Цели:
- сформировать умения применять способы отбора корней при решении тригонометрических уравнений; совершенствовать навыки решения тригонометрических уравнений различными методами;
- развивать познавательный интерес у учащихся, логическое мышление, интеллектуальные способности; формировать математическую речь, навыки контроля и самоконтроля;
- воспитание самостоятельности, любознательности, трудолюбия, внимательности.
Девиз урока:
«Наука есть не только знание, но и сознание, т.е. умение пользоваться знанием как следует».
В.О. Ключевский
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Оборудование: компьютер с мультимедийным проектором, документ-камера.
Ход урока
I. Организационной момент.
II. Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний.
Математический диктант (взаимопроверка):
- Записать формулу корней уравнения:
sin x = a
cos x = a - Записать частные случаи решения уравнения:
sin x = a
cos x = a - Записать формулу корней уравнения:
tg x = a
ctg x = a - При каких значениях а данные уравнения не имеют корней:
sin x = a
cos x = a - Решите уравнение и укажите его корни, принадлежащие отрезку [3π; 4π]:
sin x = 0
cos x = - 1
III. Актуализация знаний учащихся (устное задание группам).
- Назовите известные вам типы тригонометрических уравнений?
- Среди уравнений (1-12):
- 2sin2x + cos2x = =5sin x cos x
- sin26x + sin24x = 1
- cos x × sin 7x = cos 3x × sin 5x
- 2sin2x - 3sin x + 1 = = 0
- sin2x + 9 cos2x = 5sin 2x
- sin x + sin 5x + cos x + cos 5x = 0
- cos2x + 6 sin x – 6 = 0
- sin x - sin 2x + sin 3x - sin 4x = 0
- 4sin2x – 3 sin x cos x + +5cos22x = 3
- sin2x -
sin2x = cos2x - sin x + cos x = 0
- 3sin x + 4cos x = 5
выбрать те, которые решаются:
а) приведением к квадратному относительно sin x или cos x;
б) как однородные;
в) понижением степени;
г) с помощью формул преобразования суммы в произведение и произведения в сумму;
д) с помощью универсальной подстановки;
е) методом введения вспомогательного аргумента.
|
ответы:
а) 4;7
б) 1; 5; 9; 10; 11
в) 2
г) 3; 6; 8
д) 12
е) 12
IV. Применение полученных знаний.
Задание №1.
Найти количество корней уравнения 2sin2x + sin 2х = 2 cos2x – cos 2х удовлетворяющих неравенству 8 х2 – 65πх + 8 π2≤ 0. (Ответ: 16 корней)
Задание №2.
а) Решите уравнение 
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
.
Решение.
а) (один ученик у доски):
Решение:
, a
то
Получим серии корней 
б) Работа по группам:
1 группа (произвести отбор корней геометрическим способом).
Решение: б) корни уравнения 
изображаются точками А и В, а корни уравнения 
точками C и D, промежуток 
изображен жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: 
.
б) Ответ: 
2 группа (произвести отбор корней функционально-графическим способом).
Решение: б) Корни, принадлежащие промежутку 
., отберем по графику 
. Прямая 
(ось Ox) пересекает график в единственной точке 
, абсцисса которой принадлежит промежутку 
.
Прямая 
пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых принадлежат 
(см. рис.). Так как период функции 
равен 
, то эти абсциссы равны, соответственно, 
.
В промежутке 
.содержатся три корня: 
б) Ответ: 
3 группа (произвести отбор корней арифметическим способом).
Решение: б) 1) Пусть 
. Подставляя 
, получаем 
. Промежутку 
принадлежит только 
.
2) Пусть 
. Подставляя k
,, получаем:
.
Промежутку 
принадлежат только 
.
Промежутку 
принадлежат корни: 
б) Ответ: 
4 группа (произвести отбор корней алгебраическим способом).
Решение: б) Отберем корни, принадлежащие промежутку 
.
1) Пусть 
. Тогда 
.
Корень, принадлежащий промежутку 
: 
.
2) Пусть 
.Тогда 
.
Корень, принадлежащий промежутку 
: 
.
3) Пусть 
.
Тогда 
.
Корень, принадлежащий промежутку 
: 
..
Промежутку 
принадлежат корни: 
б) Ответ: 
Отчет групп.
Каждая группа подробно рассказывает о способах отбора корней уравнения.
V. Самостоятельное применение полученных знаний.
(каждому члену группы решить одно уравнение)
№1. а) Решить уравнение 
б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
№2. а) Решить уравнение 
б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
№3. а) Решить уравнение 
б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
№4. а) Решить уравнение 4
б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
№5. а) Решить уравнение 
б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
№6. а) Решить уравнение 
б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
(сверка ответов учащимися из групп, которые решали одно и тоже уравнение, а также анализ ошибок при помощи документ-камеры) .
VI. Подведение итогов (рефлексия).
Ответьте на вопросы: Какими способами можно произвести отбор корней?
Какой способ вам показался легче и понятнее? Почему?
Продолжи предложение:
- На уроке я работал активно/пассивно
- Своей работой на уроке я доволен/не доволен
- Урок мне показался коротким/длинным
- За урок я не устал/устал
- Моё настроение стало лучше/стало хуже
- Материал урока мне был понятен/ не понятен, полезен/бесполезен, интересен/скучен
Оцени свою работу (оценочный лист заполняет каждый учащийся):
| № этапа | Вид работы | Способ проверки и оценивания | Кол-во баллов, оценка |
| 1 | Математический диктант. | Взаимопроверка (4 балла) | |
| 2 | Устные ответы | Правильный ответ (1 балл), выставляет ученик самостоятельно | |
| 3 | Задание №1 | Самопроверка (6 балла) | |
| 4 | Задание №2 | Учитель (за правильное решение 2 балла) | |
| 5 | Самостоятельная работа | Самопроверка (3 балла) | |
| Итого: | От 15 баллов и выше – «5» 12–14 баллов – «4» 9–11 баллов – «3» |
||
VII. Домашнее задание.
Казалось бы, рассмотрены основные типы тригонометрических уравнений, но это не значит, что, зная их, можно решить любое уравнение. Каждое задание требует творческого подхода.
Например: к какому типу относится это уравнение 5 sin 11x + 24 cos 17x = 29?
Д/З №1: решить уравнение и найти уравнение такого типа,
либо
Д/З №2: решить уравнение 
при 
.