Урок итогового повторения по теме "Теория вероятностей в задачах ЕГЭ-2014". 11-й класс

Актуальность темы

Очень часто в жизни мы, оценивая возможность наступления какого-либо события, говорим: "Это невозможно", "Это непременно произойдет", "Это маловероятно", "Это обязательно случится". Купив лотерейный билет можно выиграть, а можно и не выиграть; при выстреле можно попасть в мишень, а можно не попасть; при покупке батарейки можно купить бракованную, а можно и не купить. Обыденные и довольно привычные ситуации и выражения имеют серьезные научные математические корни.
Умение проанализировать создавшуюся или возможную ситуацию, умение спрограммировать успешность или неудачу, умение аргументировано отстоять свою позицию – это составляющие компетентности будущего выпускника школы, молодого специалиста, востребованного на рынке труда.
С недавнего времени в школьный курс математики включены вопросы теории вероятностей, но вопросы эти очень сильно разбросаны по классам, количество часов, выделяемое на изучение теории вероятностей ничтожно мало. Поэтому существует потребность каким-то образом систематизировать разрозненные факты и представить в виде целостного блока, содержащего и теоретический материал, и демонстрацию способов решения, и примеры решения задач.

Цели:

• систематизировать материал по теории вероятностей, изучаемый в школьном курсе математики и вынесенный на итоговую аттестацию в 11 классе;
• обобщить и расширить знания учащихся об основных понятиях теории вероятностей, о способах и методах решения вероятностных задач.

Планируемые результаты:

• теоретические знания основных понятий теории вероятностей приведены в определенную систему;
• изучены методы решения задач;
• учащиеся достаточно свободно ориентируются в выборе способов решения задач по теории вероятностей.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Сообщение учащимся темы урока, формулировка целей ( слайд 1).

2. Актуализация знаний учащихся

Устный опрос:

– в урне 25 шаров, 13 из которых – белые. Какова вероятность, что случайно взятый из урны шар будет белым?
– в фирме такси в данный момент свободны 2 черных, 5 белых и 7 желтых машины. Найдите вероятность, что к заказчику приедет желтое такси.
– в на экзамене по биологии всего 30 билетов, в 18 из них встречается вопрос о клетке. Найдите вероятность того, что наугад выбранный билет содержит вопрос о клетке.

Проверка домашнего задания.

3. Изучение нового материала

Слайд 2: Повторение понятий случайное событие, вероятность.

Слайд 3: Повторение на примере демонстрации «бросание монеты» понятий испытание, исход, вероятность.

Слайды 4-5: Демонстрация на примере «бросание игральной кости» понятий исход, благоприятный исход, вероятность данного исхода.

Слайд 6: Демонстрация понятия вероятность на примере с колодой игральных карт.

Слайд 7: Повторение понятия вероятность – отношение числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов, свойство вероятности события (значение вероятности не может быть больше 1).

Слайды 8-12: Обобщение знаний о непосредственных методах решения задач теории вероятностей. 1 метод – метод логического перебора (« решение напролом»). Данный метод заключается в простейших подсчетах – переборе всех возможных исходов в заданном испытании и выбор благоприятных. Вероятность вычисляется путем деления количества благоприятных исходов на общее количество исходов. Разбор решения нескольких задач с использованием данного метода:

1) В случайном эксперименте монету бросают два раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз;
2) В случайном эксперименте монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу;
3) В случайном эксперименте монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что решка выпадет два раза.

Слайды 13-14: Второй метод непосредственных вычислений: метод построения таблицы. Таблица вариантов удобна при подсчете числа комбинаций из двух вариантов, например при решении задачи с бросанием игральной кости. В таблицу заносят возможные исходы, пересечение строк и столбцов позволяет отобрать те исходы, которые являются в данном испытании благоприятными. Вероятность вычисляется путем деления количества благоприятных исходов на общее количество исходов. Пример решения задачи с использованием указанного метода: Игральную кость бросают два раза. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков будет равна 7.

