Тема “Движения” была достаточно развернуто (в течение 10 часов) рассмотрена в 9-м классе, но это были начальные понятия, связанные с движением на плоскости. В 11-м классе уместно было бы рассмотреть все виды симметрии и подобия, как на плоскости, так и в пространстве в совокупности. Упрочить и обобщить уже полученные ранее знания. При этом уже более широко взять примеры, а, главное, применение в жизни. Задуманный таким образом двухчасовой урок вылился в открытый урок-мероприятие для всей параллели 11-х классов (шесть классов: историко-филологический, химико-биологический, экономический и три физико-математических) в рамках Математического месячника в Гимназии им. академика Н.Г. Басова при Воронежском госуниверситете. И в аналогичную пару открытых уроков для экономических 11-х классов Школы-интерната “Лицей одаренных детей” Филиала ФГБОУ ВПО “Российский государственный социальный университет” в Воронеже, в котором я так же преподаю математику.
Урок нес ярко выраженную просветительскую цель: учащиеся вместе с учителем стремились осознать особенности отражения объективной реальности средствами математики, подчеркнуть широту применения математических понятий и идей, и тем самым выразить свое уважение и восхищение математикой!
Необходимо отметить, что в процессе урока – перед главной презентацией “Движения” был использован в переработанном виде видеоролик сайта http://joyreactor.cc/tag как вступление к теме, мы его назвали “Симметрия и асимметрия жизни”, а также начало фильма ФРАКТАЛЫ PBS.NOVA.Fractals.Hunting.The.Hidden.Dimension.2008.BDRip.720p.x264.AC3.Rus.
В презентации 1 использованы материалы из проекта МОУ Средняя общеобразовательная школа с. Грачев Куст Перелюбского муниципального района Саратовской области “Геометрия в архитектуре храмов”, учитель Подстречная Л.Д.
В подготовке материала к уроку и его проведения мне особо помогли: учащиеся 11 “Г” Гимназии им. академика Н.Г. Басова при Воронежском госуниверситете Свиридова Наталья, Слезавин Никита, Медведев Дмитрий, Колесов Александр, Ковыршина Анна, Семенова Анна, Чижиков Артем, Дудник Юлия, Глебко Александра, Желтоухов Максим, Долматов Валерий, Степанищев Антон, Першуков Никита и учащиеся Школы-интерната “Лицей одаренных детей” Толстов Влад (11 “Б”) и Кривых Владимир (11 “В”).
Урок (2 часа)
“Симметрия... есть идея, с помощью которой
человек веками пытался объяснить
и создать порядок, красоту и совершенство”.
Герман Вейль
Цели и задачи урока:
Образовательные
- обобщить все виды Движения;
- показать широкий спектр Движения в природе и повседневной жизни;
- показать взаимосвязь теории с практикой, теории и жизни;
- познакомить учащихся с Фракталами;
- формировать умения применять полученные знания при решении разнообразных задач прикладного характера.
Развивающие
- повышать интерес учащихся к изучению геометрии;
- активизировать познавательную деятельность учащихся;
- формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые для продуктивной жизни в обществе.
Воспитательные
- мотивировать интерес учащихся к предмету посредством расширения горизонтов их знаний.
Используемые ТСО: проектор, ноутбук, интерактивная доска.
Ход урока
(приводится только основная информативная часть, которой нет на слайдах. Все комментарии учителя и вопросы учеников – по ходу работы у каждого будут свои, поэтому также не привожу их в целях экономии места.)
Слайды 1-3 (Презентация 1) Вступительное слово
По справедливому замечанию Германа Вейля (известный математик прошлого столетия), у истоков симметрии лежит математика. Замечательные слова, сказанные им: “Симметрия... есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство”.
Но вместе с тем симметрия воспринимается нами как элемент красоты вообще и красоты природы в частности. Математики вкладывают в понятие симметрия точный математический смысл, рассматривают специальные виды симметрии. И в результате симметрия становится мощным средством математических исследований, помогает решать трудные задачи.
