Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать следующие темы: «Многоугольник», «Выпуклый многоугольник».
Цели урока: 1) образовательная: формирование новых знаний по данной теме, умение применять при решении задач; 2) воспитательная: формирование культуры личности, отношение к математике как части общечеловеческой культуры; 3) развивающая: развитие логического мышления, пространственного воображения.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Вид урока: урок-лекция.
Ход урока
1. Объяснение нового материала.
Известно, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°(n – 2). Оказывается, что это утверждение справедливо и для невыпуклых многоугольников.
Рассмотрим самопересекающиеся ломаные. Будем называть их звездчатыми многогранниками.
Зафиксируем направление подсчета углов против часовой стрелки. Заметим, что углы, образованные замкнутой ломаной, зависят от направления ее обхода. Если направление обхода ломаной меняется на противоположное, то углами многоугольника будут углы, дополняющие углы исходного многоугольника до 360°.
Если М – многоугольник, образованный простой замкнутой линией, которая проходит в направлении по часовой стрелке, то сумма углов этого многоугольника будет равна 180°(n – 2). Если же ломаная проходит в направлении против часовой стрелки, то сумма углов будет равна 180°(n + 2).
Таким образом, общая формула суммы углов многоугольника, образованного простой замкнутой ломаной, имеет вид ∑ = 180°(n ± 2), ∑ – сумма углов, n – число углов многоугольника, плюс или минус берется в зависимости от направления обхода ломаной.
Наша задача состоит в том, чтобы вывести формулу суммы углов произвольного многоугольного, образованного замкнутой (возможно самопересекающейся) ломаной. Для этого введем понятие степени многоугольника.
Степенью многоугольника называется число оборотов, совершаемое точкой при полном последовательном обходе его сторон. Причем обороты, совершаемые в направлении против часовый, считаются со знаком « + », а обороты по часовой стрелке – со знаком « – ».
У многоугольника, образованного простой замкнутой ломаной, степень +1 или -1 в зависимости от направления обхода. Степень звездчатых семиугольников, изображенных выше, равна соответственно двум и трем.
Теорема. Для произвольного многоугольника имеет место формула ∑ = 180°(n + 2m), где ∑ – сумма углов, n – число углов, m – степень многоугольника.
Доказательство. Пусть многоугольник М имеет степень m. М1, М2, …, Мk – простые замкнутые ломаные, проходя по которым точка совершает полные обороты. А1, А2, …, Аk – соответствующие точки самопересечения ломаной, не являющиеся ее вершинами.
Обозначим число вершин многоугольника М, входящих в многоугольники М1, М2, …, Мk, через n1, n2, …, nk соответственно. Поскольку, помимо вершин многоугольника М, к этим многоугольникам добавляются еще вершины А1, А2, …, Аk, то число вершин многоугольников М1, М2, …, Мk будет равно соответственно n1 + 1, n2 + 1, …, nk+ 1. Тогда суммы этих углов будут равны 180°(n1 + 1 ± 2), 1800(n2 + 1 ± 2), …, 180°(nk + 1 ± 2). Плюс или минус берется в зависимости от направления обхода ломаных.
В качестве примера рассмотрим вычисление суммы углов пятиконечной звездочки. Степень соответствующей замкнутой ломаной равна -2. Поэтому искомая сумма углов равна 180°.
Сумма углов выпуклого многоугольника М0, оставшегося от многоугольника М после удаления многоугольников М1, М2, …, Мk равна 180°(n – n1 – n2 – … – nk + k ± 2).
Суммы углов многоугольников М0, М1, М2, …, Мk дают сумму углов многоугольника М, и в каждой вершине А1, А2, …, Аk дополнительно получим 360°.
Следовательно, имеем равенство 180°(n1 + 1 ± 2) + … + 180°(nk + 1 ± 2) + 180°(n – n1 – n2 – … – nk + k ± 2) = ∑ + 360°k. Приводя подобные члены, получим ∑ = 180°(n ± 2 ± … ±2) = 180°(n + 2m), где m – степень многоугольника М.
2. Решение задач.
1) Сумма углов выпуклого многоугольника равна 900°. Сколько у него сторон?
2) Найти сумму углов семиконечной звездочки, изображенной выше.
3. Итог урока.
Обратить внимание учащихся на введение новых понятий (звездчатый многоугольник, степень многоугольника), формулу для нахождения суммы углов произвольного многоугольника.
4. Домашнее задание.
1) Теория (конспект урока).
2) Составить две задачи по заданной теме.