Тип урока: комбинированный (обобщение изученного и изучение нового материала).
Цели:
- развитие умений обобщать, абстрагировать и конкретизировать свойства изучаемых объектов и отношений;
- систематизация знаний и умений по теории множеств, элементам комбинаторики;
- формирование знаний о теории графов и умений применять графы при решении комбинаторных задач;
- воспитание уважительного отношения друг к другу, чувства коллективизма, ответственности в ходе групповых игр.
Ход урока
1. Проверка домашнего задания.
Задача Леонарда Эйлера:
Трое господ при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Сколько существует вариантов, при которых каждый из них получит чужую шляпу?
Решение:
1 способ: дерево возможных вариантов:
2 способ: правило произведения:
1) 3х2=6 вариантов (по отдельности) 2) 6:3=2 варианта (всего)
Ответ: 2 варианта.
Учащиеся проверяют домашнее задание.
2. Фронтальный опрос – устная проверка знаний по теме “Множества”.
-Учитель задает вопросы, учащиеся отвечают с места.
| Вопрос | Ответы уч-ся |
| 1) Что такое множество? | Множество – это объединение предметов, субъектов, обладающих общим признаком. |
| 2) Что называется элементами множеств? | Элементы – это предметы, субъекты, составляющие данное множество. |
| 3) Приведите примеры множеств. | а) учащиеся школы; б) все натуральные числа; в) все люди планеты. |
| 4) Какие множества называются конечными и бесконечными? | Множество конечно – если можно
перечислить все элементы множества. Множество бесконечно – если невозможно перечислить все элементы множества. |
| 5) Что такое объединение множеств? | Объединение – это множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств. |
| 6) Что такое пересечение множеств? | Пересечение – это множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из данных множеств. |
| 7) Что значит – два множества не пересекаются? | У них нет общих элементов. |
| 8) Какое множество называется пустым? Его обозначение. | Пустое – это множество, в котором нет элементов. |
| 9) Правило нахождения числа элементов объединения множеств. | Надо сложить число элементов двух множеств и из суммы вычесть число элементов их пересечения. |
| 10) Записать формулу правила. | qi=m+n-pn |
| 11) Правило нахождения числа элементов пересечения множеств. | Надо сложить число элементов двух множеств и из суммы вычесть число элементов их объединения. |
| 12) Записать формулу правила. | qn=m+n-pu |
3. Систематизация знаний и умений по теме “Множества”
Игра “Молчанка”.Учитель задает вопрос. Один учащийся отвечает с места. Если ученики согласны с отвечающим, то поднимают зеленую карточку, а если нет – красную.
| Вопрос | Ответы уч-ся |
| 1) Определите общий признак для
элементов данного множества и назовите еще 2
элемента.
|
 Общий признак: все элементы являются четырехугольниками |
| 2) Указать конечно или бесконечно
множество. множество всех звезд, которые может видеть человек |
бесконечное |
| 3) Найдите пересечение множеств:
|
 |
| 4) Найдите объединение множеств: множество всех четных и нечетных чисел |
множество натуральных чисел |
| 5) Вычислить число элементов
пересечения: М – 27 элем. N – 18 элем. M |
нуль элементов, т.е. пустое множество |
и 
N – 45 элем.4. Устная проверка знаний по теме “Комбинаторика”.
Фронтальный опрос.
Учитель задает вопросы, учащиеся отвечают с места.
| 1) Что такое комбинаторика? | Это раздел математики, где решаются задачи подсчета числа комбинаций, составленные из определенных элементов. |
| 2) Что такое логика? | Логика – это искусство рассуждать и делать правильные выводы. |
| 3) Правило произведения для решения комбинаторных задач. | Если элемент А можно выбрать из множества элементов n способами и для каждого из них элемент В можно выбрать m способами, то пару элементов А и В можно выбрать n m способами. |
| 4) Что еще применяется для решения комбинаторных задач? | - Круги Эйлера - Дерево возможных вариантов |
5. Систематизация знаний и умений по теме “Комбинаторика”.
Игра “Математический турнир”.
Весь класс делится на 2 команды. Каждой команде выдаются карточки с задачами. Учащиеся решают задач и затем представители команд объясняют решение задач у доски.
| I команда | II команда |
| №1. Решить задачу с помощью кругов Эйлера. | |
| Вася ходит раз в неделю в шахматную
секцию и раз в неделю в шашечную. В шахматной
секции, считая Васю, занимаются 8 чел., а в
шашечной – 10 чел. С тремя из них он встречается на
занятиях секций дважды в неделю. Сколько всего
ребят занимается с Васей в обеих секциях?
Решение: 8+10-4=14 чел. Ответ: 14 чел. |
На двух соревнованиях по бегу на
коньках выступали 37 спортсменов. Из них на
дистанции 500 м бежали 23 конькобежцев. Сколько
спортсменов бежало на обеих дистанциях?
Решение: 23+19-37=6 спортсм. Ответ: 5 спортсменов |
| №2. Решить задачу с помощью правила произведения. | |
| В магазине продают береты 5-ти размеров
и для каждого размера есть 4 варианта цветов.
