«Геометрический смысл производной». 11-й класс

Тип урока: изучение нового материала.

Цель урока: выяснить, в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной к графику функции.

Познавательная задача: сформировать представление о геометрическом смысле производной, умения составлять уравнение касательной к графику функции в заданной точке, находить угловой коэффициент касательной к графику функции, угол между касательной к графику и осью Ох.

Развивающая задача: продолжить формирование умений и навыков работы с научным текстом, умения анализировать информацию, способность ее систематизировать, оценивать, использовать; развитие логического мышления, сознательного восприятия учебного материала.

Воспитательная задача: повышение интереса к процессу обучения и активного восприятия учебного материала, развитие коммуникативных навыков работы в парах, группах.

Практическая задача: формирование навыков критического мышления как творческого, аналитического, последовательного и структурированного мышления, формирование навыков самообразования.

Форма урока: проблемный урок с использованием технологии развития критического мышления (ТРКМ).

Используемая технология: технология развития критического мышления, технология работы в сотрудничестве

Используемые приемы: “Корзина идей”, “Толстые и тонкие вопросы”, верные, неверные утверждения, ИНСЕРТ, кластер, “Шесть шляп мышления”.

Оборудование: презентация PowerPoint, интерактивная доска, раздаточный материал (карточки, текстовый материал, таблицы), листы бумаги в клетку,

Ход урока

Стадия вызова:

1. Вступление учителя.

- Мы работаем над освоением темы “Производная функции”. Вы уже обладаете знаниями и умениями по технике дифференцирования. Но зачем необходимо изучать производную функции?

“Корзина идей”.

Предположите, где можно использовать полученные знания?

Ученики предлагают свои идеи, которые фиксируются на доске. Получаем кластер, который к концу урока может значительно разветвиться.

- Как видите, у нас нет однозначного ответа на этот вопрос. Сегодня мы попытаемся частично ответить на него. Тема нашего урока “Геометрический смысл производной”.

Мотивация деятельности.

Из открытого банка заданий на сайте ФИПИ, материалов подготовки к ЕГЭ я выбрала несколько заданий, в которых есть термины “функция” и “производная”. Это задания В8. Они лежат перед вами на партах.

Примеры заданий В8. Задание. На рисунках изображены графики функций y = f(x) и касательные к ним в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Можете ли вы предложить способ решения данных заданий? (Нет)

Вот сегодня мы научимся решать такие задания и подобные им.

2. Актуализация опорных знаний и умений.

Работа в парах “Составь пару”. Приложение №1

- Перед вами таблица. В клетках таблицы в беспорядке записаны функции и их производные. Для каждой функции найдите производную и запишите соответствие номеров клеток.

Время работы

• 2 мин каждый ученик работает самостоятельно.
• 2 минуты - работа в парах. Обсуждение результатов и запись в карточку ответов.
• 1 минута – проверка работы.

Вопросы:

1. Что было легким, а что не получилось?
2. Нахождение производных каких функций вызвало затруднения?

3. Работа со словарем урока. 

Словарь урока: производная; функция, дифференцируемая в точке; линейная функция, график линейной функции, угловой коэффициент прямой, касательная к графику, тангенс угла в прямоугольном треугольнике, значения тангенсов углов (острого, тупого).

- Ребята, задайте друг другу вопросы, используя слова словаря не менее 4 вопросов. Вопросы не должны предполагать ответы “да”, “нет”.

Затем по одному заданному вопросу и ответу выслушиваем от каждой пары, вопросы не должны повторяться.

- На столах у вас лежат карточки с вопросами. Все они начинаются со слов “Верите ли вы, что…”

Ответ на вопрос может быть только “да” или “нет”. Если “да”, то справа от вопроса в первом столбце поставьте знак “+”, если “нет”, то знак “-”. Если сомневаетесь - поставьте знак “?”.

Работайте в парах. Время работы 3 минуты. (Приложение №2)

После окончания работы учитель предлагает поделиться своим мнением с классом (2 мин.).

Заслушав ответы учащихся, заполняется первый столбец сводной таблицы на доске.

Стадия осмысления содержания (10 мин.).

Подводя итоги работы с вопросами таблицы, учитель готовит учеников к мысли, что, отвечая на вопросы, мы пока не знаем, правы мы или нет.

Задание группам. Ответы на вопросы можно найти, изучив текст §8 стр. 84-87 (или предложенные листы с извлечением материала параграфа, на которых можно свободно делать рукописные пометки), используя прием ИНСЕРТ - прием смысловой маркировки текста.

V - уже знал(а)

+ - новое

– - думал(а) иначе

? - не понял(а)

Работа над текстом. (Приложение №3)

Обсуждение текста параграфа §8.

- Что вы уже знали, что для вас – новое, а что вы не поняли?

Обсуждение, разъяснение непонятого.

