Пояснительная записка
Векторный и координатный методы решения задач – очень популярный и эффективный метод в геометрии и не только. Однако его формальное применение может значительно затруднить решение даже самой простой задачи. Общий уровень геометрической (особенно стереометрической) подготовки выпускников по-прежнему остается достаточно низким. Поэтому в данном курсе рассматриваются эффективные приемы использования указанных методов и примеры решения задач. Координатный метод решения задач на сегодняшний день самый мощный и при правильном подходе позволяет решить фактически все виды математических, физических, астрономических и технических задач. Кроме того, координатный метод в рамках школьной программы используется достаточно ограниченно и неполно.
Данный элективный курс предназначен для выпускников средних общеобразовательных учреждений.
Целью курса является разработка методики
обучения векторно-координатному методу решения
задач школьного курса геометрии 10-11 класса.
Достаточно простой в применении, метод координат
является необходимой составляющей решения задач
различного уровня. Использование данного метода,
позволяет учащимся значительно упростить и
сократить процесс решения задач, что помогает им
при дальнейшем изучении, как школьного курса
математики, так и при изучении математики в
высших учебных заведениях. С помощью
векторно-координатного метода можно быстро и
успешно решать стереометрические задачи из ЕГЭ в
блоке С (задание С2).
В рамках данного элективного курса
рассматриваются типовые задачи ЕГЭ – С 2, их
решение с помощью координатно-векторного
метода.
Координатно-векторный метод имеет преимущества перед другими, что не требует сложных построений в проекциях. По той простой причине, что этот метод заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними), то есть одно без другого не работает. Этот метод – довольно мощный (то есть ему поддаются даже самые «непробиваемые» казалось, бы задачи). Все те соотношения, которые при решении традиционным методом даются с большим трудом (через привлечение большого количества вспомогательных теорем), здесь получаются как бы сами собой, в ходе вычислений. Весь этот подход, развитый до своего логического завершения, в высшей математике получает название аналитической геометрии.
Единственный его, пожалуй, недостаток – это требуемый нередко большой объем вычислений. Координатно-векторный метод представлен практически во всех учебниках, но большее внимание ему уделено в задачнике Потоскуева Е.В. и Звавича Л.И.
Задачи элективного курса:
- формирование понятия вектора как направленного отрезка, умений применения вектора к решению простейших задач;
- обобщение изученного в базовой школе материала о векторах на плоскости, систематизация сведений о действиях с векторами в пространстве;
- формирование умений применять координатный и векторный методы к решению задач на нахождение углов между прямыми, прямыми и плоскостями, плоскостями в пространстве;
- формирование умений применять координатный и векторный методы к решению задач на нахождение расстояний от точки до плоскости, между двумя прямыми, от точки до прямой;
- формирование устойчивого интереса к математике у учащихся, имеющих к ней склонности; и развитие их математических способностей;
- формирование умений решать задачи, отвечающие требованиям для поступающих в вузы, где математика является одним из профилирующих предметов;
- овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности;
- формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научного прогресса;
- развитие логического мышления, обогащение и расширение математического кругозора учащихся.
Требования к уровню усвоения курса
В результате изучения данного курса учащийся должен владеть следующими компетенциями:
- Освоить определённый набор приёмов векторного и координатного методов решения геометрических задач и уметь применять их при решении задач.
- Владеть основными принципами математического моделирования, умением выполнять необходимые эскизы к решаемым задачам.
- Приводить полные обоснования при решении задач, используя при этом изученные теоретические сведения, необходимую математическую символику.
Ключевые компетенции, общеучебные и интеллектуальные навыки
- Информационная компетенция
- Владеть всеми видами чтения (ознакомительное, просмотровое, поисковое и др.), пользоваться аналитическим и объяснительным чтением.
- Работать с основными компонентами учебной литературы (оглавление, вопросы, задания, словарь, приложения, иллюстрации, схемы, таблицы, сноски), извлекать из них нужную информацию.
- Уметь критически воспринимать свою и чужую речь, определять способы ее совершенствования, отделять основную информацию от второстепенной. Анализировать и рецензировать ответы товарищей, давать им оценку.
- Уметь самостоятельно делать выводы и обобщения.
- Уметь работать в Интернете, находить необходимую информацию.
- Учебно-познавательная компетенция
- Уметь самостоятельно и мотивированно организовывать свою познавательную деятельность (от постановки цели до получения и оценки результата).
- Уметь предвидеть возможные последствия своих действий. Определять проблемы своей деятельности. Находить и устранять причины возникших трудностей.
- Владеть навыками организации и участия в коллективной деятельности: определить общую цель и установить средства ее достижения, конструктивно воспринимать иные мнения и идеи, учитывать индивидуальности партнеров по совместной деятельности, объективно определять свой вклад в общий результат.
