"Межпредметные связи (математика + физика) при изучении математики". 9-й класс

Преподавание ведется из расчета 3 часа в неделю с использованием базового учебника А.Г. Мордкович “Алгебра. 9 класс”. (М.: Мнемозина, 2005).

Цели:

• учить решать системы неравенств с одной переменной;
• совершенствовать навык решения задач;
• при закреплении изученного материала использовать задачи по физике, в которых для решения необходимо пользоваться формулами, в которых используются системы рациональных неравенств с одной переменной.

Тип урока: изучение нового материала

Ход урока

1. Проверка домашнего задания.

2. Изучение нового материала

О п р е д е л е н и е. Несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств. Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением (или частным решением) системы неравенств.

Множество всех решений (частных решений) системы неравенств представляет собой общее решение системы неравенств (чаще говорят просто – решение системы неравенств). Решить систему неравенств – это значит найти все ее частные решения при этом:

• Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений.
• Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы.

Рассмотрим два примера, решение которых приведет к новой математической модели – системе неравенств.

Пример 1

Найти область определения выражения f(x) =

Р е ш е н и е

Под знаком квадратного корня должно находится неотрицательное число, значит, должны одновременно выполняться два неравенства: 2х – 4 0 и 8 – х 0. В таких случаях говорят, что задача сводится к решению системы неравенств

Решая первое неравенство системы, находим х 2; решая второе неравенство системы, находим х 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого верхнюю, а для второго – нижнюю штриховку.

Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок [2;8]. Это область определения данного выражения.

Пример 2

Задумано натуральное число. Известно, что если к квадрату задуманного числа прибавить 13, то сумма будет больше произведения задуманного числа и числа 14. Если же к квадрату задуманного числа прибавить 45, то сумма будет меньше произведения задуманного числа и числа 18. Какое число задумано?

Р е ш е н и е

Первый этап. Составление математической модели.

Пусть х - задуманное число. По первому условию сумма чисел х² и 13 больше числа 14х; это значит должно выполняться неравенство х² + 13 > 14х. По второму условию сумма чисел х² и 45 меньше числа 18х; это значит, что должно выполняться неравенство х² + 45 < 18х. Указанные неравенства должны выполняться одновременно, следовательно, речь идет о решении системы неравенств

Второй этап. Работа с составленной математической моделью.

Преобразуем первое неравенство системы к виду х² + 13- 14х > 0.

Найдем корни квадратного трехчлена х² - 14х +13: х₁ = 1, х₂ = 13. Данное неравенство выполняется при х<1 или x>13.

Преобразуем второе неравенство к виду х² - 18х + 45 < 0.

Найдем корни квадратного трехчлена х² - 18х + 45: х₁ = 3, х₂ = 15.

Второе неравенство выполняется если, 3<x<15.

Пересечением найденных решений служит интервал (13;15)

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Натуральным числом, принадлежащими интервалу (13;15), является число 14.

3. Закрепление изученного материала

Решение задач на доске и в тетради

Задача на относительность движения.

Спортсмены отправляются в поход на байдарках по реке, скорость течения которой равна 3 км/ч. Собственная скорость байдарки 15 км/ч. На какое расстояние от места старта могут отъехать спортсмены, если они должны вернуться к месту старта не позже, чем через 5 часов?.

Р е ш е н и е

Пусть х (км) – расстояние, на которое могут отъехать байдарки. (ч) – время, за которое проходят байдарки по течению реки.

По условию задачи х>0 имеем систему неравенств:

0 < x 36.

(Ответ: байдарки могут отъехать на расстояние не более 36 км.)

Проверочная самостоятельная работа.

Задание из учебника: №57(в); №61(б); № 68(г); №70(б).

При выполнении работы учитель может контролировать работу менее подготовленных учащихся, оказывая при этом необходимую индивидуальную помощь.

Четыре ученика работают у доски самостоятельно. После окончания работы учащиеся проверяют правильность решения (свое и на доске). Исправляют ошибки.

Р е ш е н и е

№57(в)

(Ответ: нет решений.)

№61(б)

(Ответ: -5 х < 0.)

№ 68(г)

(Ответ: х 3.)

№70(б)

(Ответ: 0,25 < x < 0,8)

4. Подведение итогов

Оценить наиболее активных учащихся в течение всего урока.

5. Домашнее задание

Параграф 3; №57(б); 68(б); 59(а); 70(в); 71(е).

