Цель: Вывести формулу для нахождения суммы углов выпуклого многоугольника;
- исследовать вопрос о сумме внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой вершине;
- формировать положительную мотивацию к познавательной деятельности ;
- развивать логическое мышление ;
- развивать внимание, наблюдательность, умение анализировать чертеж;
- формировать умение применять полученные знания для решения задач;
- развивать коммуникативную культуру учащихся.
Ход урока
Великий русский ученый, гордость Земли Русской,
Михайло Васильевич Ломоносов, сказал: “ Неусыпный труд препятствия преодолевает”. Я надеюсь, что сегодня на уроке наш с вами труд поможет нам преодолеть все препятствия.
1. Актуализация опорных знаний. (Фронтальный опрос.)
Презентация. (Слайды 2–4)
– Сформулируйте определение многоугольника, назовите его основные элементы.
– Определение выпуклого многоугольника.
– Приведите примеры известных вам четырехугольников, которые являются выпуклыми
многоугольниками.
– Можно ли треугольник считать выпуклым многоугольником?
– Что такое внешний угол выпуклого многоугольника?
2. Постановка проблемы (выход на тему урока).
Устная фронтальная работа.
Найдите сумму углов данных многоугольников (Слайды 5–6)
– треугольника; прямоугольника:
– трапеции; произвольного семиугольника.
В случае затруднения учитель задает вопросы:
– Сформулируйте определение трапеции.
– Назовите основания трапеции.
– Что можно сказать о паре углов А и Д, каким свойством они обладают?
– Можно ли еще назвать на чертеже пару внутренних односторонних улов?
– Смогли вы найти сумму углов семиугольника? Какой возникает вопрос? (Существует
ли формула для нахождения суммы углов произвольного многоугольника?)
Итак, ясно, что наших знаний на сегодня не достаточно для решения этой задачи.
Каким образом можно сформулировать тему нашего урока? – Сумма углов выпуклого многоугольника.
3. Решение проблемы. Чтобы ответить на поставленный вопрос, давайте проведем небольшое исследование.
Мы уже знаем теорему о сумме углов треугольника. Можем ли мы ее каким либо образом применить?
– Что для этого надо сделать? (Разбить многоугольник на треугольники.)
– А каким образом многоугольник можно разбить на треугольники? Подумайте над этим, обсудите и предложите свои самые удачные варианты.
Идет работа в группах, каждая группа работает за отдельным компьютером, на котором установлена программа “Geo Gebra”.
По окончании работы учитель выводит на экран результаты работы групп. (Слайд 7)
– Давайте проанализируем предложенные варианты и попробуем выбрать самый оптимальный для нашего исследования.
Определимся с критериями отбора: что мы хотим получить в результате разбиения? (Сумма всех углов построенных треугольников должна быть равна сумме углов многоугольника.)
– Какие варианты можно сразу отбросить? Почему?
(Вариант 1, так как сумма углов всех треугольников не равна сумме углов многоугольника.)
– Какой вариант годиться больше всего? Почему? (Вариант 3.)
Как получили этот вариант? (Провели диагонали из одной вершины многоугольника
| чертеж | n – количество вершин многоугольника | Количество диагоналей, проведенных из одной вершины | Количество полученных треугольников |
 |
4 | ||
 |
5 | ||
 |
6 | ||
 |
7 | ||
| n |
– Попробуем установить зависимость между количеством вершин многоугольника, количеством диагоналей, которые можно провести из одной вершины и количеством получаемых при этом треугольников.
Каждая группа получает таблицу, которую должны заполнить в процессе исследования.
После обсуждения в группах дети формулируют полученные выводы:
из одной вершины n-угольника можно
провести n – 3 диагонали, (так как
диагональ нельзя провести к самой выбранной вершине и к двум соседним). При этом
получим n – 2 треугольника.
Следовательно, сумма углов выпуклого многоугольника равна 1800(n-2).
– Вернемся к предложенным вариантам разбиения многоугольника на треугольники.
Можно ли использовать для доказательства этой теоремы вариант, предложенный на рисунке 4?
– Сколько треугольников получается при таком разбиении? (п штук)
– На сколько отличается сумма углов всех треугольников от суммы углов
многоугольника? (На 3600)
– Каким образом можно сосчитать сумму углов многоугольника в этом случае?
(180п – 360 = 180 п – 180х2 = 180(п -2) )(Слайд 8)
– Удовлетворяет ли главному требованию, которое мы предъявляли к разбиению, вариант, предложенный на рисунке 2? (Да.)
