Внеклассное мероприятие "Встреча в клубе серьезных математиков". 8-й класс

Цель:

1. объединить изучаемые дисциплины за счет использования взаимосвязей предметов;
2. повысить эффективность достижения образовательных целей и задач;
3. создать условия для сохранности психического здоровья уч-ся за счет регулярной рациональной смены видов учебной деятельности; развить навыки продуктивного общения, приобретение жизненно необходимого опыта, расширить социальное пространство личности;
4. сформулировать познавательный интерес к математике; обобщить знания и умения по теме: “Квадратные уравнения”.

Оборудование: ПК, проектор, карточки с заданиями

Подготовительная работа: класс заранее делится на три группы (теоретики, историки, практики), каждая группа подбирает информацию по своему направлению и готовит выступление.

Ход занятия

Организационный момент. Приветственное слово.

1-й ученик:

О математика.
В веках овеяна ты славой.
Светило всех земных светил.
Тебя царицей величавой
Недаром Гаусс окрестил.
Строга, логична, величава,
Стройна в полете, как стрела,
Твоя немеркнущая слава
В веках бессмертье обрела.
Мы славим разум человека,
Дела его волшебных рук,
Надежду нынешнего века.
Царицу вех земных наук.

2-й ученик:

Друзья! Приветствовать мы рады
Вас всех на встрече в клубе нашем.
Поведать мы сегодня вам хотим
Историю возникновения
Того, что каждый школьник должен знать –
Историю квадратных уравнений.

Учитель: Добрый вечер дорогие друзья! Сегодня у нас очередная встреча в “клубе серьезных математиков”. И как вы уже догадались, наше сегодняшнее заседание посвящено: “Квадратным уравнениям”. В нашем заседании принимают участие три группы экспертов:

1-я группа – историки,

2-я группа – теоретики,

3-я группа – практики.

Итак, заседание клуба серьезных математиков считаю открытым.

В этом году, на уроках математики мы с вами познакомились с новым видом уравнений – квадратным. Давайте же вспомним, что мы знаем о них. И я предоставляю слово теоретикам.

Теоретики: (рассказывают о видах квадратных уравнений и способах их решений)

(Приложение 1.)

1-й теоретик: Неполные квадратные уравнения.

аx² + bх + с = 0, где a, b, c – числа, причем a ≠ 0 общий вид квадратного уравнения.

Неполные – это если b = 0, ax² + c = 0

c = 0, ax² + bx = 0

Решается вынесением общего множителя за скобки.

b = 0 и c = 0 ax=0

х = 0 

2-й теоретик: Решение квадратных уравнений по формулам: ax² + bx + с = 0

D = b² – 4ac

Если D<0, то корней нет

Если D = 0 х =

Если D>0, х_1,2 =

3-й теоретик: Приведенное квадратное уравнение.

Теорема Виета.

ax² + bx + с =0 называется приведенным, если а = 1, т.е x² + px + q = 0 .

Теорема Виета: Если х₁, х₂ – корни приведенного уравнения то

x₁ + x₂ = -p, х_1*x₂ = q.

Учитель: Спасибо теоретикам за обобщение изученных знаний. Но ведь наша с вами цель не только вспомнить изученный материал, а дополнить его новыми фактами и выяснить, насколько важны и необходимы эти знания. И я передаю слово группе историков.

Историки: Сегодня мы хотим познакомить всех с историей возникновения квадратных уравнений, учеными древности, чьи имена так или иначе связаны с квадратными уравнениями. А так же мы предложим вам решить несколько задач того времени.

(Приложение 2)

1-й историк: Евклид, древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике.

Сведения о Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в III веке до н. э. Евклид – первый математик александрийской школы. Его главная работа “Начала” (в латинизированной форме – “Элементы”) содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвел итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики.

Евклид, в III век до н. э отвел геометрической алгебре в своих “Началах” всю вторую книгу, где собран весь необходимый материал для решения квадратных уравнений.

