Геометрические задачи на экзаменах

Цели урока:

• Повторение основных методов и приемов решения задач
• Ознакомление с более сложными и новыми приемами решения задач
• Научить моделировать условия и комбинировать методы при решении задач
• Классификация способов решения экзаменационных задач

Оборудование:

• Компьютер
• Интерактивная доска

Ход урока

1. Организационный момент

2. Повторение способов базисных задач

Решение типичных задач (индивидуальные задания у доски)

Задача 1. Найти объём наклонной треугольной призмы, у которой площадь одной из боковых граней равна S, а расстояние от плоскости этой грани до противоположного ребра равна d

Задача 2. Высота правильной четырёхугольной призмы равна H, а угол между диагоналями, проведёнными из одной вершины основания в двух смежных боковых гранях, равен a. Найти боковую поверхность призмы.

Задача 3. Объём правильной треугольной призмы равен V, угол между диагоналями двух граней, проведёнными из одной и той же вершины, равен a. Найти сторону основания призмы.

Задача 4. Диагонали боковых граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания под углами a и соответственно. Найти угол между плоскостью основания и плоскостью, проведённой через диагонали двух смежных боковых граней параллелепипеда.

Задача 6. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 2, а высота - . Найти расстояние между ребром SA и диагональю BD основания.

Задача 5. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой C и острым углом a. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол . Найти объём пирамиды.

Решение задач дифференцированного уровня сложности в группах класса

Задача № 1. Боковая поверхность цилиндра, будучи развернута, представляет собой прямоугольник, в котором диагональ равна а и составляет угол a с основанием. Найти объем цилиндра.

Задача №2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна L и образует с плоскостью основания угол a. Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площадь его основания равна S.

Задача №3. Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Найти угол, образованный этой диагональю с пересекающей ее диагональю боковой грани.

Решение задач на использование скалярного произведения для нахождения углов и расстояний. Координатно-векторный метод.

Решение более сложных задач на пирамиду

Дано:

MABCD - пирамида, у которой все рёбра равны а; K, P - середины рёбер AD и MC;

а) Докажите: MK_DP

б) Определите p ( MK^DP).

в) Построим a || , где MK a, DP .

д) Найдём объем тела, ограниченного двумя данными параллельными плоскостями сечений и пирамидой MABCD.

3. Изучение новых методов и приемов, рассматриваемых на примерах решений задач

Нахождение углов и площадей элементарных сечений. Моделирование условий.

№ 5

Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 12, а диагональ основания равна 10.

Найдите: а) плоский угол грани при вершине пирамиды; б) двугранный угол при основании пирамиды; в) площадь сечения, проходящего через диагональ основания и параллельного боковому ребру.

Использование математического анализа в геометрии

Стороны основания треугольной пирамиды равны 13, 14 и 15. Боковые рёбра одинаково наклонены к плоскости основания под углом 60°. В пирамиду вписана прямая треугольная призма, три вершины которой принадлежат боковым рёбрам пирамиды Найдите отношения площадей оснований пирамиды и призмы наибольшего объема.

Комбинация методов при решении задач

№ 3

В основании прямой призмы лежит параллелограмм, сторона которого равна 4. Синус острого угла параллелограмма равен . Отношение площадей разных сечений, проходящей через сторону нижнего основания и сторону верхнего основания, к площади основания призмы равно 4/5 и 3/5. Найдите объём призмы.

Задачи ловушки

1. Основания равнобедренной трапеции равны 3 м и 8 м, а угол при основании равен 60 градусов. Найдите диагональ трапеции.

2. Основания трапеции равны 10 м и 31 м, а боковые стороны – 20 м и 13 м. Найдите высоту трапеции.

3. В равнобедренный треугольник ABC вписана окружность. Параллельно его основанию AC проведена касательная к окружности, пересекающая боковые стороны в точках D и E. Найдите радиус окружности, если DE=8, AC=18.

4. В пирамиде с равными двугранными углами при ребрах основания. Sосн. = Sб.п. * cos двугранного угла при ребрах пирамиды: Sб.п. = Sосн. /cos?

5. Найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC, стороны квадратных клеток равны 1.

5. Итоги урока

• Обобщить, проанализировать формирование навыков по решению стереометрических задач и теоретических знаний,
• Опрос учащихся
• Ликвидация пробелов знаний

6. Рисунки в пространстве

Видеоприложеиия

7. Расширение знаний по геометрии выходящих за пределы программного материала (применение и использование межпредметных связей). Знакомство с элементами фрактальной геометрии.(Видеоролик)

8. Литература

1. Математика. Стереометрия. М.В. Балашов
2. Геометрические задачи на экзаменах А.Х. Шахмейстер
3. Математика. ЕГЭ. Тематические тренировочные задания 2014 года. В.В. Корчагин, М.Н. Корчагина
4. Математика . ЕГЭ. Сборник заданий 2014 года .В.В. Корчагин, М.Н. Корчагина
5. Математика для поступающих в вузы. Способы решения экзаменационных задач. А.А. Тырымов
6. Математика . Подготовка к ЕГЭ-2014. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова
7. КИМы (2012-2013)
8. Alexlarin.net Тренировочные КИМы
9. Рисунки учеников 7 “А” класса (Недосейкина В., Наливкина А.)
10. Учеников 5 “Б” класса (Меляева Н., Горелова Е.)