Вид занятия урок усвоения новых знаний.
Продолжительность занятия 90 минут.
Цели урока:
Обучающая (образовательная)
- активизировать интерес к изучаемому материалу, используя практико-ориентированные примеры,
- создать условия для формирования знаний о предмете стереометрии, о ее логической структуре, об основных фигурах стереометрии, аксиомах и следствиях из них,
- формировать представления о прикладном значении стереометрии – применении ее методов в быту, других науках и будущей профессии,
- формировать общие и профессиональные компетенции.
Развивающая
- способствовать развитию пространственных представлений, логического мышления,
- формировать и развивать навыки самостоятельной работы, самооценки, исследовательские умения (наблюдение, анализ, формулирование выводов)
Воспитательная
- воспитывать аккуратность при выполнении чертежей, самостоятельность
Материально-техническое обеспечение занятия: интерактивная доска (перо доски используется в двух режимах: режим мыши и интерактивный)
Методическое и дидактическое обеспечение занятия: макеты геометрических тел, раздаточный материал, мультимедийная презентация, подготовленные изображения для интерактивной доски (см. Приложение 1)
ХОД УРОКА
1. Организационный момент: Приветствие, перекличка – Слайд №1
2. Актуализация знаний
– Сегодня мы переходим к изучению одного из
разделов геометрии – стереометрии. В школьном
курсе математики Вы изучали раздел
«Планиметрия». Что изучает планиметрия? (Планиметрия
изучает свойства фигур на плоскости) – Слайд
№2
– Какие фигуры Вам известны из курса
планиметрии? (Точка, прямая, отрезок,
многоугольники – треугольники,
четырехугольники разного вида, круг, окружность)
3. Постановка цели и задач учебного занятия
– Стереометрия – это один из самых интересных
и важных разделов математики. «Стереометрия» –
греческое слово, состоящее из двух частей:
«стереос» – «пространственный» и «метрео» —
«измеряю». Т.е. «стереометрия» обозначает
«измерение в пространстве». Стереометрия
знакомит нас с разнообразием пространственных
форм, законами их восприятия и изображения. Это
геометрия в пространстве. – Слайд №3
– При изучении любого нового раздела или темы
возникает вопрос «Зачем это изучать?» Давайте
порассуждаем, где нам может пригодиться
стереометрия. Какие у Вас возникают
предположения? (Стереометрия может
применяться при измерении и изображении
окружающих нас предметов, которые похожи на
объемные фигуры) – Слайд №4
– Действительно, законы стереометрии
могут применяться при построении изображений в
чертежах, при создании моделей реальных объектов
– макетов, конструкций; при измерении углов,
длин, площадей и объемов реальных объектов.
Геометрия сама по себе красива и интересна. Она
имеет яркую историю, связанную с именами
известных ученых: Пифагора, Архимеда, Евклида, И.
Кеплера, Р. Декарта, Л. Эйлера, Н.И. Лобачевского и
других. – Слайд №5
– Многие красивые пространственные формы
созданы природой. Например, кристаллы –
природные многогранники. – Слайд №6
– При изучении каких дисциплин Вы встречались с
кристаллами? С чем это было связано? (Физика,
химия. Строение веществ, кристаллическая решетка)
– Свойства кристаллов определяются их
геометрической формой – симметричным
расположением атомов в кристаллической решетке.
Человек, наблюдая за природными объектами и
явлениями, использует законы стереометрии в
своей деятельности. – Слайд №7
– Как Вы думаете, в какой сфере деятельности
человека наиболее актуально применение законов
стереометрии? (В промышленности, в архитектуре,
в строительстве)
– Действительно, геометрические формы находят
применение в архитектуре, строительстве,
дизайне. Посмотрите на слайды, назовите
изображенные на них известные сооружения. (Иглу,
Чум, Колизей, Пизанская башня, Эйфелева башня,
Здание МГУ, Сиднейская опера, Лувр, Ресторан
«Ку-Ку» в г. Барнауле, Гастроном «Под шпилем» в г.
Барнауле) – Слайды №8-12
– «Только неотступно следуя законам
геометрии, архитекторы древности могли создать
свои шедевры. Неслучайно говорят, что пирамида
Хеопса – немой трактат по геометрии, а греческая
архитектура – внешнее выражение геометрии
Евклида. Прошли века, но роль геометрии не
изменилась. Она по-прежнему остается грамматикой
архитектора» – слова выдающегося архитектора XX
столетия Ле Корбюзье (франц.) – Слайд №13
– Стоит ли серьезно отнестись к
изучению стереометрии? Почему? (Да, она может
пригодиться в жизни, в будущей профессии)
– В жизни Вам пригодится знание свойств
геометрических фигур, умение производить
измерения на плоскости и в пространстве и
связанные с этим вычисления.