Урок по теме: Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

Цели:

• рассмотреть три этапа при решении задач, сводящихся к системам уравнений;
• ориентировать учащихся на составление промежуточных геометрических моделей при решении задач;
• при закреплении изученного материала использовать задачи по физике, в которых для решения необходимо пользоваться формулами, в которых используются системы уравнений.

Тип урока: изучение нового материала

Ход урока

1. Проверка домашнего задания. Фронтальный опрос

Какие системы уравнений называются равносильными?

Равносильны ли уравнения х² = 36 и (х-6)(х+6) = 0? (Да. Каждое из них имеет корни ± 6).

Способы решения систем двух уравнений с двумя переменными.

2. Изучение нового материала

Система двух уравнений может служить моделью реальной ситуации.

Пример 1

При разборе задачи использовать геометрическую модель

В районном центре два кинотеатра – “Факел” и “Слава”, первый на 400, а второй – на 600 мест. В зрительном зале кинотеатра “Слава” на 4 ряда больше, чем в кинотеатре “Факел”, и, кроме того, в каждом ряду на 5 мест больше, чем в кинотеатре “Факел”. Сколько рядов в зрительном зале кинотеатра “Факел”, если известно, что в каждом ряду кинотеатра “Слава” более 25 мест?

Р е ш е н и е.

Первый этап. Составление математической модели.

Пусть х – число рядов в кинотеатре “Факел”,

у – число мест в каждом ряду кинотеатра “Факел”.

Тогда х + 4 – число рядов в кинотеатре “Слава”,

у + 5 – число мест в каждом ряду в кинотеатре “Слава”.

Зная число рядов и число мест в ряду, можно найти общее число мест в каждом кинотеатре:

ху – число мест в кинотеатре “Факел”,

(х + 4)(у + 5) – число мест в кинотеатре “Слава”.

По условию, в кинотеатре “Факел” - 400 мест, т.е. ху = 400, а в кинотеатре “Слава” - 600 мест, т.е. (х + 4)(у + 5) = 600.

Таким образом, мы приходим к системе двух уравнений с двумя переменными:

(1)

Математическая модель задачи составлена.

Второй этап. Работа с составленной моделью.

Имеем

  (2)

Применим метод алгебраического сложения: вычтем первое уравнение из второго. Получим:

(ху + 4у +5х) – ху = 580 – 400

4у + 5х = 180

Заменим этим уравнением второе уравнение системы:

(3)

Полученную систему можно решить способом подстановки. Выразим у через х из второго уравнения системы:

4у = 180 – 5х,

Подставим это выражение вместо у в первое уравнение системы (3):

;

х(180 – 5х) = 1600;

5х² – 180х +1600 = 0;

(обе части уравнения почленно разделим на 5)

х² – 36х + 320 =0;

х₁ = 20, х₂ = 16.

Так как , то получаем:

при х = 20 у = 20;

при х = 16 у = 25.

Итак, система (3), а с ней и система (1) имеют два решения: (20; 20) и (16; 25).

Третий этап. Ответ на вопрос задачи

Опираясь на полученные решения системы, мы должны проанализировать две возможности: либо в кинотеатре “Факел” 20 рядов по 20 мест в каждом ряду, либо 16 рядов по 25 мест в каждом ряду. Если выбрать первую возможность, то в кинотеатре “Слава” будет 24 ряда по 25 мест в каждом ряду. Это нас не устраивает, поскольку, по условию, в каждом ряду “Славы” более 25 мест. Рассмотрим вторую возможность: в “Факеле” 16 рядов по 25 мест в каждом ряду. Тогда в “Славе” будет 20 рядов по 30 мест в каждом. Это удовлетворяет условию задачи.

Итак, из двух решений системы выбираем одно: х = 16, у = 25, а это означает, что в кинотеатре “Факел” 16 рядов.

Ответ: 16 рядов.

Пример 2

Мастер и его ученик планировали сообща выполнить некоторую работу за 6 дней. Сначала за дело взялся ученик. Выполнив 20% задания, он заболел. Остальная работа пришлась на долю мастера. В итоге выполнение задания растянулось на 11 дней. За сколько дней мог ее выполнить мастер и за сколько дней ученик, действуя в одиночку, если известно, что и то и другое количество дней выражается целыми числами?

Р е ш е н и е

Первый этап. Составление математической модели.

Если речь идет о выполнении некоторой работы, не охарактеризованной в количественном плане (т.е. не сказано, сколько деталей надо сделать), то объем работы считают равным единице, а части работы выражают в долях единицы.