Ответы групп на вопросы:

• Запишите уравнение прямой (у = у₀ + к(х-х₀) ).
• Запишите формулу углового коэффициента прямой. ()
• В чем состоит геометрический смысл производной? (Геометрический смысл производной: значение производной функции f(x) в точке х₀ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке (х₀; f(x₀)). = k = tga )
• Запишите уравнение касательной к графику функции (y = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀)). Из какого уравнения оно было получено?

Какой знак имеет f ' (x₀)?

Стадия рефлексии. Предварительное подведение итогов.

Вернемся к вопросам, рассмотренным в начале урока, и обсудим полученные результаты. Посмотрим, может быть, наше мнение после работы изменилось.

Учащиеся в группах сопоставляют свои предположения с информацией, полученной в ходе работы с учебником, вносят в таблицу изменения, делятся мыслями с классом, обсуждают ответы на каждый вопрос.

Стадия вызова.

- Как вы думаете, в каких случаях, при выполнении каких заданий можно применить рассмотренный теоретический материал?

Предполагаемые ответы учащихся: нахождение значения производной функции f(x) в точке x₀ по графику касательной к функции; угла между касательной к графику функции в точке х₀ и осью Ох; получение уравнения касательной к графику функции.

Предлагаю начать работу над алгоритмами нахождения значения производной функции f(x) в точке x₀ по графику касательной к функции; угла между касательной к графику функции в точке х₀ и осью Ох; получения уравнения касательной к графику функции.

- Составьте алгоритмы:

1. нахождения значения производной функции f(x) в точке x₀ по графику касательной к функции;
2. угла между касательной к графику функции в точке х₀ и осью Ох;
3. получения уравнения касательной к графику функции.

Стадия осмысления содержания.

1) Работа по составлению алгоритмов.

Каждый выполняет работу в тетради. А затем, обсудив в группе, приходят к единому мнению. После завершения работы представитель каждой из групп выступает с защитой своей работы.

Алгоритм нахождения значения производной функции f(x) в точке x₀ по графику касательной к функции.

1. Выбрать 2 точки, принадлежащие касательной.
2. Найти изменение координат: x₂ – x₁;  y₂ – y₁ 
3. Подставить найденные значения в формулу
   = k = tga =

Алгоритм нахождения угла между касательной к графику функции в точке х₀ и осью Ох.

1. Найти производную функции f ' (x);
2. Вычислить значение производной f ' (x₀);
3. Найти tga =;
4. a = arctg

.Алгоритм получения уравнения касательной к графику функции

1. Записать уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой x₀ в общем виде.
2. Найти производную функции f ' (x);.
3. Вычислить значение производной f ' (x₀);
4. Вычислить значение функции в точке x₀;
5. Подставить найденные значения в уравнение касательной  y = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀)

1) Работа по применению изученного на практике. (Приложение №4)

2) Рассмотрение заданий В8.

Задача 1.

На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀

Задача 2. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Задача 3. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Задача 4. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀ . Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀ .

Ответы. Задача 1. 2. Задача 2. -1 Задача 3. 0 Задача 4. 0,2 .

Рефлексия.

Подведем итоги.

• Самооценка

“Лист самопроверки, самооценки”

• Зачем необходимо изучать производную функции? (Для исследования функций, скорости протекания различных процессов в физике, химии...)

• Используя прием “Шесть шляп мышления”, мысленно надевая шляпу определенного цвета, проанализируем работу на уроке.  Смена шляп позволит нам увидеть урок с разных позиций для получения наиболее полной картины.

Белая шляпа: информация (конкретные суждения без эмоционального оттенка).

Красная шляпа: эмоциональные суждения без объяснений.

Черная шляпа: критика – отражает проблемы и трудности.

Желтая шляпа: позитивные суждения.

Зеленая шляпа: творческие суждения, предложения.

Синяя шляпа: обобщение сказанного, философский взгляд.

На самом деле мы только прикоснулись к решению заданий на использование геометрического смысла производной. Дальше нас ожидают еще более интересные, разнообразные и сложные задания.

Домашнее задание: § 8 стр.84-88, № 89-92, 94-95 (четные).

Литература

1. Заир.Бек С.И. Развитие критического мышления на уроке: пособие для учителей общеобразоват. учреждений. – М. Просвещение, 2011. – 223 с.
2. Колягин Ю.М. Алгебра и начала анализа. 11 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профильный уровни. – М .: Просвещение, 2010.
3. Открытый банк заданий по математике http://mathege.ru/or/ege/Main.html?view=TrainArchive
4. Открытый банк заданий ЕГЭ/Математика http://www.fipi.ru/os11/xmodules/qprint/afrms.php?proj=

 Интернет-сайты, связанные с тематикой критического мышления 

Critical Thinking http://www.criticalthinking.org/ 
http://www.ct-net.net/ru/rwct_tcp_ru 

http://www.peremena.kg/index.php?pid=12 

Приложение 5

Приложение 6