– С чего обычно начинают изучать новые разделы
математики? (С изучения новых понятий,
определений, теории)
– Наша задача сегодня познакомиться с основными
понятиями стереометрии и ее аксиомами
4. Изучение нового учебного материала
– Запишите тему занятия «Основные понятия и
аксиомы стереометрии». – Слайд №14
– Все геометрические формы, имеющие
разное внешнее представление, тем не менее,
составляются из одних и тех же простейших
элементов. (Рассматривают изображения и
модели геометрических фигур – плоских (отрезков
прямых, многоугольников, круга), объемных
(выпуклых многогранников, круглых тел,
звездчатых многогранников) – Слайд №15, макеты
геометрических тел
– Рассмотрите несколько изображений и моделей
геометрических фигур и попробуйте увидеть, из
каких самых простых объектов они составлены.
(Фигуры и тела состоят из отрезков, углов,
вершин, плоских частей, …)
– Вершины геометрических тел можно
рассматривать как точки. Точка – это
идеализированный маленький объект, размером
которого можно пренебречь. Евклид определял
точку как то, что не имеет частей. Точки на
чертежах обозначают заглавными буквами
латинского алфавита: A, B, C, … (Рассматривают изображения
и модели геометрических фигур. В тетрадях
записывают «Основные фигуры» и зарисовывают
точку с ее обозначением)
– Стороны многоугольников, ребра многогранников, отрезки представляют собой части прямых. Прямая – это идеальная фигура, аналог натянутой нити, края крышки стола, луча света. Она не имеет толщины, ее длина считается бесконечной. Прямые изображаются как участки прямых, обозначаются одной строчной буквой латинского алфавита: a, b, c, … (В тетрадях зарисовывают прямую с ее обозначением).
– Плоские грани многогранников – это части плоскостей. Плоскость – это идеальный аналог ровной поверхности воды, стола, зеркала. Плоскость бесконечна во всех направлениях. Плоскость изображается как бесформенная фигура или параллелограмм, обозначается буквами греческого алфавита: α, β, γ,... (В тетрадях зарисовывают плоскость с ее обозначением)
– Другие поверхности – искривленные (например,
сфера или цилиндр) рассматриваются как множество
точек или отрезков.
– Введем обозначения, которых
придерживаются при построении изображений (В
тетрадях зарисовывают иллюстрацию со слайда и
записывают обозначения «принадлежит», «не
принадлежит», «лежит», «пересекает») – Слайд
№16, записи на заготовленном изображении
интерактивной доски.
– Итак, в стереометрии основными фигурами
являются точка, прямая и плоскость. Основные
фигуры не имеют размерности. Кроме того, понятия
«точка», «прямая» и «плоскость» принимаются без
определений: их описание и свойства содержатся в
аксиомах и теоремах.
– Что такое «аксиома»? Что такое «теорема»? (Аксиома
– это утверждение, принимаемое без
доказательства. Теорема – это утверждение,
требующее доказательства)
– Основные фигуры стереометрии связаны тремя
утверждениями, которые приняты за аксиомы –
объяснение их очевидно. Очевидно, что в
стереометрии на отдельно взятой плоскости
справедливы аксиомы планиметрии. Рассмотрим
аксиомы, которые характерны для пространства. (В
тетрадях записывают «Аксиомы стереометрии»)
– Слайд №17
Аксиома 1: Через любые три точки
пространства, не лежащие на одной прямой,
проходит плоскость, причем только одна (В
тетрадях записывают формулировку аксиомы) –
Слайд №17
– Проиллюстрируем аксиому и опишем ее
условия символически – на языке математики. (В
тетрадях записывают обозначения и зарисовывают)
– Слайд №17, записи под текстом аксиомы на
интерактивной доске.
– Эта аксиома иллюстрируется жизненной ситуацией: какой из табуретов более устойчив – с 3 или 4 ножками? (У табурета на 4 ножках одна из них может быть короче, и он будет качаться)
Аксиома 2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. (В тетрадях записывают формулировку аксиомы, и зарисовывают) – Слайд №18, записи под текстом аксиомы на интерактивной доске.