Пусть х - число дней, необходимых мастеру, чтобы выполнить в одиночку всю работу, а у – число дней, необходимых ученику, чтобы справиться в одиночку со всей работой. Если объем всей работы (т.е. 1) разделить на число дней, необходимых для выполнения всей работы, то узнаем долю работы, выполняемую за день. Итак,

- доля работы, которую выполняет мастер за 1 день,

- доля работы, которую выполняет ученик за 1 день.

По условию, работая вместе, мастер и ученик могли бы выполнить всю работу за 6 дней. Доля мастера за 6 дней выражается формулой . Доля работы ученика за 6 дней выражается формулой .

Поскольку вместе они выполнили всю работу (т.е. 1), составляем уравнение .

По условию, ученик выполнил, трудясь в одиночку до своей болезни 20% задания, т.е. часть всей работы. Сколько времени он потратил? Естественно, что часть того времени, которое нужно ему на выполнение всей работы, т.е. дней. Потом пришел мастер, сделал оставшуюся работу, т.е. задания, на что затратил дней.

По условию, выполнение задания растянулось на 11 дней, т.е.

или

у + 4х = 55.

Таким образом, математическая модель задачи составлена – система двух уравнений с двумя переменными

Второй этап. Работа с составленной моделью.

Воспользуемся методом подстановки. Выразим у через х из второго уравнения системы: у = 55 – 4х. Подставим выражение 55 – 4х вместо у в первое уравнение системы:

Решая это рациональное уравнение, последовательно получаем:

Оба найденных значения удовлетворяют условию х(55 – 4х) 0.

Осталось найти соответствующие значения у. Для этого воспользуемся уравнением у = 55 – 4х. Если х = 10, то из этого уравнения находим у = 15; если х = , то у = 22.

Итак, составленная система уравнений имеет два решения: (10; 15) и (; 22).

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

По условию, количество дней, необходимых как мастеру, так и ученику для выполнения в одиночку всего задания, выражаются целыми числами. Значит, пара (; 22) нас не устраивает. Остается лишь одна возможность: х = 10, у = 15.

Ответ: 10 дней; 15 дней.

Пример 3

Пристани В и С находятся ниже пристани А по течению реки, соответственно, на 30 км и 45 км. Моторная лодка отходит от пристани А, доходит до С, сразу поворачивает назад и приходит в В, затратив на весь путь 4ч 40 мин. В другой раз эта же лодка отошла от пристани С, дошла до А, сразу повернула назад и пришла в В, затратив на весь путь 7 ч.Чему равна собственная скорость лодки и скорость течения реки?

Р е ш е н и е

Первый этап. Составление математической модели.

Введем две переменные:

х км/ч – собственная скорость лодки,

у км/ч – скорость течения реки.

Тогда х + у км/ч – скорость движения лодки по течению реки,

х – у км/ч – скорость движения лодки против течения реки.

Рассмотрим первый рейс лодки. Он составил 45 км по течению и 15 км против течения. Имеем:

- время движения лодки от А до С (в первом рейсе),

- время движения лодки от С до В (в первом рейсе).

Всего на первый рейс лодка затратила 4 ч 40 мин, т.е. .

Таким образом, получаем уравнение:

Рассмотрим второй рейс лодки. Он составил 45 км против течения и 30 км по течению. Имеем:

- время движения лодки от С до А (во втором рейсе),

- время движения лодки от А до В (во втором рейсе).

Всего на второй рейс лодка затратила 7 ч. Таким образом, получаем уравнение:

Математическая модель задачи представляет собой систему двух уравнений с двумя переменными:

Второй этап. Работа с составленной моделью.

Для решения системы уравнений воспользуемся методом введения новых переменных. Положим:

Тогда система примет вид

Решим эту систему двух линейных уравнений с двумя переменными a и b,получим a =1, b = .

Итак,

Остается решить совсем простую систему уравнений

Получаем х = 12, у = 3.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Требуется определить скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки. Первую скорость мы обозначили буквой х, получили х = 12; значит собственная скорость лодки составляет 12 км/ч. Скорость течения реки мы обозначили буквой у, получили у = 3. Значит, скорость течения реки составляет 3 км/ч.

Ответ: 12 км/ч; 3 км/ч.

3. Подведение итогов

Узнали, что системы уравнений с двумя переменными – это математические модели реальных ситуаций, заданных условием задачи.

Изучили три этапа решения задач на составление систем уравнений.

4. Домашнее задание

Параграф 6; №143; 147; 164.

Урок по теме: Решение задач на движение с помощью систем уравнений

Цель: формировать навыки в составлении математической модели и решении составленной модели на примере задач на движение.