Слайды 15-17: Третий непосредственный метод решения: метод построения полного графа ( дерева). Данный способ решения применим для достаточно сложных задач теории вероятностей и его «наглядность» позволяет овладеть этим приемом решения учащимся с разным уровнем знаний. Заключается метод в том, что все возможные исходы изображаются ребрами в графическом виде и учитывают самые разные варианты. Такая «модель» позволяет легко просчитать все возможные исходы и благоприятные исходы. Демонстрация на примере решения задачи: Антон, Борис и Василий купили 3 билета на 1,2,3 места первого ряда. Сколькими способами они могут занять имеющиеся места? Какова вероятность, что Антон займет первое место?

Слайд 18: Начало обобщения материала о правилах теории вероятностей.

Слайды 19-21: Дается понятие несовместных событий и приводится правило вычисления вероятности появления хотя бы одного из двух несовместных событий ( правило сложения вероятностей). Два события являются несовместными, если они не могут появиться одновременно в одном и том же испытании. Например, выигрыш, ничейный исход, и проигрыш одного игрока в одной партии в шахматы – три несовместных события. Вероятность суммы двух несовместных событий ( появления хотя бы одного ) равна сумме вероятностей. Знакомство с примерами задач на несовместные события из открытого банка ЕГЭ.

1) На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, относящихся одновременно к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что школьнику на экзамене достанется вопрос по одной из этих тем.

2) Вероятность того, что новый чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит более двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что чайник прослужит меньше двух лет, но больше года.

Слайды 22-23: Знакомство с понятием совместных событий и правилом нахождения вероятности появления хотя бы одного события. События называются совместными, если они могут происходить одновременно. Например, при бросании двух монет выпадение решки на одной не исключает возможность появления решки на другой. Вероятность суммы двух совместных событий (появления хотя бы одного) равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления. Демонстрация понятия и приема решения на примере решения задач из открытого банка ЕГЭ.

1) В торговом центре два одинаковых кофейных автомата. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах – 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Слайды 24-27: Понятие «независимые события» и правило вычисления вероятности совместного появления независимых событий. Два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Демонстрация понятия и приема решения на примере решения задач из открытого банка ЕГЭ.

1) Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9. Найдите вероятность того, что он попадет в цель четыре выстрела подряд.
2) Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель выбирает в магазине случайную упаковку, в которой две такие батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
3) Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,17. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Слайды 28-29: Понятие «зависимые события» и правило нахождения вероятности совместного появления двух зависимых событий. Два события являются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло. Демонстрация понятия и приема решения на примере решения задач из открытого банка ЕГЭ.

1) В урне 6 шаров – 2 белых и 4 черных. Без возвращения выбираем два шара. Найдите вероятность того, что оба шара белые.

Слайды 30-33: Пример задачи на нахождение «полной вероятности», т.е. задачи в которой используются обе теоремы: сложения и умножения вероятностей: для перебора всех возможных вариантов строится граф, при вычислении применяются оба правила. Приводится полное решение задачи.

1) С первого станка поступает 40%, со второго – 30% и с третьего – 30% всех деталей. Вероятность изготовления бракованной детали равны для каждого станка соответственно 0,01, 0,03, 0,05. Найдите вероятность того, что наудачу взятая деталь будет бракованной.

Предлагается задача для коллективного решения:

В волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июня, погода в волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июня в Волшебной стране будет отличная погода.

Для закрепления материала предполагается использование тренировочных работ:

– сборник «Математика. ЕГЭ 2014 (2013). Задача В10. Теория вероятностей», под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко;
– задания открытого банка заданий по математике ЕГЭ 2014.

Литература:

1. «Задания В10. Элементы теории вероятностей», Корянов А.Г., Надежкина Н.В. пособие опубликовано на сайте www.alexlarin.net/
2. «Математика. ЕГЭ 2014 (2013). Задача В10. Теория вероятностей», под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко.