Урок обобщающего повторения по теме «Метод координат в пространстве». 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Планируемое время проведения: 2 урока.

Цели урока:

  1. Обобщение и систематизация знаний по теме: “Метод координат в пространстве”.
  2. Выявление уровня усвоения учащимися материала по данной теме, с целью последующей корректировки.
  3. Развитие пространственного мышления учащихся.

Задачи урока:

  1. Образовательные:
    • формирование у учащихся умений решать задачи координатно-векторным методом.
    • научить применять этот метод к решению стереометрических задач, в том числе задачи С2 ЕГЭ по математике.
    • развивать логическое мышление, познавательный интерес, обогащение и расширение математического кругозора
    • продолжить формирование графической культуры и математической речи, вырабатывать умения анализировать и сравнивать.
  2. Воспитательные:
    • прививать аккуратность и трудолюбие;
    • умение вести диалог в групповом взаимодействии
    • умение развернуто обосновывать суждения, давать определения
    • умение самостоятельно получать нужный результат

Пояснительная записка

Координатно-векторный метод решения задач – очень популярный и эффективный метод в геометрии. Однако в рамках школьной программы он используется достаточно ограниченно и неполно.

Координатный метод – довольно мощный и при правильном подходе позволяет решать задачи различной сложности.

Преимущество данного метода перед другими состоит в том, что он не требует сложных построений в проекциях, достаточно лишь ввести декартову систему координат, а затем работа с координатами векторов, их длинами, углами между ними. Все те соотношения, которые при решении традиционным методом даются с большим трудом (через привлечение большого количества вспомогательных теорем), здесь получаются в ходе вычислений.

В течение данного урока, выполняя различные задания, учащиеся набирают баллы. В конце урока при подведении итогов они по количеству набранных баллов получают оценки.

Используемая в ходе урока балловая система, дифференцируемые задания и возможность выбрать посильную для себя задачу, является хорошим стимулом к работе, способствует развитию познавательного интереса, повышает мотивацию к учению

Ход урока

I. Устная работа (с использованием проектора)

Цена каждого задания – 1 балл (но можно получить 0,5 балла за задание при небольшой ошибке)

По каждому заданию первые пять человек получают по 1 баллу за верное решение, последний из них записывает ответы на доске и комментирует или готовый ответ появляется на экране.

Задание №1

Для каждого выражения левого столбца укажите соответствующее ему выражение правого столбца. Ответ для каждой пары запишите в виде двузначного числа (например, 21; 18;…..)

1. 1.
2. х1х2 + у1у2 + z1z2 2.
3. {x2 – x1; y2 – y1; z2 – z1} 3. < 0
4. 4.
5. 5.
6. 6.
7. – тупой 7.
8. Ax + By + Cz +D = 0 8. , где А(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2)

Задание № 2.

Куб АВСDA1B1C1D1 помещен в прямоугольную систему координат.

Координаты точки В(2; 2; 0).

Запишите координаты всех остальных вершин куба.

Задание № 3.

 .

Найдите , если

  1. векторы сонаправленные
  2. векторы противоположно направленные
  3. векторы перпендикулярные
  4. угол между векторами равен 120°

II. Повторение алгоритма решения типовых задач (с использованием проектора)

Учащимся предлагаются задачи на вычисление координат и длины вектора, скалярного произведения векторов, угла между векторами.

Устное обсуждение алгоритма решения каждой задачи, далее учащиеся самостоятельно решают задачу.

Цена каждого задания – 1 балл (но можно получить 0,5 балла за задание при небольшой ошибке). По каждому заданию первые пять человек получают по 1 баллу за верное решение, последний из них записывает решение на доске и комментирует или готовое решение появляется на экране.

Задача №1

В ∆АВС А(-2;0;1), В(8;-4;9), С(-1;2;3). Вычислите длину медианы, проведенной из вершины С.

Задача №2

При каком значении т векторы  и  перпендикулярны?

Задача №3

Точки А(14;-8;-1), В(7;3;-1), С(-6;-4;-1), D(1;-7;-1) являются вершинами ромба АВСD. Найдите острый угол ромба.

III. «Геометрический поединок» – самостоятельная работа с дифференцированными задачами.

Учащиеся получают бланк с дифференцированным заданием.

В бланке три группы задач.

I группа – простые задачи по 2 балла за каждую

II группа – задачи среднего уровня по 3 балла за каждую

III группа – сложные задачи по 5 баллов за каждую.

Учащиеся сами выбирают, какие задачи будут решать, набирают баллы.

I группа задач:

  1. Вычислите угол между прямыми MK и PN, если М(2;0;1), К(3;√3;1), Р(3;0;-1), N(3;-1;1)
  2. АВСDA1B1C1D1 – куб со стороной 8см. Точка Р – середина ВС. Найдите угол между прямыми B1D и АР.
  3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1;3;2) и перпендикулярно вектору
  4. В прямой четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1 основание ABCD – прямоугольник, АВ = 1, ВС = СС1 = 2. Вычислите угол между прямыми DB1 и ВС1.

II группа задач:

  1. В кубе АВСDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре АА1, причём АМ : МА1 = 3 : 2, N – середина CD. Найдите угол между прямой MN и плоскостью BDD1.
  2. В пирамиде DABC ребро AD является её высотой. АС = 18, AD = 6, АВ = 12,  САВ = 900. Найдите угол между прямой, проходящей через середины ребер BD и АС, и плоскостью грани ABD.
  3. В правильной треугольной призме АВСA1B1C1 АА1 = АВ Найдите угол между прямыми АВ1 и ВС1

III группа задач:

  1. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1. Найдите угол между прямой AF и плоскостью ВСС1.
  2. В правильном тетраэдре DABC все ребра равны а. М – середина DC, С1 – середина АВ. Найдите угол между прямыми ВМ и СС1.
  3. В правильной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1 стороны основания равны 1, а боковое ребро – 5. На АА1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 2 : 3. Найдите угол между плоскостями АВС и BED1.

IV. Итог урока.

1) По количеству набранных баллов учащиеся получают оценки:

  • «5» – от 15 баллов
  • «4» – 10–14 баллов
  • «3» – 4–9 баллов

2) дифференцированное домашнее задание

Решить остальные задачи из бланка:

  • Слабые учащиеся – I группа задач
  • Средние – II группа задач
  • Сильные – III группа задач

Урок окончен. МОЛОДЦЫ!