Принципом симметрии пронизаны многообразные физические и биологические законы гравитации, электричества и магнетизма, ядерных взаимодействий, наследственности, начиная от текстильного производства, кончая тонкими вопросами строения вещества.
“Новым в науке явилось не выявление принципа симметрии, а выявление его всеобщности”,— писал Вернадский. Действительно, еще Платон заметил, что атомы четырех стихий — земли, воды, огня и воздуха — геометрически симметричны в виде правильных многогранников. И хотя сегодня “атомная физика” Платона кажется наивной, принцип симметрии и через два тысячелетия остается основополагающим принципом современной физики атома. За это время наука прошла путь от осознания симметрии геометрических тел к пониманию симметрии физических явлений.
Слайд 4-5 (Презентация 1) Центральная симметрия
Понятие центральной симметрии следующее: “Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О, также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры”. Поэтому говорят, что фигура обладает центральной симметрией [1].
Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма – точка пересечения его диагоналей. Любая прямая также обладает центральной симметрией. Однако, в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии, у прямой их бесконечно много – любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является произвольный треугольник.
Просмотр видеоролика Центральная симметрия (по щелчку).
Слайд 6-9 (Презентация 1) Осевая симметрия
Понятие осевой симметрии представлено следующим образом: “Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая a называется осью симметрии фигуры”. Тогда говорят, что фигура обладает осевой симметрией.
В более узком смысле осью симметрии называют ось симметрии второго порядка и говорят об “осевой симметрии”, которую можно определить так: фигура (или тело) обладает осевой симметрией относительно некоторой оси, если каждой её точке Е соответствует такая принадлежащая этой же фигуре точка F, что отрезок EF перпендикулярен к оси, пересекает её и в точке пересечения делится пополам.
Приведу примеры фигур, обладающих осевой симметрией. У неразвернутого угла одна ось симметрии — прямая, на которой расположена биссектриса угла. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии, а равносторонний треугольник - три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии, а квадрат - четыре оси симметрии. У окружности их бесконечно много — любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии.
Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.
Просмотр видеоролика Осевая симметрия (по щелчку).
Слайд 10 (Презентация 1) Симметрия в живой природе
Среди бесконечного разнообразия форм живой и неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образцы, чей вид неизменно привлекает наше внимание и ласкает наш взгляд. К числу таких образцов относятся некоторые кристаллы и микробы, многие животные и растения. Мы постоянно любуемся прелестью каждого отдельного цветка, мотылька или раковины и всегда пытаемся проникнуть в тайну их красоты.
Слайд 11-12 (Презентация 1) Зеркальная симметрия
Зеркальная симметрия хорошо знакома каждому человеку из повседневного наблюдения. Как показывает само название, зеркальная симметрия связывает любой предмет и его отражение в плоском зеркале. Говорят, что одна фигура (или тело) зеркально симметрично другой, если вместе они образуют зеркально симметричную фигуру (или тело).
Игрокам в бильярд издавна знакомо действие отражения. Их “зеркала” — это борта игрового поля, а роль луча света исполняют траектории шаров. Ударившись о борт возле угла, шар катится к стороне, расположенной под прямым углом, и, отразившись от неё, движется обратно параллельно направлению первого удара.
Просмотр видеоролика Зеркальная симметрия (по щелчку).
Важно отметить, что два симметричных друг другу тела не могут быть вложены или наложены друг на друга. Так перчатку правой руки нельзя надеть на левую руку. Симметрично зеркальные фигуры при всём своём сходстве существенно отличаются друг от друга. Чтобы убедиться в этом, достаточно поднести лист бумаги к зеркалу и попытаться прочесть несколько слов, напечатанных на ней, буквы и слова просто-напросто будут перевёрнуты справа налево. По этой причине симметричные предметы нельзя называть равными, поэтому их называют зеркально равными.
