Возрастание и убывание функции является очень важным понятием для экзаменов в любой форме: и традиционной, и в формате ЕГЭ и ГИА. При этом необходима связь этих понятий с жизненными ситуациями: движением транспорта, спортивными состязаниями, действиями животных, птиц, насекомых и др
Использование графиков степенных функций y= x p позволяет показать понятия возрастания и убывания наиболее полно. Их необходимо объединить по показателям степеней:
1) при p = 2n – 1 (прямая, кубическая парабола) функция возрастает на всей числовой оси. Здесь же нужно показать и поведение любой прямой в зависимости от углового коэффициента, при k – положительном, функция возрастает; при k – отрицательном, функция убывает. Хорошо в этом случае объяснить и что происходит с функцией при k = 0, т.е. она постоянна, не возрастает и не убывает, является const, а график её прямая параллельная оси абсцисс (Ох). Сопровождение рисунками способствует лучшему усвоению материала.
2) при p = 2n (парабола) функция возрастает при неотрицательных значениях аргумента (x) и убывает при неположительных значениях аргумента (x). Учащимся нужно обратить внимание на точку x=0 границу между убыванием и возрастанием.
3) при p = – 1 (гипербола) функция убывает на всей области определения, но при этом имеет разрыв в точке 0. В этом же разделе необходимо говорить об обратной пропорциональности, а также о функции y = k/x при положительном и отрицательном значении k. В этом пункте можно упомянуть и p= – (2n + 1). 4) Случай p = – 2n встречается довольно редко, но и о нем стоит говорить.
Рассмотрение графика произвольной функции с точки зрения возрастания и убывания необходимо т.к. этот компонент присутствует на любом экзамене. Учитель может подобрать разнообразный материал по исследованию графиков. В домашнее задание стоит включить как исследование данных графиков, так и описание составленных самостоятельно графиков, обязательно связав их с жизненной ситуацией. На следующем уроке разобрать наиболее интересные из придуманных графиков, обменяться графиками и составить свою ситуацию.