Тип урока: закрепление изученного материала

Ход урока

1. Проверка домашнего задания

2. Решение задач

Решить задачу №144 (с использованием геометрической модели ситуации, заданной условием).

Расстояние между двумя пунктами по реке 14 км. Лодка проходит этот путь по течению за 2 ч, а против течения за 2 ч 48 мин. Найти собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Решение:

За 2 ч по течению За 2 ч 48 мин против течения

Первый этап. Составление математической модели

Введем две переменные:

х (км/ч) – собственная скорость лодки;

у (км/ч) – скорость течения, тогда

(х+у) км/ч – скорость движения по течению;

(х-у) км/ч – скорость движения против течения.

За 2 ч по течению лодка прошла (х+у)*2 км, что составляет 14 км; за 2 ч 48 мин, т.е за 2,8 ч лодка прошла (х-у)*2,8 км, что также составляет 14 км.

Составляем систему уравнений:

Второй этап. Решение составленной модели

Имеем:

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Согласно обозначениям собственная скорость лодки 6км/ч, скорость течения реки 1 км/ч.

Ответ: 6 км/ч; 1 км/ч.

Самостоятельная работа обучающего характера с последующей проверкой.

Вариант 1 №159

Турист проплыл по реке из города А в город В и обратно за 7 часов. Найти скорость течения реки, если известно, что турист проплыл 2 км против течения за то же время, что и 5 км по течению, а расстояние между городами 20 км.

Первый этап. Составление математической модели

Введем две переменные:

х (км/ч) – собственная скорость туриста;

у (км/ч) – скорость течения, тогда

(х+у) км/ч – скорость движения по течению;

(х-у) км/ч – скорость движения против течения.

Время, которое турист плыл по течению ч, а против течения - ч. Общее время движения составляет 7 часов. Время, за которое турист проплыл 5 км по течению равно времени, за которое турист проплыл 2 км против течения .

Составляем систему уравнений:

Второй этап. Решение составленной модели

Введем две новые переменные: Учтем, что тогда

Это позволяет переписать заданную систему в более простом виде, но относительно переменных a и b:

Для решения полученной системы применим метод алгебраического сложения, предварительно умножив второе уравнение на -4.

14b=7

b=0,5

Так как b=0,5, то из уравнения а=b находим а=0,5. Таким образом, относительно переменных а и b мы получили одно решение:

Возвращаясь к переменным х и у, получаем систему уравнений

т.е.

Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения:

Так как х=7, то из уравнения 0,5 х – 0,5у = 2 находим: .

Таким образом, относительно переменных х и у получили решение:

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Согласно обозначениям скорость течения реки 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч

Вариант 2 №160

Расстояние между двумя поселками, равное 24 км, первый пешеход преодолел на 2 часа быстрее второго. Если скорость движения первого увеличить на 2 км/ч, а второго на 1 км/ч, то и в этом случае весь путь первый преодолеет на 2 часа быстрее второго. Найти первоначальные скорости пешеходов.

Первый этап. Составление математической модели

Введем две переменные:

х (км/ч) – первоначальная скорость первого пешехода;

у (км/ч) – первоначальная скорость второго пешехода, тогда

(х+2) км/ч – новая скорость первого пешехода;

(у+1) км/ч – новая скорость второго пешехода.

Время, за которое первый пешеход преодолевал расстояние между двумя поселками ч. Время, за которое второй пешеход преодолевал расстояние между двумя поселками ч. По условию задачи время первого пешехода на 2 часа меньше времени второго. После изменения скорости время первого пешехода стало ч, а второго - ч, при этом разница во времени осталась та же.

Составим систему уравнений:

Второй этап. Решение составленной модели.

Имеем:

Подставляем полученное выражения для х в первое уравнение:

12(10-2у) – 12у = (10 -2у)у

Получим квадратное уравнение относительно у:

у²-23у + 60 = 0

Корнями данного уравнения будут: у₁ = 20; у₂ = 3

Решениями системы будут:

Третий этап. Ответ на вопрос задачи

Значения х и у первой системы не удовлетворяют условиям задачи. Согласно обозначениям первоначальная скорость первого пешехода 4 км/ч, а второго 3 км/ч.

Ответ: 4 км/ч; 3 км/ч.

3. Подведение итогов

В результате выполненной на уроке работе убедились, что задачи на движение можно решать с помощью систем уравнений с двумя переменными.

4. Домашнее задание

Параграф 6; №145; 157; 163