- Исследовать несложные реальные связи и зависимости. Определять сущностные характеристики изучаемого объекта; самостоятельно выбирать критерии для сравнения, сопоставления, оценки и классификации объектов.
- Коммуникативная компетенция
- Уметь вести диалог в групповом взаимодействии, следовать этическим нормам и правилам ведения диалога.
- Уметь развернуто обосновывать суждения, давать определения. Объяснять изученные положения на самостоятельно подобранных конкретных примерах.
Формы контроля: домашние контрольные работы, зачеты.
Организация учебного процесса
Программа рассчитана на одно полугодие, один час в неделю (всего 17 часов). Она состоит из двух разделов и содержит систему понятий из областей: векторы и координаты в пространстве, углы между прямыми, прямыми и плоскостями, плоскостями в пространстве, расстояние от точки до плоскости, между двумя прямыми, от точки до прямой. Каждый из разделов состоит из отдельных пунктов, в которых разбираются типовые задачи и задачи более высокого уровня сложности, затем даются задания для самостоятельного решения.
Элективный предмет имеет практико-ориентированную направленность. Формы занятий разнообразны: семинары, практикумы, уроки-консультации. Отработка и закрепление основных умений и навыков осуществляется при выполнении практических заданий, тестов ЕГЭ прошлых лет. В рамках данного курса предполагается углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе изучения некоторых тем, учитывающих перспективы создания новых стандартов школьного математического образования в профильной школе.
В преподавании данного курса важным является выбор рациональной системы методов и приемов обучения. Учебный процесс ориентирован на рациональное сочетание устных и письменных видов работы. Программа построена с учетом принципов системности, научности, доступности и обеспечивает выполнение обязательных требований государственных стандартов.
ПРОГРАММА
I. Векторы и координаты (4 часа)
- Понятие вектора. Действия над векторами. Угол между векторами. Координаты вектора. Длина вектора. Скалярное произведение векторов.
- Понятие базиса в пространстве. Векторы в пространстве. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам.
- Матрица. Определители. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Нормальный вектор плоскости.
II. Основы аналитической геометрии (13 часов)
- Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве.
- Угол между плоскостями.
- Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Общие точки прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
- Расстояние от точки до плоскости в координатах.
- Расстояние между двумя прямыми.
- Расстояние от точки до прямой.
Учебно-тематический план
№ п/п | Название темы |
Количество часов |
I. Векторы и координаты | 4 | |
1 | Понятие вектора. Действия над векторами. Угол между векторами. Координаты вектора. Длина вектора. Скалярное произведение векторов. |
1 |
2 | Понятие базиса в пространстве. Векторы в пространстве. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам. |
1 |
3-4 | Матрица. Определители. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Нормальный вектор плоскости. |
2 |
II. Основы аналитической геометрии | 13 | |
5 | Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве. |
1 |
6-7 | Угол между плоскостями. | 2 |
8-9 | Взаимное расположение прямой и плоскости в
пространстве. Общие точки прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. |
2 |
10-11 | Расстояние от точки до плоскости в координатах. | 2 |
12-13 | Расстояние между двумя прямыми. | 2 |
14-15 | Расстояние от точки до прямой. | 2 |
16 | Решение задач. | 1 |
17 | Контрольная работа. | 1 |
Всего | 17 |
Литература:
- Александров А.Д. и др. Геометрия для 10-11 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики – М.: Просвещение, 1992
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия: Учебник для 10-11 кл. ср. шк. – М.: Просвещение, 2009
- Борзенко Е.К., Корнева И.Г. Решение стереометрических задач: Методические рекомендации. – Бийск: РИО БПГУ им. В.М. Шукшина, 2005.
- Геометрия 10-11 кл.: учеб. для ест.-научного профиля. Под ред. Смирновой И.М.– М.: Просвещение, 2003.
- ЕГЭ-2011. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов / под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: Национальное образование, 2010. (ЕГЭ-2011. ФИПИ – школе).
- Единый государственный экзамен: Математика: Сборник заданий. – М.: Просвещение, 2005
- Математика. Диагностические работы в формате
ЕГЭ. – М.: МЦНМО, 2011.
Математика: ЕГЭ 2011: Контрольные тренировочные материалы с ответами и комментариями (Серия «Итоговый контроль: ЕГЭ») / Ю. М. Нейман, Т. М. Королёва, Е. Г. Маркарян. – М.; СПб.: Просвещение, 2011 - Потоскуев Е. В., Звавич Л. И. Геометрия 11 кл.: задачник для общеобразовательных учреждений с углубл. и профильн. изучением математики. – М.: Дрофа, 2004
- Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – СПб., 1995
- Смирнов В. А. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия / Под ред. А. Л. Семенова и И.В.Ященко. – М.: МЦНМО, 2011.
- Холева, О. В. Нахождение углов между прямыми и плоскостями (координатно-векторный метод)// Математика в школе. – 2011. – №4.
- Интернет-ресурсы.