– Почему не целесообразно его использование для нахождения суммы углов многоугольника? (Тяжелее подсчитать количество получаемых треугольников.)
Ну а теперь вернемся к задаче, которую мы не смогли решить вначале урока.
(Дети устно считают сумму углов семиугольника и еще два аналогичных упражнения.) (Слайд 9 и 10)
4. Применение полученных знаний.
Мы вывели формулу для нахождения суммы внутренних углов выпуклого многоугольника. А теперь поговорим о сумме внешних углов многоугольника, взятых по одной при каждой вершине.
Итак, задача: что больше: сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у выпуклого шестиугольника или у треугольника? (Слайд 11)
Дети высказывают свои предположения. Учитель предлагает провести исследование для решения этого вопроса.
Каждая группа получает задание для самостоятельного решения.
Группа 1.
1) Найдите сумму внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у
правильного треугольника.
2) – У треугольника, градусные величины углов которого равны соответственно
700, 800 и 300.
Группа 2.
1) Найдите сумму внешних углов, взятых по одному при каждой
вершине, у прямоугольника.
2) – У четырехугольника, внутренние углы которого равны соответственно 700,
800 и 1200 и 900.
Группа 3.
1) Найдите сумму внешних углов, взятых по одному при каждой
вершине, у правильного шестиугольника.
2) – У шестиугольника, внутренние углы которого равны соответственно 1700,
800 и 1300 , 1000 , 700,
1700.
После окончания работы дети сообщают свои результаты, учитель заносит их в таблицу и демонстрирует на экране. (Слайд 12)
Итак, какой вывод можно сделать из полученных результатов? (Сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у любого многоугольника равна 3600.)
А теперь давайте попробуем доказать этот факт для любого н-угольника.
Если возникают трудности, коллективно обсуждается план доказательства:
1. Обозначить внутренние углы многоугольника через
α, β, γ и т.д.
2. Выразить через введенные обозначения градусные меры внешних углов
3. Составить выражение для нахождения суммы внешних углов многоугольника
4. Преобразовать полученное выражение, использовать полученную ранее формулу для
суммы внутренних углов многоугольника.
Доказательство записывается на доске:
(180 – α) + (180 – β) + (180 – γ) + …= 180 п – (α+ β +γ + …) = 180 п – 180(п – 2) = 360
Далее демонстрируется видео: как можно проиллюстрировать этот факт с помощью картонной модели. (Слайд 13)
5. Закрепление изученного материала. Решение задач.
Задача 1. Существует ли выпуклый многоугольник с такими внутренними углами: 450, 680, 730 и 560? Объясните свой ответ.
Решение.
Проведем доказательство от противного. Если у выпуклого многоугольника четыре острых внутренних угла то среди его внешних углов четырех тупых, откуда следует, что сумма всех внешних углов многоугольника больше 4*900 = 3600. Имеем противоречие. Утверждение доказано.
Задача 2.
В выпуклом многоугольнике три угла по 80 градусов, а остальные – 150 градусов. Сколько углов в выпуклом многоугольнике?
Решение.
Так как: для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n – 2), то 180(n – 2)=3*80 + x*150, где 3 угла по 80 градусов нам даны по условию задачи, а количество остальных углов нам пока неизвестно, значит, обозначим их количество через x.
Однако из записи в левой части мы определили количество углов многоугольника как n, поскольку из них величины трех углов мы знаем по условию задачи, то очевидно, что x=n-3.
Таким образом, уравнение будет выглядеть так: 180(n – 2) = 240 + 150(n – 3)
Решаем полученное уравнение
180n – 360 = 240 + 150n – 450
180n – 150n = 240 + 360 – 450
30n = 150
n = 5
Ответ: 5 вершин.
6. Подведение итогов урока.
Итак, давайте подведем итоги. Сформулируйте свои вопросы для ребят из другой группы по материалам сегодняшнего урока.
Какой вопрос вы считаете наиболее удачным?
Обсудите степень участия каждого члена группы в коллективной работе, назовите самых активных.
Чья работа в группе была самой результативной?
7. Домашнее задание:
1. Задача.
В многоугольнике три угла по 113 градусов, а остальные равны между собой и их градусная мера – целое число. Найти количество вершин многоугольника.
2. п.114 стр.169–171, Погорелов А.В. “Геометрия 7–9”.