«Межпредметные связи (математика + физика) в изучении математики». 10-й класс

Школьная математика практически везде, к сожалению, совершенно оторвана от потребностей физики – как по выбору материала, так и по его трактовкам, постановке задач и развитию навыков.
Невнимание к физике причиняет урон и самой математике, затрудняется ее понимание, притупляется интерес к ней, принижается роль математики как фундаментальной науки. Не используемый в физике математический аппарат плохо держится в памяти. Современное преподавание требует органического сочетания экспериментального и теоретического методов изучения физики, выявления сути физических законов на основе доступных школьникам понятий элементарной математики. Такой подход одновременно обеспечивает повышения уровня математических знаний, формирует логическое мышление, осознание единства материального вида. Школьники начинают испытывать удовлетворение, замечая, что абстрактные математические формулы и уравнения имеют реальное воплощение в физических процессах.

Преподавание ведется из расчета 3 часа в неделю с использованием базового учебника «Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений»/ А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; под редакцией А.Н. Колмогорова. М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2002.

Урок по теме: Понятие о производной (1)

Цели:

• рассмотреть понятие о касательной к графику функции;
• рассмотреть понятие мгновенной скорости движения;

ХОД УРОКА

1. Сообщение темы и цели урока

2. Повторение и закрепление пройденного материала

2.1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2.2. Контроль усвоения материала (письменный опрос)

Вариант 1

1) Дать определение средней скорости движения тела.

2) Выразить приращение функции f(x) в точке х₀ и х, если:

а) f(x) = 2х² + 3х;        б) f(x) = 3cos2х

3) Найти среднюю скорость точки, движущейся по прямой, за промежуток времени [t₀; t₀ + t], если ее координата x(t) = –3t² +

Вариант 2

1) Дать определение средней скорости изменения функции.

2) Выразить приращение функции f(x) в точке х₀ и х, если:

  а) f(x) =3х² + 2х;        б) f(x) = 2sin3х

3) Найти среднюю скорость точки, движущейся по прямой, за промежуток времени [t₀; t₀ + t], если ее координата x(t) = – 2t² +

3. Изучение нового материала

3.1. Понятие о касательной к графику функции

Практически все рассматриваемые в школе функции имеют графики, представляющие собой гладкие кривые. Рассмотрим поведение таких кривых.

Рассмотрим график функции y = f(x) и точек A(x₀; f(x₀)), B₁(x₀;+ (x)₁; f(x₀;+ (x)₁) и B₂(x₀;+ (x)₂;   f(x₀;+ (x)₂), принадлежащие графику. Через точки А и В₁, А и В₂ проведем секущие АВ₁ и АВ₂.
При небольших значениях х секущие АВ₁ и АВ₂ мало отличаются от соответствующих дуг. Видно, что с уменьшением х различие между секущими и дугами уменьшается. Очевидно, что при стремлении положения точек В₁ и В₂ к положению А секущие АВ₁ и АВ₂  становятся касательными. Таким образом, при х близких к х₀ график функции f(x) практически совпадает с графиком касательной, проведенной в точке х₀. Поэтому необходимо знать поведение такой касательной, то есть уравнение касательной. Координаты одной точки касательной известны – это точка  (x₀; f(x₀)). Остается определить угловой коэффициент k касательной.

Пример 1

Получим уравнение касательной, проведенной к графику функции f(x) = х³ в точке х₀ = 1.

Р е ш е н и е

1) Угловой коэффициент k(х) секущей, проходящей через точки (x₀; f(x₀)) и (x₀;+ (x); f(x₀;+ (x)) равен  , где  f – приращение функции f(x) в точке х₀, соответствующее приращению аргумента. Для функции f(x) = х³ получаем k(х)= = .

2) Теперь найдем kкасательной. Коэффициент k(х) будет стремиться к величине  k, если х приближается к нулю. Очевидно, что при малых х коэффициент k(х) k  . При х₀ = 1 находим k =3 и f(x₀) = 13 = 1

3) Уравнение касательной имеет вид y = kx + b, или y = 3x + b. Так как эта касательная проходит через точку (1;1), то получаем условие 1 = 3 * 1 + b, откуда b = – 2. Итак, уравнение касательной имеет вид у =3х – 2. Следовательно, при х близких к х₀ = 1 функция f(x) =  ведет себя примерно как касательная у = 3х – 2.

3.2. Мгновенная скорость движения

Рассмотрим физическую задачу определения мгновенной скорости движения. Пусть точка движется по прямой и ее координата х в момент времени t равна x(t). Предполагаем, что движение происходит непрерывно и плавно (как в реальной жизни). Возникает задача: по известной зависимости x(t) определить скорость V(t), с которой движется точка в момент времени t (такая скорость называется мгновенной).

Если зависимость x(t) линейная, то задача имеет простое решение: в любой момент времени скорость есть отношение пройденного пути ко времени. Если движение не равномерное, то решение задачи усложняется. Сначала найдем среднюю скорость за промежуток времени t от t₀ до t₀ + t. Эта скорость равна Vср(t)= . Очевидно, если t очень мало, то за такой промежуток времени скорость практически не меняется. Поэтому средняя скорость Vср(t) почти не отличается от мгновенной Vмгн(t₀). Тогда возникает следующий способ вычисления мгновенной скорости: надо найти Vср(t) и определить, к какому значению она стремится, если t практически равно нулю.

Пример 2

Найдем мгновенную скорость при равноускоренном (равнозамедленном) движении.

Р е ш е н и е

При таком движении координата тела меняется по закону x(t) = x₀ + V₀t + , где х₀ и V₀ – начальные координата и скорость, – ускорение тела.

1) Найдем приращение координаты x(t) =x(t₀ + t) – x(t₀) =

2) Определим среднюю скорость Vср(t)= =

3) Вычислим мгновенную скорость. Для этого будем уменьшать t, приближая эту величину к нулю (для краткости говорят, что t стремится к нулю, и записывают t ––> 0). Тогда выражение   при t ––> 0, величины  и  постоянны. Получаем, что при t ––> 0 величина Vср(t) = Vмгн(t₀) =  . Итак, мгновенная скорость  Vмгн(t₀) =  .

4. Закрепление нового материала

4.1. Контрольные вопросы:

1. Понятие о касательной к графику функции.
2. Как найти угловой коэффициент касательной?
3. Вычисление мгновенной скорости движения.

4.2. Решить №188(а); 189(а,б); 190; 191(б); 192(а).

5. Задание на дом: п. 13 (1-я и 2-я часть); №188(б); 189(в,г); 191(а); 192(б)

6. Подведение итогов урока

Продолжение статьи