Рассмотрим один из методов решения заданий ЕГЭ, который очень полезно знать и которому уделяется очень мало времени на уроках в школе: обобщённый метод интервалов для решения различных неравенств.
Напомним сущность обобщённого метода
интервалов: для решения любого неравенства
(например, неравенства ), необходимо проделать следующие
действия: перенести всё влево, привести к общему
знаменателю (то есть
). Затем необходимо:
а) найти нули числителя (то есть решить
уравнение );
б) найти нули знаменателя (то есть решить
уравнение );
в) найти граничные точки области определения
(например, если в неравенстве есть функция , то область
определения
,
сначала надо решить уравнение
; если в неравенстве есть
функция
, то
область определения
значит, сначала надо решить уравнения
,
,
; если в неравенстве есть функция
, то область
определения
,
значит, сначала решаем уравнения
,
и т. д.). После этого надо отметить
полученные точки на оси
. Из методов математического
анализа (см. [1]) следует, что функция, стоящая в
левой части решаемого нами неравенства в каждом
из получившихся интервалов либо сохраняет знак,
либо не существует. Для получения правильного
ответа необходимо заштриховать нужные нам
интервалы и проверить отдельно все граничные
точки.
Продемонстрируем суть метода на одной из задач С3 варианта ЕГЭ-2013.
1. Решить неравенство . (1)
Решение. Преобразуем неравенство (1) по формуле перехода к другому основанию:
(2)
Находим нули числителя неравенства (2):
. Нули знаменателя
неравенства (2):
. Граничные точки области определения:
, отметим точку
,
, значит, отметим точки
и
.
В результате получили семь интервалов: (на них наша
функция
не
определена),
(на них
определена),
(функция
не
определена). Определяем знаки на каждом из
получившихся интервалов:
. Значит, ответ:
.
Литература
Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ (в двух томах). – М.: ТК Велби, Проспект, 2006.