Слайд 13-14 (Презентация 1) Гомотетия (текст на слайдах)
Слайд 15-16 (Презентация 1) Симметрия вращения (поворотная)
Тело (или фигура) обладает симметрией вращения, если при повороте на угол 360?/n, где n целое число, около некоторой прямой АВ (ось симметрии) оно полностью совмещается со своим исходным положением. Если число n равно 2, 3, 4 и т.д., то ось симметрии называется осью второго, третьего и т.д. порядка.
Радиальная симметрия – форма симметрии, сохраняющаяся при вращении объекта вокруг определённой точки или прямой. Часто эта точка совпадает с центром тяжести объекта, то есть той точкой, в которой пересекается бесконечное количество осей симметрии. Подобными объектами могут быть круг, шар, цилиндр или конус.
Приведу примеры тел, обладающих перечисленными видами симметрии.
Шар обладает и центральной, и зеркальной, и осевой симметрией. Центром симметрии является центр шара, плоскостью симметрии — плоскость любого большого круга; осью — любой диаметр шара. Порядок оси — любое целое число.
Круглый конус имеет осевую симметрию (любого порядка); ось симметрии — ось конуса.
Правильная пятиугольная призма имеет плоскость симметрии, идущую параллельно основаниям на равном от них расстоянии, и ось симметрии пятого порядка, совпадающую с осью призмы. Плоскостью симметрии может также служить плоскость, делящая пополам один из двугранных углов, образуемых боковыми гранями.
Слайд 17-18 (Презентация 1) Симметрия в природе и геометрии
Нас удивляет и архитектура пчелиных сот, и расположение семян на шапке подсолнечника, и винтообразное расположение листьев на стебле растения.
У биологических объектов встречаются следующие типы симметрии:
а) сферическая симметрия — симметричность относительно вращений в трёхмерном пространстве на произвольные углы;
б) симметрия n-го порядка — симметричность относительно поворотов на угол 360°/n вокруг какой-либо оси;
в) аксиальная симметрия (радиальная) — симметричность относительно поворотов на произвольный угол вокруг какой-либо оси;
г) двусторонняя (билатеральная) симметрия (от би... и лат. lateralis — боковой) — симметричность относительно зеркального отражения; выражается в том, что тело живых организмов делится срединной плоскостью на правую и левую половины, представляющие как бы зеркальное отражение одна другой;
д) трансляционная симметрия — симметричность относительно сдвигов пространства в каком-либо направлении на некоторое расстояние;
е) три аксиальная асимметрия — отсутствие симметрии по всем трём пространственным осям.
Слайд 19-20 (Презентация 1) Симметрия в химии (текст на слайдах)
Слайд 21 (Презентация 1) Симметрия РУССКОГО АЛФАВИТА и слов
Все мы читали сказку А. Толстого “Золотой ключик” и смотрели фильм или мультфильм. Там Мальвина диктовала Буратино всем известную “волшебную” фразу: “А роза упала на лапу Азора”. Она читается и слева направо и справа налево одинаково. Автором этой фразы считается русский поэт XIX века А.А.Фет.
Это и есть так называемый “палиндром”. Палиндромом (от гр. Palindromos – бегущий обратно) можно назвать некоторый объект, имеющий линейную или циклическую форму организации, в которой задана симметрия составляющих от начала к концу и от конца к началу; текст, или, шире, некоторое словесное построение, которое одинаково (или приблизительно одинаково, с некоторыми допущениями) читается по буквам слева направо и справа налево.
Классический пример палиндрома:
Я – арка края (В. Брюсов).
Приведу примеры некоторых палиндромов:
А Вера - рева
А к порту тропка
Аргентина манит негра
Бел хлеб
Вор в лесу сел в ров
Голод долог
Диван нежен на вид
Ешь немытого ты меньше!
Ишаку казак сено нес, казаку - каши
Кит на море - романтик
Колька нес сена клок
Конус и рисунок
Лепил и пел
Леша на полке клопа нашел
Мокнет Оксана с котенком
Мороз узором
Тропа налево повела, на порт
Туши рано фонари, шут!
Встречаются иногда отрывки из стихотворений. Например,
Весна мутила дали... Туман, сев.