Герон Александрийский; Heron, I в н. э., греческий механик и математик. Время его жизни неопределенно, известно только, что он цитировал Архимеда(который умер в 212 г. до н. э). В настоящее время преобладает мнение, что он жил в I в. н.э. Занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой; изобрел, прототип паровой машины и точные нивелировочные инструменты. Наибольшей популярностью пользовались такие автоматы Герона, как автоматизированный театр, фонтаны и др. Герон описал теодолит, опираясь на законы статики и кинетики, привел описание рычага, блока , винта, военных машин. В оптике сформулировал законы отражения света, в математике – способы измерения важнейших геометрических фигур. Основные произведения Герона – это Иетрика, Пневматика, Автоматопоэтика, Механика (фр.; произведение сохранилось целиком по-арабски), Катоптика (наука о зеркалах; сохранилась только в латинском переводе) и др. Герон использовал достижения своих предшественников: Евклида, Архимеда, Стратона из Лампсака. Его стиль простой и ясный, хотя порой бывает чересчур лаконичен или нестроен. Интерес к сочинениям Герона возник в III в. н.э. Греческие, а затем византийские и арабские ученики комментировали и переводили его произведения. Что касается квадратных уравнений, Герон – впервые в Греции в I веке н.э. дает чисто алгебраический способ решения квадратного уравнения.

2-й историк:

Диофант – греческий ученый в III век н.э. не прибегая к геометрии, чисто алгебраическим путем решал некоторые квадратные уравнения, причем само уравнение и его решение записывал в символической форме.

Я расскажу вам, как составлял и решал квадратные уравнения греческий математик Диофант. Вот, к примеру, одна из его задач: “Найти два числа ,зная, что их сумма равна 20, а их произведение 96”

1. Из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, т. к. если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100.

2. Т.о. одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т. е. 10 – х.

3. Разность между ними 2х.

4. Отсюда уравнение (10 + х)*(10 – х) = 96

100 – х² = 96х² – 4 = 0

5. Ответ х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое -8.

Решение х = -2 для Дифанта не существует, т. к. греческая математика знала только положительные числа.

Диофант умел решать очень сложные уравнения применял для неизвестных буквенные обозначения, ввел специальные символ для вычисления, использовал сокращения слов.

3-й историк:

Бхаскаре-Акариа – индийский математик в XII век н.э., открыл общий метод решения квадратных уравнений.

Разберем одну из задач индийских математиков, например, задачу Бхаскары:

“Стая обезьян забавляется: восьмая часть всего числа их в квадрате резвится в лесу, остальные двенадцать кричат на вершине холмика. Скажите мне, сколько же обезьян?”

Данной задаче соответствует уравнение (х/8)² + 12 = х

Бхаскара пишет его под видом х² – 64х = -768.Прибавляя к обеим частям квадрат 32, уравнение примет вид:

х² – 64х + 32² = -768 + 1024

(х – 32)² = 256

После извлечения квадратного корня получаем: х – 32 = 16

“В данном случае, говорит Бхаскара, – отрицательные единицы первой части таковы, что единицы второй части меньше их, а потому последние можно считать и положительными и отрицательными, и получаем двойное значение неизвестного: 48 и 16”.

Необходимо сделать вывод: решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Попробуйте решить старинную индийскую задачу Бхаскары:

“Квадрат пятой части обезьян, уменьшенный на три, спрятался в гроте, одна обезьяна влезла на дерево, была видна. Сколько было обезьян?

Следует заметить, что данная задача решается элементарно, сводясь к квадратному уравнению.

4-й историк:

Аль-Хорезми – арабский ученый, который в 825 г. Написал книгу “Книга о восстановлении и противопоставлении”. Это был первый в мире учебник алгебры. Он также дал шесть видов квадратных уравнений и для каждого из шести уравнений в словесной форме сформулировал особое правило его решения.