– Эта аксиома иллюстрируется карандашами и
ручками, лежащими на Ваших партах
Аксиома 3: Если две плоскости имеют
общую точку, то они имеют общую прямую,
проходящую через эту точку. (В тетрадях
записывают формулировку аксиомы, и зарисовывают)
– Слайд №19, записи под текстом аксиомы на
интерактивной доске.
– Эта аксиома подтверждается тем, что
плоскости бесконечны во всех направлениях и,
значит, не могут иметь только одну общую точку –
их бесконечно много, они образуют прямую. Аксиома
может быть проиллюстрирована пересекающимися
полом и стеной в кабинете, листами Вашей тетради
и т.д.
– На аксиомы опирается доказательство
многих теорем, в т.ч. основных теорем, которые
называют следствиями из аксиом. Предлагаю Вам
изучить эти теоремы самостоятельно, группами по 2
человека. Вам необходимо поработать над текстом
теорем (по карточкам), разобраться в них,
самостоятельно проиллюстрировать их и записать
символически. В результате этой работы у каждого
в тетради должны появиться формулировки двух
следствий, чертежи и символическая запись. (Получают
карточки. Работают с текстом, обсуждают в парах
чертеж и символическую запись теорем, делают
записи в тетрадях) – Слайд №20. Преподаватель
проходит по аудитории, контролирует качество
записей, оказывает консультативную помощь;
вызывает к доске поочередно 2 обучающихся для
записей на доске.
Содержимое карточек – Приложение 2.
– Предлагаю Вам проверить себя, свериться с записями на доске. (Два отвечающих поочередно выходят к интерактивной доске, выполняют иллюстрации) – Слайд №20, Записи на доске, сделанные отвечающими.
– У кого из Вас получились такие же
чертежи? Кто не допустил ошибок при описании
теорем символами? Какие неточности или ошибки Вы
допустили? (Поднимают руки, называют ошибки)
– Эти теоремы, действительно, опираются на
аксиомы. В первом следствии достаточно на прямой a
взять две точки B и C – по первой аксиоме
докажем существование единственной проходящей
через них плоскости. Во втором следствии
достаточно на одной из прямых взять точку, не
совпадающую с точкой пересечения – по первому
следствию докажем существование единственной
проходящей через них плоскости. (Дополняют
чертежи в тетрадях) Преподаватель дополняет
чертежи, сделанные обучающимися на доске.
– Аналогично, опираясь на теорему 1 , можно
показать, что через 2 параллельные прямые
проходит плоскость, причем только одна. Сделайте
запись в тетрадь, желающий – иллюстрацию у доски.
(В тетрадях записывают формулировку теоремы,
обозначения и зарисовывают иллюстрацию, один из
студентов работает у доски)
5. Закрепление изученного материала
– Давайте закрепим полученные знания. Выполним упражнения устно.
- 1. Назовите способы однозначного задания плоскости (Чрез какие основные фигуры можно провести единственную плоскость?) (Рассуждают, называют способы: Три точки, не лежащие на одной прямой. Прямая и не лежащая на ней точка. Две пересекающиеся прямые. Две параллельные прямые) – Слайд №22
- 2. По рисунку ответьте, сколько плоскостей можно
провести через выделенные элементы.
(Как называется геометрическое тело, изображенное на рисунках?) (Рассуждают, называют варианты) – Слайд №23, модель куба
6. Подведение итога урока, выставление оценок за урок
– Итак, подведем итог. Сегодня Вы начали
изучать новый раздел. Как он называется? Что
обозначает слово «Стереометрия»? Зачем ее
изучать? («Стереометрия» обозначает
«измерение в пространстве». Стереометрия
знакомит нас с разнообразием пространственных
форм, законами их восприятия и изображения. Она
применяется в жизни человека, в будущей
профессии) – Слайд №24
– Какие фигуры принято считать
основными в стереометрии? Почему? (Точка,
прямая, плоскость. Из них составляются все
геометрические фигуры)
– Какими утверждениями связаны основные фигуры?
(Аксиомами и теоремами (следствиями))
– Вы занимались сегодня хорошо. Вас
заинтересовала тема урока? Что особенно
запомнилось? (Отвечают)
– Оценки за урок получают:… (за верные ответы с
места и интересные примеры, за верные ответы у
доски, за продуктивную работу в группах)
7. Домашнее задание – Слайд №25
- Выучить формулировки аксиом и теорем, учиться делать к ним иллюстрации.
- Учиться приводить примеры из окружающей действительности для каждой аксиомы и теоремы