между пунктами А и В равно 100 км. Из пункта А в пункт В выехали одновременно два автомобиля. Первый проезжает за 1 час на 10 км больше второго и прибывает в В на 50 минут раньше его. Определите скорость каждого автомобиля.
3.3 Пешеход и велосипедист отправляются одновременно и по одной дороге из города А в город В, лежащий в 70 км от А. Пешеход идет со скоростью 3,75 км/ч, велосипедист – 15км/ч. Через сколько времени между ними будет расстояние, равное 30 км, и какое расстояние до В останется тогда проехать велосипедисту и пройти пешеходу?
3.4 После того как пешеход прошел 1 км и половину оставшегося пути, ему осталось пройти еще треть всего пути и 1 км. Чему равен весь путь?
3.5 Позавчера я прошел на 3 км больше, чем вчера, а вчера на 4 км меньше, чем позавчера и сегодня вместе. Сколько километров я прошел на лыжах сегодня?
3.6 Веселый турист пешком отправился на слет. В первый день он прошел 1/3 пути, во второй день он прошел 1/3 остатка, в третий день турист прошел 1/3 нового остатка. В результате туристу осталось пройти 32 км. Сколько км от дома туриста до места слета?
3.7 Велосипедист проехал 5/7 пути и еще 40 км, и ему осталось 0,75 пути без 118 км. Как велик его путь?
3.8 Черепаха за некоторое время проходит расстояние 4 км. Если увеличить ее скорость на 2 км/ч, то за это же время она пройдет на 4 км больше. С какой скоростью двигалась черепаха?
3.9 Два велосипедиста одновременно выехали из пунктов А и В навстречу друг другу и встретились в 50 км от В. Прибыв в пункты А и В, велосипедисты сразу же повернули назад и встретились вновь на 25 км от А. Сколько км между А и В?
3.10 Расстояние между городами А и В 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км /ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после выхода пассажирского поезда эти поезда встретятся?

4. Задачи на переливание

4.1 Дан стакан с молоком и стакан с водой. Мы берем чайную ложку из стакана с молоком и переливаем ее в стакан с водой. Все это тщательно перемешиваем. Теперь берем чайную ложку из получившейся смеси и переливаем ее в стакан с молоком. Чего больше: молока в воде или воды в молоке?
4.2 Имеются два сосуда: один объемом 4 литра, а другой объемом 9 литров. Получится ли с их помощью налить из озера ровно 6 литров воды? Разрешается переливать всю воду из одного сосуда в другой и выливать воду из любого из них обратно в озеро.
4.3 Богатырь подошел к реке с двумя ведрами, вмещающими 15 литров и 16 литров. Удастся ли ему налить (отмерить) при помощи этих ведер ровно 8 литров воды?
4.4 Молочница принесла молоко в восьмилитровом ведре, а у бабушки имеется только одна трехлитровая банка четырехлитровое ведро. Как взять у молочницы 4 литра молока?
4.5 Отлейте из бочки ровно 13 литра кваса при помощи двух бидонов: один емкостью 17 литров, а другой емкостью 5 литров.
4.6 Бочка вмещает 12 ведер воды. Для полива с вечера ее наполнили доверху. Имеются две пустые бочки, вмещающие 5 ведер и 8 ведер воды. Разлейте содержимое бочки поровну.
4.7 В канистре не менее 10 литров керосина. Можно ли отлить из нее 6 литров керосина, используя девятилитровую и пятилитровую канистру?
4.8 В бочке не менее 13 ведер воды. Можно ли из нее отлить ровно 8 ведер, если имеются две пустые бочки, вмещающие 9 и 5 ведер?
4.9 Имеется два полных бидона яблочного сока по 10 литров в каждом. Как налить из них в две пустые кастрюли объемами 4 литра и 5 литров по 2 литра молока?
4.10 Бидон емкостью 10 литров наполнен квасом. Требуется перелить из него 5 литров в семилитровый бидон, при помощи еще одного трехлитрового бидона. Как это сделать?

