Решение тригонометрических уравнений

Цели урока:

• формировать умение решать разные  виды тригонометрических  уравнений , 
• развивать логическое и критическое  мышление,  умение быстро находить правильное решение, внимание, память,
• воспитывать  самоконтроль, ответственность.  (Слайд 2)

Оборудование:  интерактивная доска, раздаточный материал.

ХОД УРОКА

1. Актуализация опорных знаний (слайд 3)

Решение простейших тригонометрических уравнений.

sin x = a,         x = (–1)ⁿ arcsin a + πn, n € Z
cos x = a,        x = ± arсcos a + 2πn, n € Z
tg x = a,           x = arctg a + πn, n € Z                                                                                                                   
ctg x = a,         x = arcctg a + πn, n € Z

Решение  тригонометрических уравнений.

Частные  случаи  (слайд 5)

Работа по вариантам  на готовых карточках.

1 вариант

2 вариант

Взаимопроверка. Учащиеся меняются   карточками.
Проверка идет с помощью интерактивной доски.
Выводятся решения уравнений.
Учащиеся оценивают  правильность решения уравнений.
Проверка.

1 вариант  (слайд 6)

2 вариант (слайд 7)

2. Решение   тригонометрических уравнений

 Найти корни уравнения. Работа  по вариантам (слайд №8 )

Вариант 1: 4cos²x + 4sin x – 1 = 0

Вариант 2:  2cos²x – sin2x = 0

Проверка  (слайд 9)

Вариант 1

4cos²x + 4sin x – 1 = 0,
4(1 – sin²x) + 4sinx – 1= 0,
4 –  4 sin²x + 4sinx –1 = 0,
– 4 sin²x + 4sinx + 3 = 0,
4 sin²x – 4sinx – 3 = 0,
sinx = y,
4y² – 4y – 3 = 0,
y₁ = – 1/2,  y₂ = 1.5,
sinx = – 1/2,
x = (– 1)ⁿ arcsin(– 1/2) + πn, n € Z ,
x=(– 1)ⁿ (– π/6) + πn, n € Z,
x= (– 1)^{n + 1}π/6 + πn, n € Z,
sinx ≠ 1.5,  1,5 > 1.
Ответ: (– 1)^{n + 1}π/6 + πn, n € Z

Вариант 2    

2cos²x – sin2x = 0,
2cos²x – sin2x = 0,
2cos²x – 2sinxcosx = 0,
2cosx(cosx – sinx) = 0,
cosx = 0 или cosx – sinx = 0,
cosx – sinx = 0,    I :  cosx ≠  0
1 –  tg x =0,
tgx = 1,
x = π/4 + πn,  n € Z,
cosx ≠  0,
x ≠ π/2 + πn, n € Z – исключить

Ответ: π/4 + πn, n € Z.                  

3. Решение однородного тригонометрического уравнения  (слайд 10)

sin²x + 5 sinx cosx +2cos²x  = – 1.

Решение  (слайд 11)

sin²x + 5 sinx cosx + 2cos²x  = – 1,
sin²x + 5 sinx cosx + 2cos²x + 1 = 0,
sin²x + 5 sinx cosx + 2cos²x +  sin²x + cos²x = 0,
2 sin²x + 5 sinx cosx + 3cos²x = 0   | :  cosx ≠ 0,
2 tg²x +5 tgx + 3 = 0,
tgx = y,
2y² + 5y + 3 = 0,
По свойству коэффициентов
y₁ = – 1, y₂ = – 3/2.
tgx = – 1,    tgx = – 1.5,
x = –  π/4 + πn,  n € Z,            x = arctg (– 1.5) + πn,  n € Z.
                                                   x =  – arctg 1.5 + πn,  n € Z.

Ответ: –  π/4 + πn,    – arctg 1.5 + πn,  n € Z

4. Итоги урока

Приложение 1