В трактате Хорезми насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1. “Квадраты равны корням”, т.е. ах²=вх.
2. “Квадраты равны числу”,т.е. ах²=с
3. “Корни равны числу”, т.е . ах=с.
4. “Квадраты и числа равны корням”, т.е. ах²+с=вх.
5. “Квадраты и корни равны числу”,т.е. ах²+вх=с
6. “Корни и числа равны квадратам”, т. е. вх +с=ах²

Разберем задачу Аль-Хорезми, которая сводится к решению квадратного уравнения. “Квадрат и число равны корням”. Например, один квадрат и число 21 равны 10 корням того же, квадрата, т.е. спрашивается, из чего образуется квадрат, который после прибавления к нему 21 делается равным 10 корням того же квадрата”?

(Используя 4-ю формулу Аль-Хорезми, ученики должны записать: х² + 21 = 10х и решить данное уравнение.)

5-й историк:

Франсуа Виет.

“Искусство, которое я излагаю, ново или по крайней мере было настолько испорчено временем,
искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид.”

Виет Франсуа (1540–13.12.1603) родился в городе Фонтене ле-Конт провинции Пуату, недалеко от знаменитой крепости Ла-Ро-шель. Получив юридическое образование , он с девятнадцати лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением. Он был широко образованным человеком. Знал астрономию и математику и все свободное время отдавал этим наукам.

Главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики: Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся. Нельзя было записывать и, следовательно, начать в общем виде алгебраические выражения. Каждый вид уравнения с числовыми коэффициентами решался по особому правилу. Поэтому необходимо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самих чисел не зависят. Виет и его последователи установили, что не имеет значения, будет ли рассматриваться число количество предметов или длиной отрезка. Главное, что эти числа того же рода. Значит, их можно обозначить какими-либо отвлеченными знаками. Виет это и сделал. Он не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытие, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений. Не случайно за это Виета называют “отцом” алгебры, основоположником буквенной символики.

Франсуа Виет – сформулировал и доказал теорему о сумме и произведен корней приведенного квадратного уравнения.

Учитель: Спасибо историки за столь увлекательный экскурс в прошлое, ну а что же нам сегодня скажут практики. Им слово.

Практики:

Наша задача заключается в том, чтобы доказать значимость изученного вопроса в жизни. Мы предлагаем вам познакомиться с практическим применением квадратного уравнения в таких науках как физика и экономика.

1. Применение квадратных уравнений при решении физических задач.

Совсем недавно по физике мы изучали тему “Движение тела под действием силы тяжести”. Давайте вспомним, какие формулы описывают прямолинейное движение тела по вертикали под действием силы тяжести. Данное движение рассматривается, как частный случай равноускоренного движения. Формула перемещения тела при равноускоренном движении:

Так как движение происходит только по вертикали, то используем только одну ось координат, направленную вертикально вверх, причем начало отсчета выбираем так, что s₀=0.

Тогда уравнение движения тела примет вид:

(1) – если тело движется вверх;

(1¹) – если тело движется вниз

Также используются формулы:

(2) – скорость тела при начальной скорости направленной вниз;

(2¹) – скорость тела при начальной скорости направленной вверх;

Ускорение свободного падения g =9,8 м/с (при решении задач для упрощения расчетов принимают g =10 м/с).

Таким образом, при решении задач данного раздела физики используются квадратные уравнения.

Рассмотрим это на примерах. (Приложение 3)

Применение квадратных уравнений при решении экономических задач.

При решении задач по экономике так же встречаются квадратные уравнения. Например, в задачах по теме: “ Спрос. Предложение. Рыночное равновесие.” Рассмотрим одну из них. (Приложение 4)

Вывод:

Таким образом, можно убедиться, что квадратные уравнения встречаются в разных областях науки, например в физике, и экономике. Чтобы иметь хорошие знания в этих сферах, необходимо хорошо усвоить знания по математике, в том числе научиться хорошо решать квадратные уравнения.

Учитель: Итак, подведем итоги нашего заседания. Что нового и познавательного вы сегодня узнали? (Ответы учащихся.)

Друзья! Науку все глубже постигнуть стремитесь.
Познания вечного жаждой томитесь.

Благодарю всех за участие. До новых встреч в нашем клубе.