И гул поля, радуя, ударял о плуги.
Некоторые слова и числа также обладают симметрией, например, поп, кок, шалаш, наган и числа 101, 404, 1991, 2002 и др. Можно составить огромное количество симметричных чисел, используя только цифры от 0 до 9.
Слайды 22-37 (Презентация 1) Симметрия в архитектуре
Принцип симметрии играет важную роль и в архитектуре. “Архитектура – по словам Н.В. Гоголя – это летопись мира”. Она несет в себе уникальную информацию о жизни людей в давно прошедшие исторические эпохи.
Композиция в русской традиционной архитектуре в значительной степени основывалась на специфическом применении симметрии, широко применялись как классическая, так и неклассические симметрии. В искусстве симметрия играет огромную роль, многие шедевры архитектуры обладают симметрией. При этом обычно имеется в виду зеркальная симметрия.
Немалую роль симметрия играет в архитектурной композиции — закономерное расположение частей формы относительно друг друга. История архитектуры полна всеми видами симметричных преобразований, основными из которых являются отражение, поворот и перенос. В конкретном архитектурном сооружении зрительное восприятие симметрии достигается выявлением плоскостей или осей симметрии. Для этого на них ставятся акценты — особо значимые элементы (купола, шпили, шатры, парадные входы и лестницы, балконы и эркеры).
Слайд 38-42 (Презентация 1) Симметрия в технических объектах (текст на слайдах)
Слайд 43 (Презентация 1) Наш эксперимент (с бумажным самолетиком)
Если вы не верите в важность симметрии, проведите эксперимент с бумажным самолётиком. Сделайте 2-3 броска, когда его крылья симметричны и когда 1 крыло меньше другого. Сделайте эксперимент с центром тяжести. Прикрепите скрепку к концу крыла и посмотрите на полет самолета.
Мы увидим, что форма самолетика имеет огромное значение для траектории его полета.
Слайд 44-53 (Презентация 1) Симметрия кристаллов (системы и виды симметрии кристаллов – сингонии – на слайдах)
Ещё более ярко и систематически симметричность структуры материи обнаруживается в неживой природе, а именно в кристаллах. “Кристаллы блещут симметрией”, - писал Е. С. Федоров в своём “Курсе кристаллографии”. При слове “кристалл” в воображении рисуется первый среди драгоценных камней – алмаз: “кристальная” чистота и прозрачность, чудесная, непередаваемая игра света, идеальная, правильная форма. Но теперь алмазы не только предмет роскоши. Сегодня они служат для обработки наиболее твёрдых металлов и сплавов. Без них не мыслится современная металлообрабатывающая промышленность.
Оказывается, не только алмаз кристалл. Обычный сахар и поваренная соль, лёд и песок состоят из множества кристалликов. Больше того, основная масса горных пород, образующих земную кору, состоит из кристаллов. Даже обыкновенная глина представляет собой нагромождение мельчайших кристалликов. Словом, большинство строительных материалов – металлы, камень, песок, глина – кристаллические вещества. Можно сказать, что мы живём в домах, построенных из кристаллов. Неудивительно, что кристаллы являются предметом тщательного изучения. Кристаллы – это твердые тела, имеющие естественную форму многогранника. Для каждого данного вещества существует своя, присущая только ему одному, идеальная форма его кристалла. Эта форма обладает свойством симметрии, т.е. свойством кристаллов совмещаться с собой в различных положениях путём поворотов, отражений, параллельных переносов. Характерная особенность того или иного вещества состоит в постоянстве углов между соответственными гранями и рёбрами для всех образцов кристаллов одного и того же вещества. Что же касается формы граней, числа граней и рёбер и величины кристалла, то для одного и того же вещества они могут значительно отличаться друг от друга.