5. Старинные задачи

5.1. Говорят, что на вопрос о том, сколько у него учеников, древнегреческий математик Пифагор ответил так: «Половина моих учеников изучает математику, четвертая часть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальная часть составляют 3 девы» Сколько учеников было у Пифагора?
5.2. В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.
5.3. Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза». Как разделить орехи?
5.4. Десять работников должны были закончить работу за 8 дней. Когда они проработали 2 дня, то выяснилось, что работу надо закончить через 2 дня. Сколько ещё работников надо нанять?
5.5 Расстояние между дворцом государя и боярским поместьем равно 40 верстам. Из поместья выехал приказчик со скоростью 8 верст/час. Сколько часов он ехал?
5.6 Иван был на 3 вершка выше Федора, но ниже Ильи на 1 вершок. На сколько вершков Илья выше Федора?
5.7 Замостили брусчаткой 25% всей главной улицы города. Вся длина улицы составляла 4 версты, а ширина дороги составляла 2 сажени. Сколько осталось замостить дороги, если еще замостили 5 саженей?
5.8 Далеко ли до деревни? Прохожий, догнавши другого, спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?» Ответил другой прохожий: «Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если еще пройдешь 2 версты, тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько верст осталось еще идти первому прохожему?
5.9 Хозяин нанял работника на год и обещал заплатить ему 12 рублей и в придачу дать кафтан. Но тот, проработав только 7 месяцев, захотел уйти. При расчете он получил кафтан и 5 рублей денег. Сколько стоит кафтан?
5.10 Мне теперь вдвое больше лет, чем было вам тогда, когда мне было столько лет, сколько вам теперь; а когда вам будет столько лет, сколько мне теперь, то нам будет обоим вместе 63 года. Сколько лет каждому?

Глава 2. Решение опорных задач.

Из собранных 50 задач мы предлагаем решение по одной из каждой группы.

1. Решение логической задачи.

Условие: Три подруги вышли погулять в белом, зеленом и синем платьях и туфлях таких же цветов. Известно, что только у Ани цвет платья и цвет туфель совпадают. Ни туфли, ни платье Вали не были белыми. Наташа была в зеленых туфлях. Определите цвет платья и туфель на каждой из подруг.
Решение:

2. Решение экономической задачи

Условие: Из водопроводного крана капает вода. За 12 минут набегает полный стакан. Сколько литров воды бесполезно выльется за час, за сутки, за неделю? (Считать в литре 5 стаканов)
Решение:
1 час = 60 минут

1. 60: 12 =5 стаканов выливается за 1 час (или 1 литр)

1 сутки = 24 часа
2) 24*5=120 стаканов выливается за сутки (или 24 литра)
Если за сутки выливается 24 литра, то за неделю выльется:
3) 24*7=168 литров воды
Ответ: за час выльется 1 литр, за сутки 24 литра, за неделю 168 литров воды.

3. Решение задачи на движение.

Условие:
Вчера я прошел на лыжах на 3км меньше, чем позавчера, и на 40км меньше, чем позавчера и сегодня вместе. Сколько километров я прошел на лыжах сегодня?
Решение:
Обозначим путь, пройденный на лыжах сегодня, через х, а вчера — через у. Тогда позавчера был пройден путь (у + 3 ) км . Из второго соотношения следует, что у+40 = у+3+х. Отсюда х=37 км.

4. Решение задачи на переливание

Условие: Бидон емкостью 10 литров наполнен квасом. Требуется перелить из него 5 литров в семилитровый бидон, при помощи еще одного трехлитрового бидона. Как это сделать?
Решение:
Будем "шаги" переливаний записывать в виде строки из трех чисел.
При этом сосуды размещены слева направо по мере убывания их вместимости:

5. Решение старинной задачи

Условие: Иван был на 3 вершка выше Федора, но ниже Ильи на 1 вершок. На сколько вершков Илья выше Федора?
Решение:
Вершок – 4,4445 см
1) 3*4,4445=13,3335 см, на столько Иван выше Федора
2) 4,4445+13,3335=17,778 см, на столько Илья выше Федора
Ответ: Илья выше Федора на 17,778 см.

Литература:
1. Е.П.Коляда Развитие логического и алгоритмического мышления учащихся //Информатика и образование. 1996. N1
2. И.Ф.Шарыгин, Математический винегрет М., АГЕНТСТВО "ОРИОН", 1991; Математика, 5 класс, Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г., 2011;
3. Готовимся к олимпиадам по математике, 7-8 класс, Э.Н. Балаян, издательство «Феникс», 2013;
4. Алгебра, сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы, 9 класс, издательство «ДРОФА» 2004.;
5. Математика, 5 класс, 6 класс, Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, издательство «Мнемозина» 2012.