Сколько видов беретов продается в магазине? Решение: 4 вида х 5 размеров = 20 видов Ответ: 20 видов беретов. |
В меню столовой для второго блюда
имеются котлеты, сосиски и отварная курица, а на
гарнир макароны, капуста, жареный картофель, рис,
гречневая каша. Сколько получается вариантов
выбора второго блюда с гарниром? Решение: 3 мясн. х 5 гарниров = 15 блюд Ответ: 15 вариантов 2-го блюда |
| №3. Решить задачу с помощью дерева возможных вариантов: | |
| Мальчик выбрал в библиотеке 5 книг. По
правилу библиотеки одновременно можно взять
только 2 книги. Сколько у мальчика вариантов
выбора 2-х книг из пяти?
Ответ: 10 вариантов |
Из 4-х ребят надо выделить двоих для
дежурства по классу. Сколькими способами это
можно сделать? * Ответ: 6 способов |
За каждую задачу по 5 баллов и каждая команда имеет 3 “жизни”: если представители команд, которые защищают честь команды у доски, не могут справиться с заданием, то они могут попросить помощи либо у команды, либо у учителя, но при этом 1 “жизнь” сгорает.
Далее к доске вызываются капитаны команд.
Учитель задает вопрос: Что такое анаграмма?
Ответ капитанов – это слово, полученное из данного слова перестановкой букв.
Конкурс капитанов.
Задание для капитанов: сколько анаграмм можно составить из слов:
Задание для капитана 1 команды:
СЛОН
Решение:
Ответ: 24 анаграммы
Задание для капитана 2 команды:
СТОГ
Решение:
Ответ: 24 анаграммы
Учитель: Эту же задачу можно решить проще!
Если обозначить буквы цифрами, т.е. числом перестановки: С, Л, О, Н – 1, 2, 3, 4, тогда число перестановок можно найти: 1х2х3х4=24 перестановки.
Число перестановок из n элементов равно произведению первых натуральных чисел – n! – “эн факториал”.
n!=1 2 3 4 5......
Слово “факториал” происходит от английского слова “factor” или “множитель”.
Подводятся итоги математического турнира 1 и 2 команд.
6. Изучение нового материала
Сообщение учащегося по теме “Теория графов. Графы и их применение”
(презентация: Приложение теория графов и их применение.pps )
7. Задание на дом: составить генеалогическое древо своей семьи.
8. Закрепление пройденного материала.
Самостоятельная работа по рабочим тетрадям.
Комбинаторика.
№1. Сколько натуральных чисел, меньших 10 000, можно записать с помощью цифр 0 и 9?
Запишите все эти числа в порядке возрастания:
9, 90, 99, 900, ______________________________________________________
№2. Андрей зашел в магазин, чтобы купить майки. В магазине оказались майки четырех цветов: белые, голубые, красные, черные.
а) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две майки?
Обозначьте цвета маек буквами Б, Г, К, Ч. Запишите все возможные варианты покупки, осуществляя их перебор в алфавитном порядке:
ББ, БГ, ___________________________________________________________
Ответ: ____________________________________________________________
б) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две майки разного цвета?
Ответ: ____________________________________________________________
№3. В турнире по настольному теннису участвовало пять человек.
а) Сколько было сыграно партий, если каждый участник сыграл с остальными по одной партии?
Ответьте на вопрос, используя способ кодирования: обозначьте участников турнира цифрами 1, 2, ... . Запишите возможные варианты партий в форме треугольника:
12 13 ...
23 ...
Ответ: ____________________________________________________________
б) Сколько было сыграно партий, если каждый участник сыграл с остальными по две партии?
Ответ: ____________________________________________________________
№4. В студии современного танца лучше всех танцуют четыре девочки – Аня, Ира, Оля и Яна и три мальчика – Боря, Володя и Гриша. Руководитель студии должен отправить на конкурс одну танцевальную пару, составленную из мальчика и девочки. Из скольких вариантов он должен выбирать?
Решите эту задачу, закончив построение дерева возможных вариантов.
Девочка А
Мальчик Б В Г
Ответ: __________________________________________________________
Решите эту задачу, используя правило умножения.
________________________________________________________________
№5. Сколько имеется трехзначных натуральных чисел, все цифры в записи которых различны?
Постройте фрагмент дерева возможных вариантов и примените, если это возможно, правило умножения.
Первая цифра 1 2 3 4 5 ...
Вторая цифра
...............
Ответ: __________________________________________________________
№6. В 6 классе изучается 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть пять уроков и все разные?
На первом уроке можно провести любой из восьми предметов, на втором уроке – любой из оставшихся семи предметов,
на третьем уроке – ______________________________________________
Число вариантов расписания равно: 8 _______________________________
Ответ: __________________________________________________________
№7. Сколько надо перебрать вариантов, чтобы открыть кодовый замок, если его код состоит из одной гласной буквы (а, е, и, о, у, э, ю, я), за которой следуют четыре цифры?
(Решите задачу, построив фрагмент дерева возможных вариантов или используя способ рассуждений, рассмотренный в задании №6)
Ответ: __________________________________________________________
9. Подведение итогов урока.
Выставление оценок.