Нам известны некоторые элементы симметрии: оси симметрии, плоскости симметрии, центр симметрии, зеркальные оси. Кристалл каждого вещества характеризуется определённым набором элементов симметрии – видом (классом) симметрии. Внутреннее устройство кристалла представляется в виде так называемой пространственной решетки, в одинаковых ячейках которой, имеющих форму параллелепипедов, размещены по законам симметрии одинаковые мельчайшие материальные частицы – молекулы, атомы, ионы или их группы.
Сама правильность формы кристаллов, тесно связана с их решетчатым строением, т. е. в конечном счёте, определяется симметрией их структуры.
Следует признать, что значение симметрии в кристаллах, где она играет роль своеобразного закона формообразования, шире, чем в живой природе, в которой она выступает как некая очевидная, но недостаточно последовательно выраженная тенденция.
Слайд 54-61 (Презентация 1) Симметрия в ювелирном деле (текст на слайдах)
Слайд 62 (Презентация 1) Бенуа Мандельброт (текст на слайдах)
Слайд 63-75 (Презентация 1) Фракталы (текст на слайдах)
Слайд 76 (Презентация 1) Фрактал – видео “Герб России” (включается по щелчку)
Заключение
И в заключениe хочу сказать о том, что быть прекрасным значит быть симметричным и соразмерным.
Зеркальная симметрия преобладает в животном и растительном мире, что заставляет ученых думать, что это не простое совпадение. Симметрия наблюдалась в строении живых организмов уже 500 млн. лет назад. Следовательно, симметрия возникла не случайно — возможно, симметричные объекты легче воспринимать живым существам.
В естественных науках также царят законы симметрии. В математике симметрия выражена наиболее чётко. В физике это симметрия пространственно-временных преобразований. Если бы законы природы не были основаны на свойстве симметрии, их даже не смогли бы открыть — они менялись бы в зависимости от того, где, когда и в каком направлении проводился эксперимент.
“...ЕСЛИ наше стремление к симметрии в природе и науке есть результат естественного отбора и основано на работе нашего мозга, отдающего предпочтение симметричным объектам и явлениям, то, видимо, существуют другие способы формулировки законов природы, и симметрия в этом случае уже не будет играть решающей роли”.
Подведение итогов. Домашнее задание: пункты 54-58 параграфа 3, стр. 121-125, № 486, 489, вопросы 15-17 стр. 127, применение фрактальной геометрии и фракталы в жизни (оформить либо в виде презентации).
Слайд 79 (Презентация 1) Видео “Спасибо за внимание!” (включается по щелчку)
ПРИЛОЖЕНИЕ
Выступления учащихся на следующем уроке с домашним заданием по теме. Выбраны, как примеры, некоторые интересные по содержанию презентации учеников 11 “Г” физико-математического класса – “Фракталы в биологии”, “Фракталы в литературе”, “Применение фракталов и Ноэтика”. (Презентации 2, 3, 4). Особо хочу отметить работу Семеновой Анны “Связь симметрии, последовательности Фибоначчи и золотого сечения”, которую невозможно здесь поместить из-за “большого веса”, более 95 Мг.
Используемая литература и Интернетовские сайты:
- Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учереждений: базовый и профил. уровни/ [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.].- 20-е изд.- М.: Просвещение, 2011.-255 с.: ил.- (МГУ- школе).
- Геометрия, 7-9: учеб.для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 16-е изд. – М.: Просвещение; 2010.
- Депман И.Я. Мир чисел. Рассказы о математике. – Л.: Детская литература, 1975.
- Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1989.
- Перельман Я.И. Занимательная геометрия. – М. АОО “Столетие”, 1994.
- http://www.geo-trade.ru/
- http://www.geo-mir.ru/
- http://www.gsi2000.ru/
- http://gallak.ru/
- http://www.navgeocom.ru/
- http://www.snabdost.ru/">www.snabdost.ru/
- http://wmascat.blogspot.com/2012/05/parallelnyi-perenos-zachem-on-nuzhen.html
- http://video.yandex.ru/#search...
- http://video.yandex.ru/users...
- http://video.yandex.ru/users/alex....
- http://www.google.ru/imghp?hl ....
- Фрактал — Википедия
- http://flash.xaoc.ru