Урок-семинар по теме "Решение тригонометрических уравнений"

Бростыло Нина Владимировна, учитель математики

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентации к уроку

Загрузить презентацию (655 кБ)

Загрузить презентацию (1 МБ)

Цели урока:

повторить и обобщить различные методы решений тригонометрических уравнений;
формировать умения применять изученные методы к решению уравнений;
развивать познавательную активность и творческие способности;
воспитывать интерес к предмету.

Оборудование: компьютер с необходимым программным обеспечением, доска, мультимедийный проектор, экран.

Программное обеспечение: текстовый процессор MS Word, 2007, программа-приложение MS Power Point, 2007

ХОД УРОКА-СЕМИНАРА

1. Оргмомент (Презентация 1 «Настроимся на урок»)

2. «Плюс-минус» – самопроверка учащимися тетрадей, в которых записаны схемы решения каждого из простейших тригонометрических уравнений (слайды 6,7, 8)

3. «математическая разминка» – устный счет (слайд 5)

Решите уравнения:                                   Вычислить:

sin x =                               arcsin (–1)                     arcsin (2)
tg3x = –3                                arccos 3                         arccos (– )
cos 2x = –1                             arccos 1                         arccos

4. «Ступени действий» – рассматриваются методы решений тригонометрических уравнений.

1 ступень: решение тригонометрических уравнений, содержащих одну и ту же функцию одного и того же аргумента, методом подстановки.

а) 3 cos2 – cos –2 = 0

Решение:

Пусть cos = t, | t | < 1, тогда 3t² – t – 2 = 0,
t₁ = 1, t₂ = –

cos =1 или cos = –

= 2πk, k Z = ± arccos (–) + 2πn, n Z

X= 4πk, k Z x = ± 2arccos (– ) + 4πn, n Z

Ответ: 4πk, k Z; ± 2arccos (– )+ 4πn, n Z

б) 2 sin²2x + 5 sin2x – 3 = 0.

Решение:

Пусть sin2x = t, | t | < 1, тогда

2 t² + 5t – 3 = 0, D = 25 + 24 = 49

t₁ =, t₂ = – 3, | –3| > 1, значит

sin2x =

2x = (–1) n arcsin () + πn, n Z

х = (–1) n +, n Z

2 ступень: решение тригонометрических уравнений, приводящихся к предыдущему типу, по формулам:

а) sin²x + cos²x = 1;
б) tg x · ctg x = 1;
в) cos2x = 2 cos²x – 1;
г) cos2x = 1 – 2 sin²x.

а) 4 sin²x + cos x – 3 = 0

Решение:

sin²x = 1 – cos² x,
4 – 4 cos²x + cos x – 3 = 0,

4 cos²x – cos x – = 0,

8 cos²x – 2cos x – 1 = 0,

Пусть cos x = t, | t | < 1, тогда

8 t² – 2 t – 1 = 0, = 1 + 8 = 9

t₁ = – , t₂ = ,

х = ±(π – arccos) +2πn, n Z или х = ± arccos + 2πk, k Z

х = ± + 2πk, k Z

Ответ: ±(π – arccos) + 2πn, n Z; ± + 2πk, k Z.

б) cos – 5 cos –2=0.

Решение:

Пусть cos = t, | t | < 1, тогда = 2t² – 1,

2t² – 5t – 3 = 0, D = 25 + 24 = 49

t₁ = – , t₂ = 3, |3| > 1, значит

cos = –

= ± (π – arccos) + 2πn, n Z;

= ± + 2πn, n Z;

х = ±2π + 6πn, n Z.

Ответ: ±2π + 6πn, n Z.

3 ступень: решение однородных тригонометрических уравнений

a sin x + b cos x =0, cos x 0,

a tg x + b = 0,

tg x = –,

х =– arctg + πk, k Z.

а) 3 sin²x + sin x cos x= 2 cos²x.

Решение:

3 sin²x + sin x cos x – 2 cos²x = 0, |: cos²x 0,
3 tg²x + tg x – 2 = 0.

Пусть tg x = t, тогда

3 t² + t – 2 = 0, D = 1 + 24 = 25,

t₁ = – 1, t₂ =

tg x = – 1, tg x = ,

x = – + πn, n Z, x = arctg + πk, k Z.

Ответ: – + πn, n Z , arctg + πk, k Z.

б) sin 2x – 2 cos²x = 0,

Решение:

2 sin x cos x – 2 cos²x = 0,

2cos x (sin x – cos x) = 0,

cos x = 0 или sin x – cos x = 0,

x = (т.к. x = не является корнем уравнения и cosx 0, то разделим обе части на cosx)

tg x = 1,

x = + πn, n Z.

Ответ: , + πn, n Z.

в) sin²x – sin 2x = 0.

Решение:

sin²x – 2 sin x cos x = 0,
sin x (sin x – 2cos x) = 0,
sin x = 0 или sin x – 2cos x = 0
x = πn, n Z, cosx 0,
tg x = 2,
x = arctg 2 + πk, k Z.

Ответ: πn, n Z , arctg 2 + πk, k Z.

ЗАМЕЧАНИЕ!!! Уравнение 2 sin xcos x – 2 cos²x = 0 почленно нельзя делить на cos²x, так как потеряли бы серию корней , или нужно было это учесть.

4 ступень: Решение тригонометрических уравнений путем разложения на множители. Метод разложения на множители зависит от выбора той или иной формулы тригонометрии. Тригонометрические выражения во многих случаях подчиняются трём «законам», которые сформулированы в шутливой форме:

ПЕРВЫЙ ЗАКОН: «Увидел сумму – делай произведение».
ВТОРОЙ ЗАКОН: «Увидел произведение – делай сумму»
ТРЕТИЙ ЗАКОН: «Увидел квадрат – понижай степень».

а) sin²x + sin²2x + cos²3x + cos²4x = 2,

по «третьему закону» понижаем степени по формулам

sin²x = , cos²x = , тогда

+ + + = 2.

(cos 6x + cos 8x) – (cos 2x + cos 4x) = 0.

По «первому закону» воспользуемся формулой для суммы косинусов и приведем предыдущее уравнение к виду:

2 cos 7x cos x – 2 cos 3x cos x = 0.

Вынесем общий множитель и снова воспользуемся «первым законом»

cos x (cos 7x – cos 3x) = 0,

2 cos 5x cos x sin 2x = 0.

Пришли к совокупности уравнений:

Заметим, что значения x1 полностью поглощаются значениями x3, запишем окончательный результат: x = , x=.

Ответ:

в) cos x cos2 x = sin()sin() + sin()cos( ).

Решение:

В этом уравнении мы видим три пары множителей. Поэтому естественно применить «второй закон», преобразовав каждую пару множителей в сумму двух слагаемых.

= + .